小題專練01

函數、導數與不等式（A）

一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

的.

1.（考點:函數的定義域,★）函數/（x）=^lg（2x+3）的定義域是（）.

A.（-1z3）B.（-8,3）C.（-p+oo）D（3,1）

2.（考點:導數的幾何意義,★）若曲線y=f（x）=^x2+ax+b在點（4/（4））處的切線方程是2*沙+1=0,則（）.

A.a=10,b=lB.a=-2,b=-9C.a=-2,b=9D.a=2,b=-9

3.（考點:函數單調性與奇偶性的綜合應用,★★）已知定義在R上的偶函數/（x）在區間［0,+8）上單調遞減，則滿

足f（3x-l）明8）的x的取值范圍是（）.

A.（-3,9產a）C.（-；,3）D.（-8,-3）UG，+

4.（考點:函數的圖象★★）函數的圖象大致為（）.

5.（考點:函數的零點,★★汨知函數小）弋：：?4^20若函數g（M如）亦有三個不同的零點,則實數m的

取值范圍為（）.

A.(3,4)B.(-4,-3)C[3,4]D.(3,6)

6.（考點:均值不等式,★★股。＞。力＞0,若9是3。與3。的等比中項，則牌的最小值為（）.

A.4B.214

7.（考點:利用導數研究函數的單調性,★★★）若函數f（x）=kx-sinx在區間上單調遞增,則實數A的取值

范圍是（）.

All*)B.K，+8)C.(l,+8)D.&+8)

8.(考點：導數的綜合應用，★★★)已知奇函數/W的導函數為八x),當x>0時/(x)+第>0.若

。塌(T)力=#，)，c=/H)，則a，b￡的大小關系為().

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對

的得5分,部分選對的得3分,有選錯的得0分.

9.(考點:不等式的綜合應用,★)已知則p成立的一個必要不充分條件可以是().

X-1

A.l<x<2B.-2<x<3C.-2<x<4D.-3<x<2

10.(考點:函數的基本性質,**)下列函數中，既是偶函數，又在(0,+8)上單調遞增的是().

+432-2X)B./(x)=ex+e*C.f(x)=x2+5D./(x)=cosx

11.(考點:均值不等式,★★)已知正實數x,y滿足x+2y=l,則軍可能的值為(I.

xy

A.3B,6C.7D.9

12.(考點:導數的應用,★★★)設/(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數/(x),gk)分別為其導函數，當

x<0時/'(X)?g(x)tflx),g'(x)<0且g(-5)=0,則使得不等式/(x)?g(x)v0成立的x的值可以是().

A.-6B.-4C4D.6

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.(考點:函數的基本性質,★★)函數/(x)=lognx2.2x+3)的單調遞增區間是值域是.

2

14.(考點:函數單調性的應用,★★)若函數/(X)=X2+4(°+2)X+3在(-8,4］上不是單調函數,則實數a的取值范圍

是.

15.(考點:均值不等式,★★同數y=logo(x-3)+2(a>0且aWl)的圖象恒過定點A,若點A在直線mx+ny-2=0上,

其中m,〃均大于0,則土J的最小值為____.

mn

16.(考點:利用導數研究函數的極值,★★★)已知函數HX)=33+2X2_5X+2的極大值為a,極小值為b,則

a+b=.

答案解析:

函數、導數與不等式(A)

一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

的.

1.(考點:函數的定義域,★)函數/(x)—+lg(2x+3)的定義域是().

B.(-8,3)C.(W+8)D.(-3Z-1)

【解析】要使函數有意義，則。即{::,即**3,

所以函數的定義域為3).

故選A.

【答案】A

2.(考點:導數的幾何意義,★)若曲線y=f(x)=^x2+ax+b在點(4/⑷)處的切線方程是2年戶1=0,則().

A.a=10,b=lB.a=-2,b=-9C.a=-2,b=9D.a=2,b=-9

2

【解析】因為f［x}=^x+ax+btfJx以r(x)=x+。，由題可知八4)=2,所以a=-2.

又切點坐標(4/(4))滿足切線方程2x-y+l=0,H4)=b,所以8-b+l=0,解得b=9.

故選C.

【答案】C

3.(考點:函數單調性與奇偶性的綜合應用,★★)已知定義在R上的偶函數/(x)在區間［0,+叼上單調遞減，則滿

足f(3x-l)4(8)的x的取值范圍是().

A.(?3,9B.(?OO「9U(3,+8)C.(q,3)D.(?8/3)UG，+8)

【解析】因為/(x)是定義在R上的偶函數；

所以f(3x-l)寸(8)等價于f(/3x-l/)與⑻.

又因為f(x)在［0,+8)上單調遞減，

所以/3x?l/>8,

所以3x-l<-3或3x-l>8,

解得x<?或X>3,

故x的取值范圍為(-8,1)U(3，+8).故選B.

【答案】B

4.(考點:函數的圖象,★★)函數f(x)工的圖象大致為().

【解析】由題意，函數段)=工的定義域為{x/x￡R,x#2},排除A;乂加)<0,排除C;R1)〉O,排除D.故選B.

2*-4

【答案】B

5.(考點:函數的零點,★★)已知函數/(x)=《：2X+4~X^>0若函數g(x)手岡加有三個不同的零點,則實數m的

取值范圍為().

A.(3,4)B.(-4,-3)C.[3,4]D.(3,6)

【解析】函數g(x)=f(x)-m有三個不同的零點等價于函數y=/(x)與y=m的圖象有三個不同的交點，

作出函數/(x)的圖象如圖所示.

函數小m的圖象為水平的直線，由圖象可知，當m￡(3,4)時，兩函數的圖象有三個不同的交點，即函數g(x)有三

個不同的零點.故選A.

【答案】A

6.(考點:均值不等式,★★股a>0,b>0,若9是3。與36的等比中項，則用的最小值為().

ab

A.4B.2C,-D.-

【解析】因為9是3。與3b的等比中項，

所以3。?36=3"。=92,即a+b=4t

所端中。碗+泥屋抬)士但，

當且僅當竺《，即。《力弓時，等號成立，

ab33

所以戔的最小值為X

Gb4

故選D.

【答案】D

7.(考點:利用導數研究函數的單調性,★★★)若函數f(x}=kx-slnx在區間(T，9上單調遞增,則實數k的取值

范圍是().

A.[l」8)B.[T，+8)C.(l,+8)D.&+8)

[解析】由題意可得f(x)=k-cosx,因為f(x)在G，。上單調遞增，所以r(x)20在(q上恒成立，口叮

20,所以A21.故選A.

【答案】A

8.(考點：導數的綜合應用，★★★)已知奇函數/W的導函數為八x),當x>0時/(x)+第〉0.若

。=義-》力寺0儲寸(-1),則a,b,c的大小關系為().

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【解析】令g(x)=x2/(x),則g'(x)=2xf(x)+x2f'(x).

由題意可知當x>0時,2獷X)+*2/卜)>0,即當x>0時,g'(x)>0,所以函數g(x)在。+叼上單調遞增.

又函數/(x)為奇函數，所以g(-x)=(-x)2-f{-x)=-x2?/(x)=-g(x),所以函數g(x)為奇函數,所以當x<0時，函數g(x)單調

遞增.

因為所以(尚)>g(-i)，所以o>b>c.

【答案】B

二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對

的得5分,部分選對的得3分，有選錯的得0分.

9.(考點:不等式的綜合應用,★)已知則p成立的一個必要不充分條件可以是().

A.l<x<2B.-2<x<3C.-2<x<4D.-3<x<2

【解析】由/loW0o(x?l)(x-2)<0=lvxv2,所以選項A為p成立的充要條偉選項B、C、D為p成立的必

要不充分條件.

【答案】BCD

10.(考點:函數的基本性質,★★)下列函數中，既是偶函數，又在。+8)上單調遞增的是().

A./(x)=ln(Vl4-4x2-2x)B./(x)=e*+exC./(x)=x2+5D./(x)=cosx

【解析】由題意，易知A,B,C,D四個選項中的函數的定義域均為R,

對于選項+4%2+2x)+ln(<l+4%2-2x)=0,則/(x)=ln(4l+4%2辦)為奇函數,故選項A不符合題

意；

對于選項B/(-x)=e*+e*=/(x),即f(x)=ex+e"為偶函數，當x￡(0,+3)時，設t=e*(t>l),則*t*由對勾函數的性質可

得，片用在tw(l,+8)時是增函數，又任e'單調遞增，所以段)=眇+鏟在。+叼上單調遞增,故選項B符合題

意；

222

對于選項Ctf(-x)=(-x)+5=x+5=f(x),g|Jf(x)=x+5為偶函數，由二次函數的性質可知/(X)=X2+5在(0,+8)上單調遞

增,故選項C符合題意；

對于選項D,由余弦函數的性質可知y=cosx是偶函數,但不在(0,+3)上單調遞增,故選項D不符合題意.

綜上,BC正確.

【答案】BC

11.(考點:均值不等式,★★)已知正實數x,V滿足x+2片1,則岸可能的值為().

“y

A.3B.6C.7D.9

【解析】因為x.y都為正實數，所以工「=葉型#旦至=3#型/>3+2戶W=3T2魚(當且僅當肛=￥,即、=

xyxyxyyjxy\xy

6時取等號)，顯然6>3+2企,7>3+2夜,9>3+2/,故選項B,C,D符合題意.

【答案】BCD

12.(考點:導數的應用,★★★股/(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數/(x),gW分別為其導函數，當

x<0時/'(X)?g(x)+/W?g〈x)<0且g(-5)=0,則使得不等式加)?g(x)<0成立的x的值可以是().

A.-6B.-4C4D.6

【解析】：7(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數,?M-x)=-/(x),g(-x)=g(xj,

令h(x)=f(x)?g(x),則h(-x)=-h(x),

故帥)寸(x)?g(x)為定義在R上的奇函數.

:?當x<0時/(X)?g(x)+/(x)?g，(x)<0,

即當xvO時,/)'(xH'(x)?g(x)fflx)?g'(x)<。,

?:MMHx)?g(x)在區間(-8,0)上單調遞減,

?：奇函數Mx)在區間叼上也單調遞減，

如圖，：？(-5)=0,

?:65)=0,

?"(-5)=6(5)=0,

?:當(-5,0)U(5,+8)時力(x)寸(x)?g(x)<0.

故選BD.

【答案】BD

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.(考點:函數的基本性質,★★)函數/W=log?x2_2x+3)的單調遞增區間是值域是.

2

【解析】令t=?x2-2x+3,貝IJ由-x2-2x+3>0,可得

又因為y=log域為減函數,而函數t=-x2-2x+3在區間(-3,-1)上單調遞增，在(-1,1)上單調遞減.故f(x)=logK-x2_2x+3)

22

在區間(?3,?1)上單調遞減，在(-1,1)上單調遞增.

易知t=-x2-2x*3在區間(-3,1)上的值域為。4],故/(x)=logit的值域為卜2,+叼.

2

【答案】(；,1)[2+8)

14.(考點:函數單調性的應用,★★)若函數f(x)=x2+4(a+2)x+3在(-=,4]上不是單調函數,則實數a的取值范圍

是.

【解析】由題意可得,Hx)圖象的對稱軸為直線x=-2(a+2),且滿足-2(82)<4,解得。>-4.

故實數a的取值范圍為(-4,+8).

【答案】(-4,+8)

15.(考點:均值不等式,函數y=logo(x-3)+2(a>0且的圖象恒過定點A,若點、A在直線mx+ny-2=0上,

其中m,n均大于0,則工J的最小值為____.

mn

【解析】由題意可得點44,2),代入mx+ny-2=0得4m+2〃-2=0,即2mw=l.

所以”=U+r)(2m+〃)=3區江=3+2企,當且僅當之等即m=l^n=V2-l時等號成立.

mn\mn/mnyjmnmn2

【答案】3+2企

16.(考點:利用導數研究函數的極值.★★★)已知函數HX)=，3+2X2-5X+2的極大值為。，極小值為b,則

a+b=.

【解析】：HX)=#+2X2-5X+2,?：/(X)=X2+4X-5.令八刈=。,解得x=-5或x=l.

列表如下：

X(?8廠5)-5(51)1(148)

M+0-0+

fM/極大值極小值/

二a=f(-5)=答力41)=芻

??.a+b,1=-0-6--2--10-4.

333

【答案】—

小題專練02

函數、導數與不等式(B)

一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

的.

1.(考點:分段函數求值,★)設函數/(x)=(32r/X-°'則f(/(-2))=().

(5-log3x,x>0,

A.-1B1C.2D.3

2.(考點:函數的奇偶性,★W已知函數/(x)是定義域為R的奇函數，當x20時,/(x)=-x2+x+b,則當xvO時J(x)的解

析式為().

A.f(x)=x2+xB.f(x)=x2-x

C.f(x)=-x2+xO.f[x}=-x2-x

3.(考點:函數值比較大小,★★)已知a=G)力=3"c=logo.25,則a,b,c的大小關系是().

A.a?〈bB.c<b<a

C.b<c<aD.c<a<b

4.(考點:函數單調性的應用,★★)若函數/團/缶⑷無+2，x<'在定義域內單調遞增，則實數0的取值范圍是

(axl,x>2

().

A.[4,5)B.(4,5)

C.(3,5)D.(2,5)

5.(考點:均值不等式,★★)設cr>O,d>O,lg4是lg2。與lg8b的等差中項，則^^的最小值為().

A.2V2B."C.3D.9

22

6.(考點:利用導數研究函數的極值,★★★)若x=l是函數/)=(12+2ax-2)e*1的極值點，則/(x)的極小值為

().

A.2e3B.-2e3C.-D.-

44

3x+4x<0

{LX；~；若函數y=/(xk有三個零點,則實數。的取

值范圍是().

A.[0,2]

B.O2)

C.(-8,o]U[2,+8)

D.(-8,O)U(2,+8)

8.(考點:導數的綜合應用,★★★)已知定義在R上的奇函數/(刈滿足f(?l)=l.若/(X)的導函數/僅滿足/'(X)VX3+2X,

則不等式/(X),〈9+X2的解集為().

A.(0,+8)B.(0,1)

C.(l,+8)

二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對

的得5分,部分選對的得3分，有選錯的得0分.

9.(考點:不等式的綜合應用,★★)若a,b為正實數，則a>b的充要條件可以為().

AY：B.lna<\nb

ab

Calna<b\v\bD.a-b<e0-eb

10.(考點:函數的基本性質,★★)下列命題正確的是().

人若函數/(刈在(2020,2021)上有零點,則一定有/(2020)?/(2021)<0

B.函數y半h是偶函數

J16力

C.若函數/(x)=lg(ax2+5x+5)的值域為R,則實數。的取值范圍是［o,：］

D.若函數/(x)滿足條件#x)-4/G)=x,(x￡R,xWO),則/W=.(x+今/。)

11.(考點:均值不等式,★★)下列說法正確的是().

A.若x,y>0,x+y=4,則T+V的最小值為8

B.若xv；,則函數y=2xtj的最大值為-2

ZZX-1

C.若x,y>0,x+y+xy=3,貝|Jxy的最/卜值為1

D.函數片焦的最小值為4

12.(考點:導數的綜合應用,★★★)已知函數/年)=百等，則下列結論正確的是().

A.函數f(x)只有一個零點

B.函數/(X)只有極大值而無極小值

C.當-e<k<0時，方程Hx)=k有且只有兩個實根

D.若當x￡比+8)時/x)max=V，則t的最大值為2

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.(考點:不等式的解法,★)若關于x的不等式ax2+bx+4>0的解集為{訃2<%<1},則2a-b=

14.(考點:導數的幾何意義★★錯函數/(x)=ax+lnx的圖象在點Q,f(3)處的切線與直線x-3y+l=0垂直，則實

數。=.

15.(考點:不等式的綜合應用,★★★)已知x>0,y>0,且工J=2,若x+y2m2+/)恒成立，則實數m的取值范圍

是.

16.(考點:導數的綜合應用,★★為設函數/W=e,g(x)W，則函數g(x)W(x>0)的最大值為_____;若對任意

x鏟

應為￡(0,+8),不等式券12或蹩恒成立,則正數k的最小值是________.

KKT1

答案解析:

函數、導數與不等式(B)

一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

的.

1.(考點:分段函數求值,★)設函數-°,則M-2))=().

(5-log3x,x>0,

A.-1B.lC.2D.3

【解析】州-2))寸(3242)月m)=5-log334=l.故選B.

【答案】B

2.(考點:函數的奇偶性.★★)已知函數"x)是定義域為R的奇函數，當x20時/(x)=?x2+x+b,則當xvO時,/(x)的解

析式為().

A./(x)=x2+xB.f(x)=x2-x

C.f(x)=-x2+xO.f(x)=-x2-x

【解析】由題意可得，當x=0時,/(0)=b=0,因為當xvO時,-x>0,所以#-X)=-(-M2-X=*2-X,

所以當x<0,f(x)=-f(-x)=-(-x2-x)=x2+x.

故選A.

【答案】A

3.(考點:函數值比較大小,★★舊知力=3；c=logo.25,則a,b,c的大小關系是().

A.a<c〈bB.c<b<a

C.b<c<aD.c<a<b

4

［解析］*l<b=32<e=a/c=logo.25<0,

,\c<t<a.

故選B.

【答案】B

4.(考點:函數單調性的應用,★★)若函數/(X)/(5-Q)X+2,”<2,在定義域內單調遞增，則實數0的取值范圍是

1ax」,x>2

().

A.［4,5)B.(4,5)

C.(3,5)D.(2,5)

5-a>0,

a>lf

{(5-a)x2+2<a,

解得4Wa<5,

所以實數a的取值范圍是[4,5).

故選A.

【答案】A

5.(考點:均值不等式,★★)設力>0,他4是1g2。與lg8b的等差中項，則六的最小值為().

A.2V2B.竽D.9

【解析】：1g4是1g2。與lg8b的等差中項,

?：2lg4=lg2。+幅8)

即lg16=lg(20?8b)=lg2日

.*.a+3b=4.

?:死=C+》(a+3b)xi=14xQ+21號管，當且僅當莖哼即a=2存2,b=智時取等號.

?：T的最小值為衛篝

ab2

【答案】B

6.(考點:利用導數研究函數的極值,★★★匿x=l是函數/(x)=Qx2+2ax-2)e*1的極值點，則/(x)的極小值為

().

A2e-3B-2e3**

【解析】由題意可得_f(x)=(x+2a)e*-i+(*+2ax-2)exl=[1x2+(2a+l)x4-2a-2]ex'1,

因為「(1)=0,所以a1/(x)=(/2%-2)ex」,F(x)=G*2+^x-^exl.

令f(x)>0,解得x/或x>l;令F(x)v0,解得=<xvl.

所以f(x)在(-8,彳)(1，+8)上單調遞增,在(彳,1)上單調遞減，

所以f(x)的極小值為的)=G+.2卜】-1=,故選C.

【答案】C

3%+4x<0

皿2十；~；若函數y=f(xk有三個零點,則實數。的取

(|2zx-2|,x>0,

值范圍是().

A.[0,2]

B.(0,2)

C.(-8,o]U[2,+8)

D.(-8,o)u(2,+8)

【解析】

畫出/(x)的圖象如圖所示.要使函數y=f(x)-a有三個零點,則函數Hx)的圖象與直線y=a有三個交點，結合圖象

可知實數。的取值范圍是。2).

【答案】B

8.(考點:導數的綜合應用,★★★)已知定義在R上的奇函數/(x)滿足.若/(x)的導函數八x)滿足八刈</+2*,

則不等式/(X)4Z+X2的解集為().

A.(0,+8)B.(0,1)

C.(l,i)D.U)

【解析】設g(x)=：+x2./(x),則g,(x)=x3+2x-f(x).

因為,f'(x)<x3+2x,所以g'(x)>0,

所以g(x)在R上單調遞增.

又#x)是定義在R上的奇函數，則/(l)=^(-l)=-lz

所以刈=%1+1=]

44

所以不等式f(x)*<*x2等價于不等式g(x)>g(l),解得x>l.

故選C.

【答案】C

二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對

的得5分,部分選對的得3分，有選錯的得0分.

9.(考點:不等式的綜合應用,★★)若a.b為正實數，則a>b的充要條件可以為().

A.^<rB.lna<lnb

Calna<blnbD.a-b<e0-eb

【解析】對于A選項，因為a,b為正實數,所以衿泡故A選項符合題意;

對于B選項，因為a,b為正實數，所以Ina<lnboavb,故B選項不符合題意；

對于C選項，取a=e2>b=e,則e2lne2=2e2,elre=e,即alna<b\nb不成立，故C選項不符合題意；

對于D選項，令y=ex-x,因為當x>0時,y'>0,所以y=ex-x在(0,+00)上單調遞增，即

a>b^>ea-a>eb-b<^a-b<ea-eb,^D選項符合題意.故選AD.

【答案】AD

10.(考點:函數的基本性質,★★)下列命題正確的是().

從若函數段)在(2020,2021)上有零點,則一定有將2020)?/(2021)<0

B.函數是偶函數

2

C.若函數/(x)=lg(ax2+5x+5)的值域為R,則實數a的取值范圍是［。圖

D.若函數/x)滿足條件綱-4尼)=x,(xwR,x#0),貝ijHx)弋(x十加#。)

【解析】對于選項A,函數/(x)在(2020,2021)上有零點，不一定有『(2020)?/(2021)<0,選項A錯誤；

對于選項B,函數y平4的定義域為(一4,4),且/):要生弓絲絲=4,滿足Rx月(X)，所以段)是偶函數，選項

J16-X2/16-x2/16-x2116-x2

B正確;

對于選項C,函數/(x)=lg(ax2+5x+5)的值域為R,當a=0時，滿足條件,

當心。時，由憶黑。心0,解得。,抬，

綜上，實數a的取值范圍是［。用，選項C正確;

對于選項D,函數/(x)滿足條件/(X)-4/G)=X(XeR,X#0),

貝lJ/(9?4/(x)W，解得/(x)=?表(％+§)(x#0),選項D正確.

故選BCD.

【答案】BCD

11.(考點:均值不等式,★★)下列說法正確的是().

A.若x,y>0,x+y=4,貝I」2，+2,的最小值為8

B.若xv；,則函數y=2x七七■的最大值為-2

C.若x,y>0,x+y+xy=3,貝I」xy的最/卜值為1

D.函數尸條的最小值為4

【解析】對于選項A,x,y>0,x+y=4,則2乂+2。2恬萬=8,當且僅當2*=2。即x=y時取等號，所以2"2丫的最小值為

8,故選項A正確；

對于選項B,當xv；時,函數片2乂代=-(1-2%+義)+lW-2/(I于幻?2+1=-1,當且僅當l-2x=S-,即x=0時取等

ZZX-1\1-ZXz-M1-ZX1-2X

號,故選項B錯誤；

對于選項C,若x,y>0,x+y+xy=3,則xy+2^^W3,即OvJ^Wl,故xy〈l,所以xy的最大值為1,故選項C錯誤；

對于選項D,函數丫=焉=4四**2JQTI?高=4,當且僅當7^11=熊，即x=±或時取等號,

故選項D正確.

故選AD.

【答案】AD

12.(考點:導數的綜合應用,★★★)已知函數川0=學,則下列結論正確的是().

A.函數f(x)只有一個零點

B.函數/(X)只有極大值而無極小值

C.當-e<k<0時，方程Hx)=k有且只有兩個實根

D.若當x￡比+8)時/x)max=V，則t的最大值為2

［解析】對于選項A/(X)=O=X2+X-I=O,解得、=手，所以A選項錯誤；

對于選項B/(x)=2?=出警，

exe*

令r(x)〉。，得；<xv2;令r(x)<0,得x<-l或x>2,

所以函數f(x)的單調遞減區間是(-8,川,(2,+8),函數f(x)的單調遞增區間是H,2),所以/(-I)是函數的極小

值,/(2)是函數的極大值，所以B選項錯誤；

對于選項C,當X-+8時加)-0,根據選項B可知，函數/(x)的最小值是/(-l)=-e,再根據單調性可知，當-evkvO時,

方程f(x)=k有且只有兩個實根,所以選C項正確；

對于選項D,因為/(2)=持,結合圖象可知,t的最大值是2,所以D選項正確.

故選CD.

【答案】CD

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.(考點:不等式的解法,★)若關于x的不等式。、2+隊+4>0的解集為{訃2<x<1},則2a-b=

【解析】由題意可知-2和1是方程62+%+4=0的兩根，

±=-2_

所以Ri'解得［”2

Q

所以25b=2

【答案】-2

14.(考點:導數的幾何意義,★★)若函數/(x)=Ox+lnx的圖象在點處的切線與直線x-3y+l=0垂直，則實

數。=.

【解析】因為函數/(x)=ax+lnx的導數為/'(x)=a*,

所以/W的圖象在xW處的切線斜率為a+2,

由該切線與直線x-3y+l=0垂直，

可得a+2=-3,

解得。=-5.

【答案】-5

2

15.(考點:不等式的綜合應用,★★★)已知x>0,y>0,且二J=2,若x+y^m4m恒成立，則實數m的取值范圍

yz

是.

【解析】由弱=2可得x+y=(x+y)-&+；)X/號?+引力/根唇今當且僅當然御x=1,y=3時等號

成立.

22

又x+y^m-4m恒成立，所以m-4m^(x+y)min/

故/7)2號團/,即2m2+3m-9W0,

解得-3Wm《李

【答案】卜3圖

16.(考點:導數的綜合應用,★★★成函數張)今,g(x)=》則函數g(x)或(x>0)的最大值為港對任意

出'2￡(0,+8),不等式陪或魯恒成立,則正數k的最小值是_______.

K/CT1

【解析】：加)右、>0),

e入

鏟?x?e41-x

■-------—.

(ex)

由g'(x)>0可得0<x<l,此時函數g(x)單調遞增,

由g'(x)<0可得x>l,此時函數g(刈單調遞減,

?:g(x)的最大值為g(l)=-.

e

若對任意XIM￡(0,+8),不等式陪W縝恒成立，則等價為料《士恒成立,

/(X)=年l=x222。工=2,當且僅當X3,即x=l時等號成立，

XX1^1XX

故朋的最小值為2,且g(x)的最大值為g⑴福則怒的最大值為!■吟

由廣;2；,得k(2e-l)21,即所以k的最小值為1

K+12e2e-l2e-i

【答案W白

小題專練03

三角函數、平面向量與解三角形(A)

一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

的.

1.(考點三角函數的定義,★)若角a的終邊過點(-sin45°,cos30°),則sin。=().

A￡B./C-巫DY

2552

2.(考點:三角恒等變換，★舊知tan。=-4,則cos(n-2a)=().

.3_3_15_3V10

A.-B-C.—D.------

5101710

3.(考點：平面向量與三角函數的綜合，★★)已知向量a=(sina,3),b=(-l,cos。),且a±b,則

sin2a.、

"7~=()?

sinacosa+cos2a

A.-B-C.1D.-

322

4.(考點:三角函數的圖象與性質,★★)若函數y=3sin(3x+。)的圖象關于點管,0)中心對稱，則/。/的最小值為

().

A.”C；D.三

36412

5.(考點:平面向量的數量積,★★股向量a.b滿足/a+b/=3,/a-b/=2,則a?b=().

A.1B-C.-D.-

424

6.(考點:三角函數的圖象變換,★★)函數/(x)=4sin(3X+0)(力>0,3>0,|如V當的部分圖象如圖所示，為了

得到y=sin卜的圖象，只需將/(x)的圖象上().

A.各點的橫坐標變為原來的2倍，再向右平移?個單位長度

6

B.各點的橫坐標變為原來的條再向右平移g個單位長度

C.各點的橫坐標變為原來的2倍,再向左平移!個單位長度

D.各點的橫坐標變為原來的右再向左平移:個單位長度

7.(考點:正、余弦定理的綜合應用,★★★)□,知在△43C中⑼b,c分別為內角AfBtC所對的邊，且a=2,ccos

4+acosC=￥bcosBAABC的面積S=V5,則b=().

A.V13B.714C.2V7D.V21

8.(考點:三角恒等變換及函數的性質,★★★)已知函數/(x)=V5sin2(2n-3x)+sinQXCOSQX呼，且

fta)=6+1瓜8)=心若I司的最小值是五,則下列結論正確的是().

A.3=1,函數/(x)的最大值為1

B.3彳,函數f(x)的最大值為舊+1

C.3彳，函數/(X)的最大值為V5+1

D.函數#x)的最大值為1

二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對

的得5分,部分選對的得3分，有選錯的得0分.

9.(考點:三角恒等變換,★★)下列各式中，值為:的有().

A.咨n30。cos30°

B.cos230°-sin230°

C.l-2cos230°

D.sin230°+cos230°

10.（考點:平面向量的坐標運算,★★）已知向量a+b=（5,3）,a-b=（-3,l）,c=（-2,l）,設a.b的夾角為，，則（）.

A./a/=/b/B.a_Lc

C.b//cD.cos8=^^

85

11.（考點:三角函數的基本性質,★★）已知函數/（x）=sinx”cosx/,則下列命題正確的是（）.

A.該函數為奇函數

B.該函數的最小正周期為2n

C.該函數的圖象關于直線x三對稱

D.該函數的單調遞增區間為[《+2kir4+2kn],A￡Z

12.（考點:解三角形,★★★）已知△48C的內角AB,C的對邊分別為a,b,c,則下列四個命題中正確的是（）.

A.若02+52_.2<0,則△4”一定是鈍角二角形

B.若3上」,則8c一定是等邊三角形

cosAcosBcosC

C.若acosA=bcos8,則△ABC一定是等腰三角形

D.若bcosC=ccos8,則△A8c一定是等腰一:角形

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.（考點:向量共線的條件,★★）已知。=（3,2）力=化5）,若9+28）〃（4。-3切,則k=.

14.（考點:兩角和與差的正、余弦公式,★★舊知￡為銳角,cos。=1閭11（。+，）若,則85B=.

15.（考點:平面向量的數量積,★★舊知等邊△48C的邊長為6,平面內一點P滿足而毛而,褊，則

PA-PB=.

單調遞增區間為.

答案解析：

一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

的.

1.（考點:三角函數的定義,★）若角a的終邊過點（-sin45°,cos30°）,則sin。=（）.

B./C-巫D

A￡255Y2

【解析】由題意可知角。的終邊過點（?4,當），

V3「

故sin=工=■二

二+倒

【答案】B

2.（考點:三角恒等變換,★）已知tan。=-4,則cos"-2。）=（）.

A.-B—D

510%-

u-RFTT*.,c\c?.■>-cos2a+sin2a-l+tan2a-1+1615

【解析】由題息得,cos(n-2a)=-cos2a=-cos2a+sm2a=—^-----=——；-----=-------=—.

'''sin2a+cos2atan2a+l16+117

【答案】C

3.（考點：平面向量與三角函數的綜合，★★）己知向量a=（sina,3）力=（-l,cos。）,且a±b,則

sin2at\

sinacosa+cos2a"

235

A：B-C.1D.-

322

【解析】因為。_Lb,所以a?b=-sina+3cosa=0,即sina=3cosa,所以tana=3,

故sin2a_2tana_3

sinccosa+cos2atana+12,

【答案】B

4.（考點:三角函數的圖象與性質,★★）若函數片3sin（3x+0）的圖象關于點（乎,0）中心對稱，則/0/的最小值為

（）.

A.-B-C.-D.—

36412

【解析】由題意可得3sin（3x9+@）=0,

故3X空+g=kR,kez,解得@=kn粵k￡Z,

44

令k=4,可得的最小值為￡

4

【答案】C

5.（考點:平面向量的數量積,★★）設向量a.b滿足/a+b/=3,/a-b/=2,則a?b=（）.

A.1B-C.-D.-

424

【解析】由題意可得,向以。?b+b2=9,a2-2o,b+b2=4,

兩式相減，得4a?b=9-4=5,

即a?b二.

4

【答案】B

6.（考點:三角函數的圖象變換,★★）函數/（x）=4sin（3X+。）（4>0⑷>Ot\（p\<的部分圖象如圖所示，為了

得到y=sin（2%q）的圖象，只需將加）的圖象上（）.

A.各點的橫坐標變為原來的2倍，再向右平移T個單位長度

B.各點的橫坐標變為原來的右再向右平移9個單位長度

C.各點的橫坐標變為原來的2倍，再向左平移?個單位長度

D.各點的橫坐標變為原來的泉再向左平移:個單位長度

【解析】根據函數Hx）=4sin（3X+。）（4>0,a）>0,（p<的部分圖象，可得A=l,

滬詈（T）年解得了=2口，

所以外丹=1.

T

再根據五點作圖法可得。丹，則吟

故］x）=sin（x+g.

則將函數y=/（x）的圖象上各點的橫坐標變為原來的最得到片sin（2%+9的圖象，再向右平移g個單位長度，得

到y=sin（2x《）的圖象.

故選B

【答案】B

7.（考點:正、余弦定理的綜合應用,★★★）已知在△4BC中⑼4c分別為內角A,BtC所對的邊，且a=2,ccos

4+acosC=￥bcosBAABC的面積5=75，則b=().

A.V13B.V14C.2V7D.V21

【解析】由正弦定理可得sinCeosA+sin4cosC=』/sinBcos8,即sin(4+C)=?^sin8cosB,

所以sin8=-竽sinBcosB,

又sin8WO,所以cos8=m，則8=150°.

因為a=2,AABC的面積

所以S=/csinB=|X2XcX卜氏

解得c=2V5,所以b=Ja2+c2-2accosF=2W.

【答案】C

8.(考點：三角恒等變換及函數的性質)★★★)己知函數/(x)=V^sln2(2JI-3x)#sln^xcos孚，且

/(a)=6+1/￡)=百,若/￡/的最小值是n，則下列結論正確的是().

A.3=1,函數/(x)的最大值為1

B.3=；,函數/(x)的最大值為8+1

C.3=：,函數/（X）的最大值為遍+1

4

D.0彳,函數/（x）的最大值為1

【解析】/（x）=V3sin2（2n-3x）+sin^xcos=V3sin23x+：sin2=1sin2x-ycos23

x+V3=sin（23%-以+百，

由題意可得該函數的周期為nX4=4H，則崇4H，所以3總則加）=麗（打9+6，

故/W的最大值為V5+1.

【答案】C

二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對

的得5分,部分選對的得3分，有選錯的得0分.

9.（考點:三角恒等變換,★★）下列各式中，值為:的有（）.

A苧in30。cos30°

B.cos230°-sin230°

C.1-2COS230°

D.sin230°+cos230°

【解析】A符合，苧sin30°cos30°=^sin60°

B符合,cos230°-siM30°=cos60c=}

C不符合,1-2COS230°=-COS60°=-1;

D不符合,sin230°*cos230°=1.

故選AB.

【答案】AB

10.(考點:平面向量的坐標運算,已知向量a+b=(5,3),a-b=(-3,l),c=(-2,l),設a.b的夾角為%則(

A./a/=/6/B.a±c

C.b//c