二重積分一、二重積分的概念引例1設f(x,y)為定義在閉區域D上的非負連續函數.以曲面z=f(x,y)為頂，D為底的柱體稱為曲頂柱體(見圖9-1).下面討論如何計算曲頂柱體的體積.圖9-1一、二重積分的概念分析若函數z=f(x,y)=常數，則上述曲頂柱體變為平頂柱體，它的體積可用公式

體積=底面積×高來計算.現在曲頂柱體的高是變化的，故不能用上述公式來求體積.回憶一下，求曲邊梯形面積的方法，這里可采用類似的方法來求曲頂柱體的體積，分為下列幾個步驟：(1)分割.將D分成n個小閉區域Δσ1,Δσ2,…,Δσn(小區域的面積也用這些符號表示)，相應地把曲頂柱體分割成n個以Δσi為底的小曲頂柱體，每個小曲頂柱體的體積記為ΔVi(i=1,2,…,n)，則曲頂柱體的體積一、二重積分的概念(2)近似.設λi為小閉區域Δσi的直徑(一個閉區域的直徑是指區域上任意兩點距離的最大值)，當λi很小時，由于f(x,y)連續，f(x,y)在同一小閉區域內變化很小，因此可將小曲頂柱體近似看作小平頂柱體，于是可用平頂柱體的體積公式來計算.在每個Δσi中任取一點(ξi,ηi)，以f(ξi,ηi)為高而底為Δσi的小曲頂柱體(見圖9-2)的體積為ΔVi≈f(ξi,ηi)Δσi(i=1,2,…,n).圖9-2一、二重積分的概念(3)求和.這個曲頂柱體體積

(4)取極限.設λ=

maxλ1,λ2,…,λn，當λ→0時取上述和的極限，所得的極限便為曲頂柱體的體積V，即一、二重積分的概念引列2

設有一平面薄片占有xOy面上的閉區域D,它的面密度為D上的連續函數ρ(x,y),這里ρ(x,y)>0.計算該薄片的質量M.一、二重積分的概念分析若函數ρ(x,y)=常數，則薄片的質量可用公式

質量=面密度×面積來計算.現在面密度ρ(x,y)是變化的，故不能用上述公式來求.這時仍可采用處理曲頂柱體體積的方法來求薄片的質量.分為下列幾個步驟：(1)分割.將D分成n個小閉區域Δσ1,Δσ2,…,Δσn(小區域的面積也用這些符號表示)，第i個小塊的質量記為ΔMi(i=1,2,…,n)，則平面薄片的質量一、二重積分的概念(2)近似.設λi為小閉區域Δσi的直徑，當λi很小時，由于ρ(x,y)連續，ρ(x,y)在同一小閉區域內變化很小，因此這些小塊就可以近似地看作均勻分布的.在每個Δσi中任取一點(ξi,ηi)(見圖9-3),則ΔMi≈ρ(ξi,ηi)Δσi(i=1,2,…,n).圖9-3一、二重積分的概念(3)求和.平面薄片的質量(4)取極限.設λ=maxλ1,λ2,…,λn，當λ→0時取上述和的極限，所得的極限便為平面薄片的質量M，即上面兩個實例的實際意義雖然不同，但解決問題的方法具有共性，最后都歸結為同一形式的和的極限，把這種和式的極限抽象為二元函數在平面閉區域D上二重積分的定義.一、二重積分的概念定義1設z=f(x,y)是定義在有界閉區域D上的有界函數，將D任意分成n個小區域

Δσ1,Δσ2,Δσ3,…,Δσn.在每個小區域Δσi內任取一點(ξi,ηi)(i=1,2,…,n)，作和式(9-1)一、二重積分的概念當n無限增大，各小區域中的最大直徑λ→0時，不論區域D如何分割，也不論(ξi,ηi)如何選取，如果和式(9-1)的極限存在，則稱此極限為二元函數z=f(x,y)在區域D上的二重積分，記作一、二重積分的概念一、二重積分的概念①和式(9-1)的極限存在時，稱f(x,y)在區域D上是可積的.可以證明，如果函數f(x,y)在區域D上連續，則f(x,y)在區域D上一定是可積的.②如果f(x,y)在區域D上是可積的，則和式(9-1)的極限存在，且與D的分法和點(ξi,ηi)的選取及積分變量用什么字母表示無關，其值只取決于被積函數和積分區域.注一、二重積分的概念因此，在直角坐標系下，常用平行于x軸和y軸的兩組直線分割D，于是小區域的面積為Δσi=ΔxjΔyk(i,j,k=1,2,…,n)

.在直角坐標系中，面積微元記為dσ=dxdy.所以，在直角坐標系中，二重積分可記為一、二重積分的概念當被積函數z=f(x,y)≤0時，曲頂柱體在xOy面下方，因f(xi,yi)≤0，而當被積函數z=f(x,y)≥0時，二重積分表示曲頂柱體的體積，即一、二重積分的概念取極限后依然小于或等于0，即故此時二重積分表示曲頂柱體體積的相反數，即一、二重積分的概念二、二重積分的性質二重積分與定積分具有相似的性質.下面假定f(x,y)在區域D上可積.這些性質均可通過定義得到證明，請讀者自己練習.二、二重積分的性質性質1常數因子可提到積分號外面二、二重積分的性質性質2函數和(差)的積分等于各積分的和(差)，即二、二重積分的性質性質3(積分區域的可加性)如果積分區域D被一曲線分成D1,D2兩個區域，如圖9-4所示，則圖9-4二、二重積分的性質性質4(比較性質)如果在區域D上總有f(x,y)≤g(x,y)，則二、二重積分的性質性質5如果在區域D上有f(x,y)≡1，A是D的面積，則二、二重積分的性質性質6(估值性質)設M與m分別是z=f(x,y)在區域D上的最大值與最小值，A是D的面積，則二、二重積分的性質性質1(二重積分的中值定理)如果函數f(x,y)在閉區域D上連續，A是D的面積，則在D內至少存在一點(ξ,η)使得二、二重積分的性質證因為f(x,y)在閉區域D上連續，則f(x,y)在閉區域D上一定存在最大值M和最小值m，有積分估值性可得二、二重積分的性質

二重積分的中值定理的幾何意義：在區域D上，以曲面f(x