空間直線及其方程一、空間直線方程空間直線的點向式方程1.首先給出直線的方向向量的概念.已知直線L，任意一個平行于L的非零向量稱為這條直線的方向向量，直線方向向量s的坐標m,n,p稱為這條直線的方向數,而向量s的方向余弦稱為該直線的方向余弦.顯然,直線上任一向量都可視為該直線的方向向量.一、空間直線方程在空間中給定直線L上一點M0x0,y0,z0及它的一個方向向量s=m,n,p,就可以唯一地確定直線L的位置.下面來建立直線L的方程,如圖7-39所示.圖7-39一、空間直線方程設M(x,y,z)為直線L上的任一點,那么有與s平行，所以兩向量的對應坐標成比例，從而有

（7-12）這就是直線L的方程，稱為直線的點向式方程或對稱式方程.一、空間直線方程因為s≠0，所以m,n,p不全為零，但當m,n,p中有一個為零，如m=0時，方程(7-12)成為表示一條平行于yOz面的直線，其上的點恒滿足x=x0；而當m,n,p中有兩個為零，如m=n=0時，方程(7-12)成為表示一條平行于z軸的直線，其上的點恒滿足x=x0,y=y0.一、空間直線方程求過點A(2,-3,4)，且和y軸垂直相交的直線的方程.

解因為直線和y軸垂直相交,所以交點為B(0,-3,0)，于是取方向向量因此，直線方程為也可寫為【例1】一、空間直線方程已知兩點M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)，試求過M1,M2的直線方程.

解由直線過點M1和M2知，其方向向量s=x2-x1,y2-y1,z2-z1，于是直線的點向式方程為【例2】一、空間直線方程空間直線的參數方程2.由直線的點向式方程，可以得出直線的參數方程.設則此方程組就是直線的參數方程，其中t為參數.若s=m,n,p為單位向量，則t的絕對值代表動點Mx,y,z到定點M0x0,y0,z0的距離與s同向時，t為正；反向時，t為負.一、空間直線方程空間直線的一般方程3.更一般的情況下，空間直線L可以看作是兩個平面π1和π2的交線.設直線L是平面π1：A1x+B1y+C1z+D1=0與π2：A2x+B2y+C2z+D2=0的交線（見圖7-40）,則直線L上的任一點坐標應同時滿足這兩個平面的方程,即

圖7-40一、空間直線方程反之,若點M不在直線L上,顯然它不可能同時在平面π1和π2上,所以其坐標必不滿足上述方程組.由此可見，直線L可用方程組(7-13)來表示，此方程組就稱為空間直線的一般方程.通過空間一直線L的平面有無窮多個，把通過該直線的所有平面的全體稱為有軸平面束，簡稱平面束，直線L稱為平面束的軸.只要在平面束中任意選取兩個平面，將其方程聯立起來，所得方程組就表示空間直線L.一、空間直線方程已知直線的一般方程試求其點向式方程及參數方程.

解首先任求直線上的一點，如令x=1，可得到解得y=-1,z=2，于是點1,-1,2在直線上.設兩平面的法向量分別為n1，n2，直線的方向向量為s，則【例3】一、空間直線方程

因此，直線的點向式方程為

令，得所給直線的參數方程為一、空間直線方程設兩條不平行的直線與若在L1與L2上分別任取M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)兩點，試證明L1與L2的距離為其中s1,s2分別為L1,L2的方向向量.【例4】一、空間直線方程由向量混合積的幾何意義可知，的絕對值為以這三個向量為棱的平行六面體的體積，如圖7-41所示.證明圖7-41一、空間直線方程同時，這個平行六面體的體積V還可表示為高與底面積的乘積，即V=d·s1×s2，從而有由兩直線不平行，可知s1×s2≠0，故有二、兩直線的夾角及位置關系兩直線的夾角1.把兩直線的方向向量的夾角φ稱為兩直線的夾角，由于方向向量有兩個方向，這里同樣約定設直線L1和L2的方向向量分別為s1=n1,m1,p1和s2=n2,m2,p2，則L1和L2的夾角因此，根據兩向量夾角余弦的坐標表示式可得二、兩直線的夾角及位置關系已知直線試求這兩直線的夾角.

解兩直線的方向向量分別為其中n1,n2分別為L2所對應的兩平面的法向量.所以兩直線的夾角φ滿足故兩直線的夾角為【例5】二、兩直線的夾角及位置關系兩直線的位置關系2.設兩直線分別為其位置關系有三種情況：平行（包含重合），相交（包含垂直）和異面.首先討論兩直線平行及垂直的條件.由于兩直線平行即其方向向量平行，兩直線垂直即其方向向量垂直，故可得兩直線平行與垂直的充分必要條件分別為：二、兩直線的夾角及位置關系

當兩直線不平行時，由直線的位置關系知，兩直線可能相交，也可能異面.若兩直線相交則兩直線間的距離為0，異面則兩直線間的距離不為0，結合例4可得如下結論：（1）若L1與L2相交，則（2）若L1與L2異面，則其中M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)分別為L1與L2上的任意點，s1和s2分別為L1與L2的方向向量.三、直線與平面直線與平面的夾角1.直線和它在平面上的投影直線間的夾角稱為直線與平面的夾角（見圖7-42）.圖7-42三、直線與平面當直線與平面垂直時,直線在平面上的投影為點，此時規定直線與平面的夾角為注意三、直線與平面設直線的方向向量為s=（

m,n,p,）平面的法向量為n=（A,B,C,）直線與平面的夾角為φ,則，所以.由兩向量夾角余弦的坐標表示式,有三、直線與平面設直線，平面π:x-y+2z=3，求直線與平面的夾角.

解直線L的方向向量為s=（2,-1,2,）平面π的法向量為n=（1,-1,2,）則L與π的夾角φ滿足因此，L與π的夾角φ為【例6】三、直線與平面直線與平面的位置關系2.直線與平面的位置關系有兩種情況：相交（包含垂直），平行（包含在平面上）.設直線L的方向向量為s=m,n,p,平面π的方程為Ax+By+Cz+D=0,其法向量為n=A,B,C,則L與π垂直、平行的充要條件分別為：（1）因為L⊥π相當于直線的方向向量與平面的法向量平行,即

，故有三、直線與平面（2）因為

相當于直線的方向向量與平面的法向量垂直,即s⊥n，故有特別地，直線L在平面π上的充要條件為且對三、直線與平面求過點1,-2,4且與平面2x-3y+z-4=0垂直的直線的方程.

解平面的法向量2,-3,1，由于直線與平面垂直，故平面的法向量可作為所求直線的方向向量，因此，所求直線的方程為【例7】三、直線與平面求過點(-1,0,4)，且平行于平面3x-4y+z-10=0，又與直線相交的直線方程.

解設所求直線方程因為所求直線平行于平面3x-4y+z-10=0，所以3m-4n+p=0.【例8】三、直線與平面又由于所求直線與直線相交，故有即10m-4n-3p=0.

由得故所求直線方程為三、直線與平面平面束方程3.有時應用平面束的方程解題比較方便.下面介紹平面束的方程.在已知直線L的情況下，任取兩個過該直線的平面π1:A1x+B1y+C1z+D1=0和π2:A2x+B2y+C2z+D2=0，即可得其一般方程三、直線與平面現在來考察三元一次方程A1x+B1y+C1z+D1+λA2x+B2y+C2z+D2=0(λ為任意常數），整理可得A1+λA2x+B1+λB2y+C1+λC2z+D1+λD2=0,(7-14)由于π1,π2兩平面相交，故系數A1，B1，C1與A2，B2，C2必不完全成比例,所以對任取λ值,上述方程的系數必不全為零,從而這個三元一次方程可表示平面.同時，對于不同的λ值,它對應的平面也不同,而且這些平面顯然都通過直線L.反之，通過直線L的所有平面（除平面π2外）都包含在方程(7-14)所表示的一族平面內，于是把方程A1x+B1y+C1z+D1+λA2x+B2y+C2z+D2=0稱為過直線L的平面束方程.三、直線與平面設平面外一點（1，-1，0）到這平面的距離為且該平面過直線L：