可逆矩陣可逆矩陣逆矩陣的概念一、對于n階方陣A，如果存在一個n階方陣B，使得AB=BA=E（2-20）那么稱A為可逆矩陣（或矩陣A可逆），稱B為A的逆矩陣，簡稱逆陣．由定義2-11知：（1）可逆矩陣是對方陣而言的，若A不是方陣，則一定不可逆.（2）如果A是可逆矩陣，那么B也是可逆矩陣．并且A與B互為逆陣.（3）如果A是可逆矩陣，那么它的逆陣是唯一的．定義2-11因為如果A有兩個逆陣B1和B2，根據定義2-11，有AB1=B1A=E，AB2=B2A=E于是B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2這說明A的逆矩陣是唯一的，我們規定A的逆矩陣記作A-1，則有AA-1=A-1A=E若方陣A滿足等式A2-A+E=O，問A是否可逆，若可逆,求出其逆陣．解由A2-A+E=O可得A-A2=E，利用矩陣乘法運算法則可得A-A2=A（E-A）=（E-A）A=E由定義2-11可知A可逆，且A-1=E-A.【例2-13】矩陣可逆的充要條件二、在數的運算中，并不是所有的數都有倒數，只有非零的數才有倒數．類似地，不是所有的n階方陣A都存在逆矩陣，如零矩陣就不可逆（因為任何矩陣與零矩陣的乘積都是零矩陣）．我們接下來要解決的問題就是：n階方陣A在什么條件下可逆？如果可逆，又如何求它的逆矩陣？為此先介紹一個轉置伴隨矩陣的概念．定義2-12對于n階方陣設Aij是行列式|A|中元素aij的代數余子式，記顯然，可得即任一方陣A與其轉置伴隨矩陣A*滿足以下關系：AA*=A*A=|A|E由此我們可以得到矩陣A可逆的充分必要條件及A-1的一種求解方法．定理2-1n階方陣A可逆的充分必要條件是|A|≠0，且證明

必要性：設A可逆，由AA-1=E，兩邊取行列式，得|AA-1|=|E|于是|A||A-1|=1所以，若A為可逆矩陣，則|A|≠0．充分性：設|A|≠0，由AA*=A*A=|A|E得此式表明A可逆，且A的逆矩陣為證畢．這個定理既說明了方陣可逆的條件，又具體給出了利用轉置伴隨矩陣求逆矩陣的公式．對于n階方陣A，當|A|=0時，A稱為奇異矩陣，否則稱為非奇異矩陣．則由定理2-1可知：A是可逆矩陣的充分必要條件是A是非奇異矩陣．【例2-14】【例2-15】一般來說，當矩陣A階數較高時，利用轉置伴隨矩陣求其逆矩陣的方法是比較麻煩的．如【例2-15】，求一個3階矩陣的逆矩陣，要計算一個3階行列式和9個2階行列式．【例2-16】證明：若A，B是同階方陣，且滿足AB=E或BA=E，則A，B都可逆，且A-1=B，B-1=A證明

由A，B是同階方陣且AB=E可得|AB|=|A||B|=|E|=1．所以|A|≠0，|B|≠0．由定理2-1知A，B都可逆．在等式AB=E的兩邊同時左乘A-1，可得A-1(AB)=A-1E，即A-1=B．在等式AB=E的兩邊同時右乘B-1，可得(AB)B-1=EB-1，即B-1=A．若有BA=E，同理可證結論成立．這一結論說明，如果我們要驗證B是A的逆矩陣，只需驗證一個等式AB=E或BA=E即可，不必再按照定義2-11驗證兩個等式．可逆矩陣的性質三、性質2-1設矩陣A可逆，則A的逆矩陣A-1也可逆，且有(A-1)-1=A．由逆矩陣的定義AA-1=A-1A=E

可得A-1的逆矩陣(A-1)-1存在，且(A-1)-1=A．性質2-2設A，B為同階可逆矩陣，則AB也可逆，且有(AB)-1=B-1A-1．由矩陣乘法的結合律，得(AB)(B－1A－1)=A(BB－1)A－1=AEA－1=AA－1=E(B－1A－1)(AB)=B－1(A－1A)B=B－1EB=B－1B=E由逆矩陣的定義可知，AB可逆，且(AB)

-1=B-1A-1．此性質可推廣到多個可逆矩陣相乘的情形，即如果A1，A2，…，Ak為同階可逆矩陣，那么A1A2…Ak也可逆，且(A1A2…Ak)－1=A－1k…A－12A－11性質2-3若A可逆，則AT也可逆，且有(AT)-1=(A-1)T．因為A可逆，所以存在A-1，使AA-1=E，于是根據矩陣