無窮小與無窮大一、無窮小對無窮小的認識問題可以遠溯到古希臘.那時，阿基米德就曾用無限小量方法得到許多重要的數學結果，但他認為無限小量方法存在著不合理的地方.直到1821年，柯西在他的《分析教程》中才對無限小（即這里所說的無窮小）這概念給出了明確的回答.而有關無窮小的理論就是在柯西理論的基礎上發展起來的.

如果函數f(x)當x→x0(或x→∞)時極限為零,那么稱函數f(x)為當x→x0(或x→∞)時的無窮小.特別地，以零為極限的數列{xn}稱為n→∞時的無窮小.例如，limx→0sinx=0，函數sinx是當x→0時的無窮小；limx→∞1/x=0，函數1/x是當x→∞時的無窮小；limn→∞(－1)n/n=0，數列(-1)n/n是當n→∞時的無窮小.定義1

一、無窮小（1）根據無窮小的定義，無窮小本質上是這樣一個變量（函數），在某一過程（如x→x0或x→∞）中，該變量的絕對值能小于任意給定的正數ε.無窮小不能與很小的數（如千萬分之一）混淆.但零是可以作為無窮小的唯一的常數.（2）無窮小是相對于x的某個變化過程而言的.例如，當x→∞時，1/x是無窮小；當x→2時，1/x不是無窮小.無窮小與函數極限有著密切的關系.注意一、無窮小

limx→x0f(x)=A的充分必要條件是f(x)=A+α，其中α是當x→x0時的無窮小.定理1一、無窮小一、無窮小定理1對x→∞等其他情形也成立（讀者可自行證明）.定理1的結論在今后的學習中有重要的應用，尤其是在理論推導或證明中.它將函數的極限運算問題轉化為常數與無窮小的代數運算問題.注意一、無窮小二、無窮小的運算性質定理2在下面討論無窮小的性質中，僅證明x→x0的情形，至于x→∞等其他情形，證明完全類似.定理2有限個無窮小的代數和仍是無窮小.證明這里只證兩個無窮小的和的情形，有限個無窮小的和的情形可以類似證明.二、無窮小的運算性質無窮多個無窮小的代數和未必是無窮小.例如，n→∞時，數列{1/n}是無窮小，但注意二、無窮小的運算性質定理3有界函數與無窮小的乘積是無窮小.證明設函數u在0<|x－x0|<δ1內有界，則M>0，使得當0<|x－x0|<δ1時，恒有|u|≤M.二、無窮小的運算性質推論1常數與無窮小的乘積是無窮小.推論2有限個無窮小的乘積也是無窮小.二、無窮小的運算性質三、無窮大

若當x→x0（或x→∞）時,函數f(x)的絕對值無限增大（即大于預先給定的任意正數），則稱函數f(x)為當x→x0（或x→∞）時的無窮大.下面給出精確的定義.定義2

設函數f(x)在x0的某一去心鄰域內有定義（或|x|大于某一正數時有定義）.若對于任意給定的正數M（不論它多么大），總存在正數δ（或正數X）使得滿足不等式0<|x－x0|<δ（或x>X）的一切x所對應的函數值f(x)總滿足不等式|f(x)|>M,則稱函數f(x)為當x→x0（或x→∞）時的無窮大，記為三、無窮大按通常意義來說，當x→x0（或x→∞）時為無窮大的函數f(x)，其極限是不存在的.但為了方便敘述函數的這一性態，也說“函數的極限是無窮大”.注意三、無窮大

若在無窮大的定義中，把|f(x)>M換為f(x)>M（或f(x)<－M），則稱函數f(x)為當x→x0（或x→∞）時的正無窮大（或負無窮大），記為三、無窮大無窮大一定是無界變量.反之，無界變量不一定是無窮大.注意四、無窮小與無窮大的關系定理4

在自變量的同一變化過程中，無窮大的倒數為無窮小；恒不為零的無窮小的倒數為無窮大.四、無窮小與無窮大的關系類似地可證明x→∞時的情形.根據定理4，可將無窮大的討論歸結為關于無窮小的討論.四、無窮小與無窮大的關系五、無窮小階的定義

根據無窮小的運算性質，兩個無窮小的和、差、積仍是無窮小.但兩個無窮小的商，卻會出現不同情況.例如，當x→0時，x，x2，sinx都是無窮小，而

從中可看出各無窮小趨于0的快慢程度：x2比x快些，sinx與x大致相同，即無窮小之比的極限不同，反映了無窮小趨向于零的快慢程度不同.下面給出無窮小階的定義.定義3

設α，β是自變量在同一變化過程中的兩個無窮小，且α≠0.（1）若limβ/α=0，則稱β是比α高階的無窮小，記為β=o(α).（2）若limβ/α=∞，則稱β是比α低階的無窮小.（3）若limβ/α=c（c≠0），則稱β與α是同階無窮小，特別地，若limβ/α=1，則稱β與α是等價無窮小，記為α~β.（4）若limβ/αk=c(c≠0,k>0)，則稱β是α的k階無窮小.例如，就前述三個無窮小x，x2，sinx（x→0）而言，x2是比x高階的無窮小，x是比x2低階的無窮小，而sinx與x是等價無窮小.五、無窮小階的定義六、等價無窮小根據等價無窮小的定義，可以證明當x→0時，有下列常用等價無窮小關系：當x→0時，x為無窮小.在常用等價無窮小中，用任意一個無窮小f(x)代替x后，上述等價關系依然成立.例如，x→0時，有sinx3~x3,e－x2－1~－x2,ln(1+4x)~4x，等等.注意六、等價無窮小定理5

定理5表明，在求兩個無窮小之比的極限時，分子及分母都可以用等價無窮小代換.因此，若無窮小的代換運用得當，則可簡化極限的計算.六、等價無窮小定理6

α與β是等價無窮小的充分必要條件是β=α+o(α).證明必要性.設α~β，則

六、等價無窮小

【例1】六、等價無窮小

【例2】六、等價無窮小

應用等價無窮代換的原則是:乘除可用,加減慎用.也就是說,求兩個無窮小相乘