常數項級數常數項級數人們認識事物在數量方面的特性，往往是一個由近似到精確的過程,在這種認識過程中，會遇到由有限個數量相加到無窮多個數量相加的問題.例如，約在公元前300年，中國古代經典著作《莊子·天下篇》中提出過如下命題：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”如果用數學方式來表示此命題，可以寫作此式說明常數1可以用來表示，即無窮多項的連加.常數項級數又如，計算半徑為R的圓面積A，具體做法如下：作圓的內接正六邊形，算出這個六邊形的面積a1，它是圓面積A的一個粗糙的近似值.為了比較準確地計算出A的值，我們在這個六邊形的每個邊上分別作一個頂點在圓周上的等腰三角形，算出這六個等腰三角形的面積之和a2.那么a1+a2(即內接正十二邊形的面積)就是A的一個較好的近似值.同樣的，在這個正十二邊形的每個邊上分別作一個頂點在圓周上的等腰三角形，算出這十二等腰三角形的面積之和a3.那么a1+a2+a3(即內接正二十四邊形的面積)是A的一個更好的近似值.如此繼續下去，內接正3×2n邊形的面積就逐步逼近圓的面積：常數項級數A≈a1，A≈a1+a2，A≈a1+a2+a3，…，A≈a

1+a2+a3+…+an.如果內接正多邊形的邊數無限增多，則n無限增大，a1+a2+a3+…+an的極限就是所求的圓面積A.這時和式中的項數無限增多，于是出現了無窮多個數量依次相加的數學式子.一般地，我們給出如下定義.常數項級數定理1設有序列u1，u2，u3，…，un，…，則稱u1+u2+u3+…+un+…為無窮級數，簡稱級數，記為

，即其中第n項un稱為級數的一般項.我們稱un是常數的級數為常數項級數.常數項級數是一個常數項級數，其中通項為1n.此級數通常稱為調和級數.【例1】是一個常數項級數，其中通項為arn－1.此級數稱為公比為r的等比級數，又稱為幾何級數.【例2】常數項級數【例3】

是一個通項為1np的常數項級數，稱它為p級數.調和級數、等比級數和p級數是以后經常用到的級數，請注意識記.級數是無窮多項和的形式.怎樣理解無限項相加得到的和呢？結合以上計算圓面積的例子，可以從有限項的和出發，觀察它們的變化趨勢，從而便可理解無窮多項相加的含義.先看級數前n項的和Sn=u1+u2+u3+…+un，常數項級數稱Sn為級數

的前n項和.當n依次取1,2,3,…時，就得到一個數列

S1,S2,S3,…,Sn,…，數列{Sn}就稱為級數

的部分和數列.常數項級數定義2如果級數

的部分和數列{Sn}有極限，即

則稱級數

收斂，S稱為該級數的和，記作常數項級數如果級數

的部分和數列{Sn}極限不存在，則稱該級數是發散的.當級數收斂時，其部分和Sn是級數和S的近似值.它們的差S－Sn=rn稱為級數的余項，且余項rn=S－Sn=un+1+un+2+….用級數的部分和Sn作為級數和S的近似值，其絕對誤差就是rn.常數項級數【例1】常數項級數常數項級數性質1常數項級數性質2常數項級數性質3在級數中去掉、加上或改變有限項，不會改變級數的收斂性.證只證明“改變級數的前面有限項不會改變級數的收斂性”，其他兩種情況容易由此結果推出.設有級數(11-1)(11-2)常數項級數性質4在一個收斂級數中，任意添加括號所得到的新級數仍收斂，且其和不變.常數項級數若添加括號所得到的級數收斂，則不能斷定去括弧后原來的級數也收斂.例如，級數1－1+1－1+…是發散的，而級數(1－1)+(1－1)+…卻是收斂的.注常數項級數推論若加括號后所成的級數發散，則去括后級數也發散.常數項級數性質5常數項級數推論【例6】常數項級數【例7】常數