微積分基本定理微積分基本定理通過第一節的例子可知，如果按定義來計算定積分，那是十分困難的.本節將介紹一種計算定積分的簡便有效的方法——微積分基本定理，它把定積分與不定積分兩個不同的概念聯系起來，把定積分的計算轉化為求被積函數的原函數.這很好地解決了定積分的計算問題，從而使定積分得到了十分廣泛的應用.一、變速直線運動中位置函數與速度函數之間的聯系為了討論質點在變速直線運動中位置函數與速度函數間的聯系，有必要沿質點的運動方向建立坐標軸.設時刻t時質點所在位置st，速度vtvt≥0.

已知質點在時間間隔T1,T2內經過的路程可以用速度函數vt在T1,T2上的定積分一、變速直線運動中位置函數與速度函數之間的聯系來表示；另一方面，這段路程又可通過位置函數st在區間T1,T2上的增量sT2－sT1

來表示.由此可見，位置函數st與速度函數vt有如下關系：因為s′t=vt，所以上式表示，速度函數vt在區間T1,T2上的定積分等于vt的原函數st在區間T1,T2上的增量.

上述從變速直線運動這個特殊問題中得出來的關系，在一定條件下具有普遍性.請看下面的分析.

二、積分上限的函數及其導數設函數f(x)在區間［a,b］上連續，x是［a,b］上的一點，則由(6-1)

所定義的函數稱為積分上限的函數(或變上限的函數).

式(6-1)中積分變量和積分上限有時都用x表示，但它們的含義并不相同，為了區別它們，常將積分變量改用t來表示，即

二、積分上限的函數及其導數Φ(x)的幾何意義是：右側直線可移動的曲邊梯形的面積.如圖6-6所示，曲邊梯形的面積Φ(x)隨x的位置的變動而改變，當x給定后，面積Φ(x)就隨之確定.圖6-6二、積分上限的函數及其導數定理3若函數f(x)在區間［a,b］上連續，則積分上限的函數

Φ(x)=∫xaf(t)dt

在［a,b］上可導，且(6-2)二、積分上限的函數及其導數又函數f(x)在點x處連續，而Δx→0時，ξ→x,所以若x為區間［a,b］的端點,則只需將上面證明中的x換成a或b,再分別限制Δx>0或Δx<0,即能證明Φ′+(a)=f(a),Φ′-(b)=f(b).

綜上所述,即有這個定理指出了一個重要結論：連續函數f(x)取變上限x的定積分然后求導，其結果還原為f(x)本身.

二、積分上限的函數及其導數【例5】【例6】二、積分上限的函數及其導數【例7】二、積分上限的函數及其導數【例8】設f(x)在區間I上連續,且u(x),v(x)皆可導,證明三、牛頓-萊布尼茲公式

定理3是在被積函數連續的條件下證明的，因此有結論：連續函數必存在原函數，也可得如下定理.

三、牛頓-萊布尼茲公式定理4若函數f(x)在區間［a,b］上連續，則函數Φ(x)=∫xaf(t)dt就是f(x)在［a,b］上的一個原函數.

由定理4知，連續函數的原函數是存在的，并且可以通過原函數來計算定積分.三、牛頓-萊布尼茲公式定理5若函數F(x)是連續函數f(x)在區間［a,b］上的一個原函數，則

∫baf(x)dx=F(b)－F(a).(6-3)

式(6-3)稱為牛頓-萊布尼茲公式.三、牛頓-萊布尼茲公式證已知函數F(x)是f(x)的一個原函數，又根據定理2知，

Φ(x)=∫xaf(t)dt

也是f(x)的一個原函數，所以F(x)－Φ(x)=C，x∈［a,b］，在上式中令x=a，得F(a)－Φ(a)=C，而

Φ(a)=∫aaf(t)dt=0，所以F(a)=C，故

∫xaf(t)dt=F(x)－F(a)，在上式中再令x=b，即得公式(6-3).該公式也常記為

∫baf(x)dx=F(x)ba=F(b)－F(a).三、牛頓-萊布尼茲公式當a>b時，牛頓-萊布尼茲公式仍成立.注由于f(x)的原函數F(x)一般可通過求不定積分求得，因此，牛頓-萊布尼茲公式巧妙地把定積分的計算問題與不定積分聯系起來，轉化為求被積函數的一個原函數在區間［a,b］上的增量問題