2022年中考數學考前30天迅速提分復習方案(上海專用)

專題2.6二次函數六種題型綜合與真題訓練

題型一：二次函數中直角三角形的存在性

1.(2019嘉定二模)在平面直角坐標系xOy中，如圖，拋物線y=mx2_〃+n(m、"是常數)

經過點4(-2,3)、B(-3,0),與y軸的交點為點C.

(1)求此拋物線的表達式；

(2)點D為y軸上一點，如果直線BD和直線BC的夾角為15。，求線段CD的長度；

<3)設點P為此拋物線的對稱軸上的一個動點，當△BP。為直角三角形時，求點P的坐標.

2.(2019寶山二模)如圖，己知對稱軸為直線*=-1的拋

物線y=以2+^+3與%軸交于力、B兩點，與y軸交于C點，其中4(1,0).

(1)求點B的坐標及此拋物線的表達式；(2)點D為y釉上一點，若直線BD和直線BC的

夾角為15。，求線段CD的長度；

<3)設點P為拋物線的對稱軸％=-1上的一個動點，當A8P。為直角三角形時，求點P的坐

題型二：函數中的等腰三角形分類討論

1.(2019閔行區二模)如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線產ax?-2x十c與x軸交于點A

和點B(1,0),與y軸相交于點C(0,3).

(1)求拋物線的解析式和頂點D的坐標：

(2)求證：ZDAB=ZACB：

(3)點Q在拋物線上，且4ADQ是以AD為底的等腰三角形，求Q點的坐

2.(2020?浦東新區一模)如圖，在平面直角坐標系X。)，中，拋物線y=-V+區+。與x軸的

兩個交點分別為A(T,O),8(3,0),與丁軸相交于點C.

(1)求拋物線的表達式；

(2)聯結AC、BC,求NACB的正切值：

(3)點P在拋物線上，且"=求點P的坐標.

題型三：二次函數平移綜合

1.(2022普陀區一模24)如圖，在平面直角坐標系x如中，已知拋物線尸工/+b與直線y

3

=■工j+1交于點力(偏0),6(-3,〃)，與跑交于點a聯結力C.

3

(1)求用、〃的值和拋物線的表達式；

(2)點琳拋物線夕=工/用戶小勺對稱軸上，當/月加90°時，求點珊坐標；

3

(3)將△力在平移，平移后點^4仍在拋物線上，記作點凡此時點出好落在直線上，求

點用勺坐標.

2(2022年金山一模24)已知：拋物線y=-/+陵+3經過點力(0,

1)和8(1,4)頂點為點尺拋物線的對稱軸與x軸相交于點Q

(1)求拋物線的解析式；

(2)求N必。的度數:

(3)把拋物線向上或者向下平移，點B平移到點C的位置，如果BQ=CP,求平移后的拋物線解析

式.

4

3

2

13（2020閔行一模24）.如圖，在平面直角坐標系xQy

?54?3?2?1123456~

-1

-2

-3

-4

中，直線y=-x+5與x軸交于點A,與》軸交于點B.點防拋物線

y=ax2-2a2x+a3+-a的頂點.

2

(1)用含。的代數式表示頂點C的坐標:

(2)當頂點C在A40B內部，且SMoc=g時，求拋物線的表達式，

(3)如果將拋物線向右平移一個單位，再向下平移1個單位后，平移后的拋物線的頂

點?仍在A40B內，求a的取值范圍.

4(2022奉賢一模24)(本題滿分12分，第⑴小題滿分4分，第⑵小題每小題滿分4

分)

如圖11,在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=a/+故+3與x軸交于點

4(一1,0)和點B(3,0),與y軸交于點C,頂點為D.

(1)求該拋物線的表達式的頂點D的坐標；

(2)將拋物線沿y軸上下平移，平移后所得新拋物線頂點為M,點C的對應點為E.

①如果點M落在線段BC上，求乙DBE的度數；

②設直線ME與x軸正半軸交于點P,與線段BC交于點Q,當PE=2PQ時，求

平移后新拋物線的表達式.

圖11

5.（2021,松江區二模）在平面直角坐標系xOy中，直線y=3肝3

與成山、y軸分別交于點N、B,拋物線尸5a經過點及將點晌右平移5個單位長

度，得到點C

（1）求點，的坐標；

（2）求拋物線的對稱軸；

（3）若拋物線的頂點在△。比的內部，求a的取值范圍.

0x

6.【2021年靜安區二模24】（本題滿分12分，其中第⑴小

題4分，第⑵小題5分，第⑵小題3分）

在平面直角坐標系沖，點＞4的坐標為（5,0）（如圖），經過點和勺拋物線y=法+5

與涮相交于點8,頂點為點￡

（1）求此拋物線表達式與頂點C的坐標；

（2）求/力比的正弦值；

（3）將此拋物線向上平移，所得新拋物線

頂點為〃且△0。與相似，求平移后的新拋物線的表達式.

7.【2021年長寧二模24】如圖，己知在平面直角坐

標系x4/中，拋物線尸aV-日止。經過點力（1，

0）、6（3,0）,且與諭交于點C.

（1）求拋物線的表達式；

（2）如果將拋物線向左平移力（內0）個單位長

度，聯結力。、BC,當拋物線與△/比的三邊有且只有

一個公共點時，求疝勺值；

0A

（3）如果點隰拋物線上一動點，且在點碘右側,

聯結/T,直線陽交j釉于點2當NPCE=/PE附

求點/的坐標.

（第24題圖）

8.【2021年奉賢二模】如圖,在平面直角坐標系砌中,已知8（0,2）,

3

r（1,?2）,點力在靜由正半軸上，且例=2施，拋物線j=aV+-（awo）經過點力、c.

（1）求這條拋物線的表達式：（2）將拋物線先向右平移於單位，再向上平移1個單位，此

時點C恰好落在直線力8上的點C處，求旃9值;

（3）設點碳于原拋物線對稱軸的對稱點為8',聯結4G如果點碓直線上,ZACF=

NBAO,求點屈勺坐標.

9.【2021年浦東新區二模24】（12分）如圖,在平面直

角坐標系也加利拋物線尸V十以經過點4%,o）.直線尸弓》?2與淵交于點民與海交

于點C

（1）求這條拋物線的表達式和頂點的坐標；

（2）將拋物線向右平移，使平移后的拋物線經過點反求平移后拋物線的表達

式;

（3）將拋物線y=V+外向下平移，使平移后的拋物線交詢于點〃交線段比于點只Q,

（點/在點循側），平移后拋物線的頂點為也如果歷為或曲求/曲同勺正弦值.

題型四：二次函數背景下的相似三角形的存在性

1.（2022青浦一模24）.（12分）如圖，在平面直角坐標系）如中，扼物線y=/+5Ac與若由

交于點N（-1,0）和點6（3,0）,與跑交于點C,頂點為點。.

（1）求該拋物線的表達式及點曲J坐標；

（2）聯結式'、BD,求/物的正切值；

（3）若點班x軸上一點，當△物與△力比相似時，求點屈勺坐

2.（2022嘉定一模24）（12分）（2021秋?嘉定區期末）在平面直角坐標系*如中，點力、曬

點在直線尸上，如圖.二次函數尸al十川?2的圖象也經過點力、曬點，并與跑相

2

交于點C,如果比〃斕點加勺橫坐標是2.

（1）求這個二次函數的解析式：

（2）設這個二次函數圖象的對稱軸與式交于點〃，點座涮的負半軸上，如果以點反

。、題組成的三角形與△儂相懼，且相似比不為1,求點幽坐標；

（3）設這個二次函數圖象的頂點是M求tan/4俏

與諭交于點8（0,

3）,點做例0）為線段的上一動點，過點肝I垂直于涮的直線與直線四及拋物線分別交于點

P,N.

（1）求拋物線的解析式,

（備用圖）

并寫出此拋物線的對稱軸和頂點坐標:

（2）如果以點八N、氏。為頂點的四邊形為平行四邊形，求力的值:

（3）如果以8、只A為頂點的三角形與△腦耕目似，求點.城J坐標.

4.（2022寶山一模）已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線,=加+反經過點

A（-LO）、B（3,O）,C（O,3）,頂點為點。.

（1）求拋物線的表達式及頂點。的坐標;

1

O-1x

（2）聯結8。、CD,試判斷ABCO與^AOC是否相似，并證明你的結論；

（3）拋物線上是否存在點P,使得NPAC=45°.如果存在，請求出點尸的坐標；如果不

存在，請說明理由.

5.（2022靜安區一模24）如圖，在平面直角坐標系丫如中，已知拋物線尸V+Zu經過點/（2,

0）和點8（-1,加,頂點為點2

（1）求直線/曲表達式；

（2）求tan//用柏值；

（3）設線段6g海交于點P,如果點決“軸上，且△力腔j△力刎似，求點。的坐標.

6.（2021年寶山二模24）在平面直角坐標系x%3拋物線尸

D

ax^bx-1（a^O）經過點/（?2,0），6（1,0）和點〃（?3,n）,與肝由交于點C

（1）求該拋物線的表達式及點卿J坐標；

（2）將拋物線平移，使點（落在點改，點座在點故3求△。龍的面積；

（3）如果點Ht.海上，與△?!而粕似，求點用J坐標.

7.（2021崇明二模24）（12分）已知拋物線y=ad+阮?4經

過點力（-1,0）,B（4,0）,與肝由交于點心點該拋物線上一點，且在第四象限

內，聯結力C、BC.CD、BD.

（1）求拋物線的函數解析式，并寫出對稱軸；

（2）當心的=4也寸，求點俑坐標；

（3）在（2）的條件下，如果點醍淄1上的一點，點醍拋物線上一點，當點兒D、氏F

為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點冊坐標.

題型五：二次函數中的

角相等或角的和差倍半關系

1.（2022長寧一模24）拋物線丁=這2+2就+《與x軸相交于4B兩點（點A在點8左

側），與y軸交于點C（O,3）,其頂點D的縱坐標為4.

（1）求該拋物線的表達式;

（2）求ZAC8的正切值：

（3）點尸在線段CB的延長線上，且ZAFC=ZDABt求CF的長.

2.（2022年虹口一模24）已知開口向上的拋物線與州的交點為4頂點為名

點力與點，關于對稱軸對稱，直線/婷比交于點〃

（1）求點曲勺坐標，并用含a的代數式表示點用J坐標；

（2）當乙仿490,時，求拋物線尸?4a廣3的表達式；

（3）當NABC=2NBC州,求陽的長°

3.（2022黃埔一模24）如圖，在平面直角坐標系X。），中，拋物線y=??-3or-4a（a〈0）與

x軸交于A（-1,O）,B兩點與>軸交于點C,點限拋物線的頂點，拋物線的對稱軸/與比交于

（3）在（2）的條件下，已知點段該拋物線對稱軸上一點，且在線段BC的下方.

/CFB=/BCO,求點尸的坐標

2

4.（2022年松江一模24題）如圖，已知直線尸肝2與涮交于點力，與掰交于點用拋物

（1）求這條拋物線的表達式；

（2）直線與該拋物線交于點C,與線段4次于點〃（點〃與點4環重合），與謝交于

點￡聯結4GBC.

①當D今F=熬AE時，求用勺值;

CD0E

②當所分/"W，求ZU8碑J面積.

4in

5.（2022徐匯一模24題）如圖，拋物線＞=-耳/+7工+2與謝相交于點4與南交于點

&C為線段》上的?個動點，過點淮諭的垂線，交直線力行點〃交該拋物線于點

（1）求直線力曲表達式，直接寫昌頂點.始勺坐標;

（2）當以6,E,媯頂點的三角形與ACDA相似時，求點由J坐標;

（3）當NBOE=2NQ43時，求△BDE與△CD4的面積之比.

6.（2021年長寧二模）如圖，已知在平面直角坐標系x。，中，拋物線尸■?d四過點力（1,

0）、B（3,0）,且與掰交于點C.

（1）求拋物線的表達式:

（2）如果將拋物線向左平移/〃（加＞0）個單位長度，聯結44BC,當拋物線與比的三邊有且

只有一個公共點時，求血值;

（3）如果點P是拋物線上一動點，E在點施勺右側，聯結直線必交跑于點￡當/PCE=

N必'C時，求點儆坐標.

7.（2021年楊浦二模）如圖，已知在平面直角坐標系捫/中，直線y=x-5與琉中相交于點4與y

軸相交于點6,拋物線尸小十6H遮過4、曬點，

<1)求這條拋物線的表達式；

(2)設拋物線與珅11的另一個交點為G點碟拋物線上一點，點幅直線布上一點，當四邊形

比卻是平行四邊形時，求點施勺坐標：

(3)在第(2)小題的條件下，聯結火'，在/依訥作射線如與拋物線的對稱軸相交于點〃，使得

5

4

3

2

1

4QCD=4ABC,求線段偌的長.1I

-2-1C12345x

4

-2

-3

-5

8.(2021年青浦二模)已知：如圖，在平面直角坐標系X。沖，拋物線y=aO+bK3的圖象與尸

軸交于點/(-1,0)和點5,與井力交于點C對稱軸是直線x=l,頂點是點〃

(1)求該拋物線的解析式和頂點圓坐標；

(2)點防該拋物線第三象限上的一點，當四邊形則為梯形時，求點廂坐標；

(3)在(2)的條件下，點媯刷正半軸上的一點，當tan(NPBfhNPEO)=8時，求四

題型六：二次函數中的線段相等與倍半關系問題

例1(2022楊浦一模24)己知在平面直角坐標系中，拋物線了=-1，+6廣。與再由交于點力

2

(-b0)和點屬與浦h交于點C(0,2),點提該拋物線在第一象限內一點，聯結

AP、BG4戶與線段式相交于點￡

(1)求拋物線的表達式；

(2)設拋物線的對稱軸與線段比交于點后如果點尸與點健合，求點用勺坐標；

(3)過點P作AG1麻，垂足為點G,戶G與線段應交于點兒如柒PF=PH,求線段用的長

2.(2020長寧二模)如圖7,在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=爐+〃猶+〃經過點

4(2,-2),對稱軸是直線尢=1,頂點為點8,拋物線與y軸交于點C.

(1)求拋物線的表達式和點8的坐標；

(2)將上述拋物線向下平移1個單位，平移后的拋物線與鬧正半軸交于點。，求ABCQ

的面積；

(3)如果點尸在原拋物線上，且在對稱軸的右側，聯結8P交線段。4于點。，^=1,求

3

2

1

1???

-4-3-2-1。1234x

-1

-2

-4

點P的坐標.

3.(2021閔行區二模24)(12分)在平面直角坐標系x0y中，拋物線尸-V+譏什〃經過點力

(5,0),頂點為點反對稱軸為直線x=3,且對稱軸與刑交于點C.直線兒經過點

A,與線段成交于點反

(1)求拋物線/=-￥十仞戶〃的表達式：

(2)聯結陰、E0.當△80面勺面積為3時，求直線尸人+防勺表達式：

(3)在(2)的條件下，設點媯中由上的一點，聯結劭、M當而比時，求/加附余

切值.

4.(2021虹口二模24)如圖8,在平面直角坐標系中，直線/：y=L+b與x軸、y軸分別

kQ

交于點從B,與雙曲線〃；y=￡交于點P(2,-),直線彳=用分別與直線/和雙曲線〃交于點

x2

￡D.

(1)求腳。的值；

(2)當點解線段力肚時，如果切二的，求0的值；

(3)點醇價上一點，如果四邊形6徽是菱形，求點C的坐標，

5.(2020浦東二模)在平面直角坐標系

中，已知拋物線》=一/+云+。與/軸交于點A和點8(點A在點8的左側)，與)'軸交于

點。(0,3),對稱軸是直線x=l.

(1)求拋物線的表達式;

34s6x

(2)直線MN平行于x軸，與拋物線交于M、N兩點(點M在點N的左側)，且

3

MN=7AB,點C關于直線MN的對稱點為E,求線段。￡的長；

4

(3)點P是該拋物線上一點，且在第一象限內，聯結CP、EP，EP交線段6c于點

F,當△由?二1：2時，求點P的坐標.

6.(2020青浦二模)如圖7,在平面直角坐標系/中，二次函數＞=〃/一4〃工+3的圖像與

漸正半軸交于點A、B,與y軸相交于點C,頂點為。，且tanNC10=3.

(1)求這個二次函數的解析式；

(2)點P是對稱軸右側拋物線上的點，聯結CP,交對稱軸于點尸，當

S<DF:S/M=2:3時，求點儆坐標；

(3)在(2)的條件下，將直線掀翻折，當點尸恰好與點嫌合時，折痕網交工軸

于點也交y軸于點M求也的值.

A\/BxA\/B

D

備用圖【真題訓練】

1(2021上海中考真題24).已知拋物線y=ax?+c(a?0)經過點P(3,0)、Q(l,4).

⑴求拋物線的解析式；

(2)若點A在直線PQ上，過點A作ABJ_x軸于點B,以AB為斜邊在其左側作等腰直角三角

形ABC,

①當Q與A重合時，求C到拋物線對稱軸的距離；

②若C落在拋物線上，求C的坐標.

012

2.(2020上海中考真題24).在平面直角坐標系相取

中，直線尸■2代5與謝、斕I分別交于點兒6(如圖),拋物線尸&V+6*(aWO)經

過點4

(1)求線段4刪長：

(2)如果拋物線尸商司陷過線段初上的另一點a旦BC=a，求這條拋物線的表達

式；

(3)如果拋物線尸包，+4*的頂點加立于△力仍內，求a的取值范圍.

A

0丫3（2019上海中考真題24）.（12分）在平面直角坐標系/少中

（如圖），已知拋物線尸V-2刈其頂點為兒

（1）寫出這條拋物線的開口方向、頂點力的坐標，并說明它的變化情況：

（2）我們把一條拋物線上橫坐標與縱坐標相等的點叫做這條拋物線的“不動點”.

①試求拋物線尸V-2*1勺“不動點”的坐標；

②平移拋物線尸2出使所得新拋物線的頂點凝該拋物線的“不動

點”，其對稱軸與涮交于點G且四邊形/比是梯形，求新拋物線的表達

Ox

式.

2022年中考數學考前30天迅速提分復習方案(上海專用)

專題2.6二次函數六種題型綜合與真題訓練

題型一：二次函數中直角三角形的存在性

1.(2019嘉定二模)在平面直角坐標系xOy中，如圖，拋物線y=mx2_〃+n(m、"是常數)

經過點4(-2,3)、B(-3,0),與y軸的交點為點C.

(1)求此拋物線的表達式；

(2)點D為y軸上一點，如果直線BD和直線BC的夾角為15。，求線段CD的長度；

<3)設點P為此拋物線的對稱軸上的一個動點，當△BP。為直角三角形時，求點P的坐標.

【分析】

AIII」「

-101X

(1)將點A和點B坐標代入解析式求解可得；

(2)先求出點C坐標，從而得出0C=0B=3,ZCBO=45°,據此知/DBO=30。或60。，依據

DO=BO-tanZDBO求出得D0=4或3小，從而得出答案；

(3)設P(-1,t),知13心=18,PB2=4*APC*2=t2-6t+10,再分點B、點C和點P直角頂點

三種情況分別求解可得.

【詳解】

(1)依題意得;(4m+4+n=3

:|9m+6+n=0

解得;廠工

，拋物線的表達式是y=-X2-2X+3

(2),?,拋物線y二+3與y軸交點為點c

，點C的坐標是(0,3),又點B的坐標是(-3,0)

；,0C=0B=3

Z.CBO=450:,Z.DBO=30。或60°

在直角△BOD中，DO=B0?tan乙DBO

."。=/或3/，."。=3-/或3遍-3.

(3)由拋物線y=-/-2%+3得：對稱軸是直線％=-1

根據題意：設P(-13),又點C的坐標是(0,3),點B的坐標是(-3,0)

[BC2=18,Pfi2=(-l+3)2+C2=4+t2,PC2=(-l)2+(t-3)2=t2-6t+10，

①若點8為直角頂點，則BC2+PB2=P(；2即；18+4+J=a-6t+io解之得；t=-2,

②若點C為直角頂點，則BC?+PC2=PB?即：18+6-61+10=4+d解之得：￡=4,

③若點P為直角頂點，則P02+pc2=Bd即：4+t2+t2_6t+io=ig解之得：

3+舊3-V17

t-1-------，to--------

1222

綜上所述P的坐標為(-1,-2)或(-1,4)或(—1,空斗或(.1,上空).

【點睛】本題是二次函數的綜合題，解題的關鍵是掌握待定系數法求函數解析式、等腰三角

形的性質、兩點間的距離公式及直角三角形的性質等知識點.

2.(2019寶山二模)如圖，己知對稱軸為直線％=T的拋物線y二a/+bx+3與X軸交于人

B兩點,與y軸交于C點,其中4(1,0).

(1)求點B的坐標及此拋物線的表達式；

⑵點D為y軸上一點,若直線BD和直線BC的夾角為15。，求線段CD的長度;

<3)設點P為拋物線的對稱軸％=-1上的一個動點，當A8PC為直角三角形時，求點P的坐

標.

【分析】

(1)將A、C坐標代入拋物線，結合拋物線的對稱軸，解得a、b、c的值，求得拋物線解析式;

(2)求出直線BC的解析式為y=/+3,得出NCBA=45°再求出NDBA=30°或/DBA=60°,再求

出DO即可;

(3)設點P的坐標，分別以B、C、P為直角頂點，進行分類討論，再運用勾股定理得到方程式

進行求解.

【詳解】解：(1)根據對稱軸x=T,A(1,0),得出B為(-3,0)

h

---=-1,a=—1

依題意得:上晨n，解之得：此一2,

a+D+c=0|c=3

c=3

，拋物線的解析式為y=-X2-2X+3.

(2)???對稱軸為1=-1,且拋物線經過4(L0),，B(-3,0)

直線BC的解析式為y=x+3.ZCBA=45°

1?直線BD和直線BC的夾角為15°,NDBA=30°或NDBA=60°

在ZiBOD,DO=BO-tanz.DBOfB0=3

,DO二1或3/，??.CD=3-孝或3道一工

(3)設又B(-3,0),C(0,3),

APC2=18,「群=(-1+3)2+產=4+及，，

①若點B為直角頂點，則8c?+p?2=pc2即：PC?=(-l)2+(t-3)2=t?_6t+io解之得：

t=-2,

②若點C為直角頂點,則/+PC?=PB2即：18+t2_6t+io=4+F解之得:t=4,

③若點P為直角頂點，則陽2+202=/即：解之得：4+t2+t2-6t+10=18

3+舊3-舊

，c2=^—

綜上所述P的坐標為(T-2)或(T4)或卜1苫匣)或卜1土丹

【點睛】本題主要考查一次函數的圖象與性質和二次函數的圖象與性質，物練掌握一次函數

的圖象與性質和二次函數的圖象與性質是解題的關鍵.

題型二：函數中的等腰三角形分類討論

1.(2019閔行區二模)如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2x+c與x軸交于點A

和點B(1,0),與y軸相交于點C(0,3).

(1)求拋物線的解析式和頂點D的坐標；

(2)求證：ZDAB=ZACB：

(3)點Q在拋物線上，且AADQ是以AD為底的等腰三角形，求Q點的坐標.

整體分析:

(1)把從，坐標代入拋物線解析式中，解方程組即可得到拋物線顰析式，從而得到拋物

線頂點坐標；

(2)由tan/a方=』.tan^DAC=^-=-1得到/加小/依況從而得到結論；

OC3AC3

(3)令0(Y,y)且滿足y=-f-2x+3,由△力睡以加為底的等腰三角形，得到

x-2+2尸0

⑺二仍，從而得到『2+2尸0.解方程組2cr即可得到結論.

y=-x-2x+3

滿分解答:

解：(1)把8(1,0)和0(0,3)代入丁二僦2-24+已中,

9。十6十c=0a=-\

得：解得:

c=3c=3

，拋物線的解析式是：y=-d-2x+3,,?,頂點坐標〃(一1,4).

(2)令片0,則一X2-2X+3=O,汨二一3,用二1,???/(—3,0),，以二好3,AZ

CAO=ZOCA.在Rt/^8次中,tanZO=—=-.

OC3

,:AC二3小吃日?2后,；?一十〃二20,4%20,:.AC+M=加,???△/醺直角三角

DC1

形且N/繆=90°,tanZDAC=---=—.

AC3

又以冰口/筋都是銳角，DAO/OCB,：?4DA0乙CA8乙BCS乙OCA,即/%+/

ACB,

(3)令0(%y)且滿足y=-f_2x+3,水一3,0),〃(-1,4).???△/!頤以

4%底的等腰三角形，.'.0=財，即(x+3)2+y2=(x+l)2+(y_4)2,化簡得；尸2+2尸0.

-3+741-3-a

j-2+2y=0附4釬4

由，2c/解得；］

y==x-2x+311-74?，n+TJT，

心8》「8

二點端坐標是(￥’七畫)’-3-歷ll+x/JT

48

2.(2020?浦東新區一模)如圖，在平面直角坐標系x0y中，拋物線y=-H+版十6與x軸的

兩個交點分別為A(-LO),B(3,0),與)，軸相交于點C.

(1)求拋物線的表達式：

(2)聯結AC、BC,求NAC8的正切值：(3)點P在拋物線上，且N23=N4C8,求點尸

的坐標.

(1)將點A,8坐標代入拋物線y=-f+瓜+c即可；

(2)如圖1,過點4作4〃_L8c于〃，分別證A08C和A4//5是等腰直角三角形，可求出

CH,4〃的長，可在RtAAHC中，直接求出NACB的正切值；

(3)此問需分類討論，當"AB=ZACB時，過點P作PM_Lx軸于點M,設尸(a,-/+2a+3),

由同角的三角函數值相等可求出〃的值，由對稱性可求出第二種情況.

【解答】

解；(1)將點A(-1,O),8(3,0)代入拋物線y=-f十版+c中，

f-l-/>+c=0

得，

一9+3Hc=0

解得，6=2,c=3,

???拋物線的表達式為產*+2%+3；

(2)?.?在y=一f+2x+3中，當x=0時，y=3,

/.C(0,3),

：.OC=OB=3,

??.△O8C為等腰宜角三角形，NO3c=45°,

??.BC=gOC=3垃,

如圖1,過點A作4HJ.8C\H,

則44B=Z//flA=45。，

???M/B是等腰直角三角形，

：AB=4,

AH=BH=—AB=2xll,

2

:.CH=BC-BH=>/2

.,.在RtAAHC中，UnZACT=—=^=2,

CH72

即NA。的正切值為2；

(3)①如圖2,當Z4B=NACB時，過點P作PMJLx軸「?點M，

設戶+3),則M(4,0),

由(1)知，tan/4C8=2,

/.tanZ.PAM=2,

?.?=Z!

AM

——+2d+3c

---------------=2,

4+1

解得,q=T(舍去)，&=1,.*(1,4);

②取點P(l,4)關于x軸的對稱點Q(l,-4),延長A。交拋物線于鳥，則此時

ZP2AB=ZPAM=ZACB,

設直線PQ的解析式為尸近”，將A(-1,O),[1,-4)代入，

[—k+/?=0

得，，

k+b=-4

解得,&=-2,/>=—2?

:,yAQ=-2x-2f

聯立，

y=-x~+2x+3

解得，wx=S

y=-12

?.1(5,-12);

綜上所述，點尸的坐標為(1,4)或(5,T2).

題型三：二次函數平移綜合

1.(2022普陀區一模24)如圖，在平面直角坐標系濃"中，已知拋物線尸$啟■如△與直線y

=?2肝1交于點4(加，0),4(?3,加，與中由交于點C,聯結4C.

3

(1)求用、〃的值和拋物線的表達式；

(2)點〃在拋物線y=]/"的c的對稱軸上，當N〃Z=90°時，求點〃的坐標；

(3)將比平移，平移后點/仍在拋物線上，記作點P,此時點緇好落在直線腦上，求

點知勺坐標.

I【分析】(1)利用待定系數法求出4硒點坐標即可解決問題.

(2)過點雁如1游由于點片由直角三角形的性質得出tan乙46Z?=tan/aW,則

2

迫可列出方程求出第的長，則可得出答案；(3)設尸(￡,ltJ-t_2),得出

CODH33

Nd,上一二廠2-2)，由點A在宜線力8上可得出E的值，則可得出答案.

33

【解答】解：⑴將N(初，0)代入尸?L+1,

3

解得片3,

：.A(3,0),

將8(-3,n)代入y=?』戶1,

3

解得〃=2,

：.B(-3,-2),

把力(3,0),6(-3,2)代入尸工7+6戶c中,

3

4x9+3b+c=0

得

yX9-3b+c=2

o

2

解得3,

c二-2

??

?拋物線的解析式為.lx.2t

33

(2)如圖1,過點祚〃〃1坤由于點兒

???拋物線的對稱軸為＞=-?=《，

2a2

2

VZACD=^°,

工NAC8/DCH=g§,

又T4DC/ZCDH=9Q°,，4K0=ZCDH,

?'?tanZ.ACO=tanZCDH,

?,A?O——CH19

CODH

由（1）可知/=3,0C=2f

.3CH

,?萬H

7

:.CH=&,

4

(3)如圖2,若平移后的三角形為△?加；

則船三以=2,PM=0A=3,

設尸(blt2,

33

2

-ltJ^f-2-2),

33

??,點臨直線尸-L+l上，

3

(t-3)+1,

31Tx33

，￡=3&^￡=-3加，

???一(3加，4-加)或一(-3打，4+加).

【點評】本題屬于二次函數綜合題，考查了二次函數的性質，一次函數的性質，直角三

角形的性質，銳角三角函數的定義，平移的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，學會

用轉化的思想思考問題，學會利用參數構建方程確定點的坐標.

2(2022年金山一模24)已知：拋物線y=-7+bx+c經過點4(0,1)和8(1,4)頂點為

點只拋物線的對稱軸與刀軸相交于點Q

(1)求拋物線的解析式：

(2)求/用。的度數；

把拋物線向上或者向下平移，點B平移到點C的位置，如果BQ=CPf求平移后的拋物線解析式.

6“

5

4

3

2

1

-54-3-2-1,0123456

-1

-2

-3

-4

-5

c=l

解：(1)根據題意，(2

-\+b+\=4

分)

解得：b=4?c=lo

，拋物線的表達式是y=—f+4x+i....................................(2分)

(2)y=-x2+4x+l=-(^-2|2+5,，頂點用坐標是(2,5).

對稱軸是直線產2,點附坐標為（2,0）.............................（1分）

:,PA=2后,QA=&PQ=5；...................................（1分）

??.PA）十QT二尸Q。ZCOM=90°,.................................（2分）

（3）根據題意，BC〃PQ.

如果點C在點國勺上方，PC〃B亦,四邊形式凡堤平行四邊形，

:?BQCP,BOPQW,

即拋物線向上平移5個單位，平移后的拋物線解析式是y=-/+4*+6.......（2分）

如果點斑點砸下方，四邊形88混等腰梯形時制二⑦

作BE工PQ,CFLPQ,垂足分別為樂F.

根據題意可得，PE=QF=1,PQ$,EC;EF4,

即拋物線向下平移3個單位，平移后的拋物線解析式是y=-V+4X-2........（2分）.

綜上所述，平移后的拋物線解析式是丁=+4%+6或y=-/+4%-2.

3（2020閔行一模24）.如圖，在平面直角坐標系xQy中，直線y=-x+5與1軸交

于點A,與》軸交于點B.點C為拋物線y=ax2-2cTx-\-ct,a的頂點.

2

\（1）用含。的代數式表示頂點C的坐標:

（2）當頂點C在AAOB內部，且=2時，求拋物線的表達式：（3）如果將拋

物線向右平移一個單位，再向下平移1個單位后，平移后的拋物線的頂點P仍在△

AOB內，求。的取值范圍.

【小問1詳解】解：拋物線y=cvc-2a2xi-a3+-a=a（x-a）2±-a,

，頂點。的坐標為（〃二〃）：

2

【小問2詳解】解；對于丁=一工+5,當片0時，尸5,當片0時，下5,

：.A（5,0）,B（0,5）,

頂點C在hAOB內部，且S40c=9

2,

:.爐2,

，拋物線的表達式為了=2丁-心+9；

【小問3詳解】解：由題意，平移后的拋物線的頂點郁J坐標為；

???平移后的拋物線的頂點P仍在內，

〃+1>0

解得：1V&V3,

即4的取值范圍為lVdV3.

4(2022奉賢一模24)(本題滿分12分，第⑴小題滿分4分，第⑵小題每小題滿分4

分)

如圖11,在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=Q/+bx+3與x軸交于點力(一1,0)

和點8(3,0),與y軸交于點C,頂點為D.(1)求該拋物線的表達式的頂點D的坐標;

(2)將拋物線沿y軸上下平移，平移后所得新拋物線頂點為M,點C的對應點為E.

①如果點M落在線段BC上，求乙DBE的度數；

②設直線ME與4軸正半軸交于點P,與線段BC交于點Q,當PE=2PQ時，求

平移后新拋物線的表達式.

y

圖11

【解答】解：(1)將點力(?1,0)和點8(3,0)代入/=

89+力戶3得,

a-b+3=0

9a+3b+3=0

解得

：.y="x+2^3=-(J-1)2+4,

???頂點〃(1,4)；

(2)①設直線x=l交珞由于6

'：B(3,0),C(0,3),：.OB=OC=3,:,GM=

GB=2,：,DM=DG-GM=2t

???將拋物線尸-V+2H3沿蹴向下平移2個單位時，點皤在比上，此時￡(0,1),

(1,4),E(0,