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文檔簡介

冪級數的應用一、歐拉公式之前我們討論過級數當x為任何實數時，級數的和函數為ex，即收斂域為－∞<x<+∞．那么當x為復數時，情況如何呢？考察下列級數其中z=x+yi，x,y為實數，一、歐拉公式在復變函數理論中可以知道，級數

在復平面上是絕對收斂的，其和函數定義為ez，即當y=0時，z=x，這時

表示函數ex．當x=0時，z=yi，這時有一、歐拉公式由于一、歐拉公式因此有這就是歐拉（Euler）公式．同理可得將兩式分別相加，相減可推出這兩個公式也稱為歐拉公式．二、冪級數展開式在近似計算上的應用如果函數f(x)有展開式則在區間(x0-R,x0+R)上，有求得多項式Pn(x)的函數值，即為f(x)函數值的近似值．二、冪級數展開式在近似計算上的應用我們可以采取下列步驟來計算某數A的近似值：（1）選擇一個函數f(x)，使A=f(x1)；（2）選取某點x0，使f(k)(x0)容易求出(k=0，1，2，…)，并使|x1－x0|盡可能的小；（3）令t=x－x0，即x=x0+t，把f(x0+t)展成t的冪級數，設為二、冪級數展開式在近似計算上的應用當t=t1=x1－x0時，得（4）根據精確度的要求，適當選定n，按計算A的近似值．這里，A與Pn(t1)相差余項

稱為用Pn(t1)表示A的截斷誤差．在計算A的值時，還有因四舍五入而產生的舍入誤差．因此，求A的近似值時，應使這兩種誤差之和滿足精確度的要求．二、冪級數展開式在近似計算上的應用求

的近似值，誤差不超過10－4．解令

，則A=f(245)．因35=243，故取x0=243．令t=x－243，t1=x1－x0=2，【例1】二、冪級數展開式在近似計算上的應用利用二項展開式，有當t=t1=2時，得取前兩項的和作為A的近似值，由于這是一個交錯級數，故截斷誤差二、冪級數展開式在近似計算上的應用計算取5位小數，再四舍五入，保證計算誤差小于10－4，得A≈3.00494≈3.0049．二、冪級數展開式在近似計算上的應用計算積分

的近似值，精確到0.00001．

解先求積分

的冪級數展開．

由ex的冪級數展開得【例3】二、冪級數展開式在近似計算上的應用計算sin18°的近似值，誤差不超過10－4．分析可以用sinx的冪級數計算sin18°的近似值．首先應將18°化為弧度在sinx的冪級數展開式中，取

，并結合允許誤差取有限項，即可得到的sin18°的近似值．【例2】二、冪級數展開式在近似計算上的應用

解解這是一個交錯級數．若取前兩項，得截斷誤差為最后得出二、冪級數展開式在近似計算上的應用在上式兩邊逐項積分，得在上式中令x=0.2得因為第四項所以取前三項的和作為積分的近似值．二、冪級數展開式在近似計算上的應用思考

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