一.知識列表

高考要求

本講模塊高考考點

了解理解掌握

頻率估計概率A

古典概型互斥事件與對立事件C

古典概型C

長度型幾何概型B

幾何概型面積型幾何概型C

體積型幾何概型B

回歸宜線B

獨立性檢驗C

統計

離散型隨機變量的分布列及期望

C

方差

二.基礎知識：

古典概型

1.頻率和概率

(1)在相同條件S下重復〃次試驗，觀察某一事件4是否出現，則〃次試驗中事件A出現的

次數根為事件4出現的頻數，稱事件A出現的比例力(A)=-為事件A出現的頻率；

n

(2)如果隨著試驗次數的增加，事件A發生的頻率0(4)穩定在某個營數上，把這個常數記

為P(A),稱為事件A的概率.簡稱為A的概率；

(3)頻率和概率有本質區別，頻率隨試驗次數的改變而變化，概率卻是一個常數；對于給定

的事件4,由于事件A發生的頻率力(A)隨著試驗次數的增加穩定于概率尸(A),因此可以

用頻率￡(A)來估計概率P(A).概率的取值范圍：0<P(A)<1

2.互斥事件：如果ACI8為不可能事件408=。，則稱事件A與事件8互斥，即事件A與

事件B在任何一次試驗中不會同時發生.互斥事件的概率加法公式：

尸(AUB)=P(A+B)=尸(A)+P(B)

P（AU&U…U4）=P（A）+尸（&）+…+尸（4）

3.對立事件：若Ap|B為不可能事件，而AUB為必然事件，那么事件A與事件3互為對

立事件，其含義是事件A與事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發生.

對立事件的概率：P（A）=1-P（A）

4.古典概型

（1）基本事件：在一次試驗中可能出現的每一個基本結果稱為基本事件.

基本事件的特點：

①任何兩個基本事件是互斥.

②任何事件都可以表示成基本事件的和.

（2）古典概型的兩大特點：

①試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個；

②每個基本事件出現的可能性相等.

5.古典概型的概率計算公式：

P（A）=，黨磐言氏數二竺（〃為總的基本事件個數，》為事件A的結果數）.

,7總的基本事件個數〃

6.幾何概型

（1）幾何概型的概念

如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率

模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型.

（2）幾何概型的概率公式

zX構成事件A的區域長度（面枳或體積）

［廠試驗的全部結果所構成的的區域的長度（面積或體積）

7.統計

1.抽樣方法

（D抽樣要具有隨機性、等可能性，這樣才能通過對樣本的分析和研究更準確的反映總體的

情況，常用的抽樣方法有簡單隨機抽樣、系統抽樣和分層抽樣.

（2）簡單隨機抽樣是指一個總體的個數為四（較小的有限數），通過逐個抽取一個樣本，且每

次抽取時每個個體被抽取的概率相等.簡單隨機抽樣的兩種常用方法為抽簽法和隨機數表

法.

（3）分層抽樣是總體由差異明顯的幾部分組成，常將總體按差異分成幾個部分，然后按各部

分所占比例抽樣，其中所分成的各部分叫做層.

(4)系統抽樣是當總體中的個數較多時，將總體均分成幾部分，按事先按確定的在各部分抽

取.

2.總體分布的估計

(1)作頻率分布直方圖的步驟：

①求極差(即一組數據中最大值與最小值的差)

②決定組距與組數

③將數據分組

④列頻率分布表(下圖)

分組頻數頻率累計頻率

［仙八)弓/1

楂，G)r2f^fi

…?????????

4A￡+&+…+￡=1

⑤畫頻率分布直方圖，將區間［〃，份標在橫軸上，縱軸表示頻率與組距的比值，以每個組

距為底，以各頻率除以組距的商為高，分別畫矩形，共得A個矩形，這樣得到的圖形叫頻率

分布直方圖.

頻率分布直方圖的性質：①第i個矩形的面積等于樣本值落入區間4)的頻率；②由于

工+人+…+￡=1,所以所有小矩形的面積的和為1.

(2)連接頻率分布直方圖中各小長方形上邊的中點，就得到頻率分布折線圖，隨著樣本容量

的增加，折線圖會越來越近似于一條光滑曲線，稱之為總體密度曲線.

(3)統計中還有一種被用來表示數據的圖叫莖葉圖，莖是中格中間的一列數，葉是從莖旁邊

長出來的一列數.

用莖葉圖表示數據有兩個突出的優點：一是從統計圖上沒有原始信息的損失，所有的數據信

息都可以從莖葉圖中得到；二是莖葉圖可以在比賽時隨時記錄，方便記錄與表示.

3.平均數和方差的計算

-1

(1)如果有〃個數據X],Xn,則1二—(3+/+…+工”)

n

2

叫做這組數據的平均數，/=A[(X1-X)2+(X2-X)2+...+(Xn-X)]

n

叫做這組數據的方差，而s叫做標準差.

1—2

⑵公式/=—?J+1,2+-/?)-nx]

n

(3)當一組數據%,電，…，豆中各數較大時，可以將各數據減去一個適當的常數〃，得到

112

x^=x-a,x2—x2—a,-,x^=x~a,則=_[(芭'2+12'2+...+工“2)一〃X]

n

4.利用頻率分布直方圖估計樣本的數字特征

(1)中位數：在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積應該相等，由此可以

估計中位數值.

(2)平均數：平均數的估計值等于每個小矩形的面積乘以矩形底邊中點橫坐標之和.

(3)眾數：最高的矩形的中點的橫坐標.

(4)極差=最大數一最小的數.

5.兩個變量的相關關系

(1)如果兩個變量之間沒有函數關系所具有的確定性，它們的關系帶有隨機性，則稱這兩個

變量具有相關關系.

(2)有相關關系的兩個變量，若一個變量的值由小到大時，另一個變量的值也是由小到大，

這種相關稱為正相關；反之，一個變量的值由小到大，另一個變量的值由大到小，這種相關

稱為負相關.

(3)如果散點圖中，具有相關關系的兩個變量所有觀察值的數據點，分布在一條直線附近，

則稱這兩個變量具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線，方程為

人ZRM一欣A

其中石=々-----------a=y-bx

f七2一〃⑸2

(4)樣本的相關系數

Z%y一欣.其

r=./=1------------

岳…)2$。「剪2

V/=1i=i

當，＞0時，表示兩個變量正相關，當rvO時，表示兩個變量負相關，|川越接近于1,

表明兩個變量的線性相關性越強：|一|越接近于0,表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關

關系.通常當|r|>0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關關系.

6.獨立性檢驗

(1)分類變量

用變量的不同“值”，表示個體所屬的不同類別，這種變量稱為分類變量.例如：是否

吸煙，宗教信仰，國籍等.

(2)列聯表：即列出兩個分類變量的頻數表：一般地，假設有兩個分類變量［和亍，它們的

值域分別為｛石,4｝和｛%，％｝，其樣本頻數列聯表(稱為2X2列聯表)為：

%合計

y2

*aba+b

X2Cdc+d

合計a+cb+dn

其中〃=a+Z?+c+d為樣本容量.

(3)可以利用獨立性檢驗來考察兩個分類變量是否有關系，并且能較為準確地給出這種

判斷的可靠程度，具體做法是：根據觀測數據計算由公式犬2=^―__

(a+b\(a+c)(c+d)(b+d)

所給出的檢驗隨機變量的觀測值上并且女的值越大，說明“x與y有關系”成立的可能

性越大，同時可以利用以下數據來確定“x與丫有關系”的可信程度.

這種利用隨機變量K?來確定在多大程度上可以認為“兩個分類變量有關系”的方法

稱為兩個分類變量的獨立性檢驗.

3.典例分析

例1.經統計，在某儲蓄所一個營業窗口等候的人數相應的概率如下:

排隊人數012345人及5人以上

概率0.10.160.30.30.10.04

求：(1)至多2人排隊等候的概率是多少;

(2)至少3人排隊等候的概率是多少.

【答案】C

記“無人排隊等候”為事件A,“1人排隊等候”為事件“2人排隊等候”為事件C,“3

人排隊等候”為事件“4人排隊等候”為事件E,“5人及5人以上徘隊等候”為事件產，

則事件比F互斥.

(1)記“至多2人排隊等候”為事件G,則6=4+8+。，所以

尸(G)=P(4)+P(5)+P(Q=0.1+0.16+03=0.56.

(2)方法一：記“至少3人排隊等候”為事件”，則〃=。+七+/，所以

P(H)=尸(。)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.

方法二：記“至少3人排隊等候”為事件〃，則其對立事件為事件G,所以

P(//)=1-P(G)=1-0.56=0.44.

練習1.在12件瓷器中，有10件一級品，2件二級品，從中任取3件.

(1)”3件都是二級品”是什么事件？

(2)“3件都是一級品”是什么事件？

(3)“至少有一件是一級品”是什么事件？

【答案】(1)不可能事件(2)隨機事件(3)必然事件

(1)因為12件瓷器中，只有2件二級品，取出3件都是二級品是不可能發生的，故是不

可能事件.

(2)“3件都是一級品”在題設條件下是可能發生也可能不發生的，故是隨機事件.

(3)“至少有一件是一級品”是必然事件，因為12件瓷器中只有2件二級品，取三件必有

一級品.

練習2.盒中僅有4只白球5只黑球，從中任意取出一只球.

(1)“取出的球是黃球”是什么事件？它的概率是多少？

(2)“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？

(3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？

4

【答案】(1)0,(2)-(3)1

9

【解析】(1)“取出的球是黃球”在題設條件下根本不可能發生，因此它是不可能事件，其概率為0.

(2)“取出的球是白球”是隨機事件，它的概率是：4.

9

(3)“取出的球是白球或黑球”在題設條件下必然要發生，因此它是必然事件，它的概率是1.

例2.已知〃力,c為集合4={1,2.3,4,5,6}中三個不同的數，通過右邊框圖給出的一個算法

輸出一個整數〃，則輸出的數〃=5的概率是()

￡

D.

5

【答案】A

根據框圖判斷，本框圖輸出的。為輸入的一:個數。g,c?中的最大值

最大值是3的情況，輸入的三個數為1,2,3,1種情況

最大值是4的情況，輸入的三個數為1,2,3里兩個以及4,3種情況

最大值是5的情況，輸入的三個數為1,2,3,4里兩個數以及5,6種情況

最大值是6的情況，輸入的三個數為1,2,3,4,5里兩個數及6,10種情況

〃二5的概率:

2

故答案為

練習1.五個人圍坐在一張圓桌旁，每個人面前放著完全相同的硬幣，所有人同時翻轉自己

的硬幣.若硬幣正面朝上，則這個人站起來；若硬幣正面朝下，則這個人繼續坐著.那么,

沒有相鄰的兩個人站起來的概率為

【答案】C

【解析】五個人的編號為12345

由題意，所有事件共有2,=32種，沒有相鄰的兩個人站起來的基本事件有

(1),(2),(3),(4),(5),(13),(1,4),(2,4),再力吐(25),(3,5)

沒有人站起來的可能有1種，共11種情況,

所以沒有相鄰的兩個人站起來的概率為二

32

故答案選。

練習2.一鮮花店一個月（30天）某種鮮花的日銷售量與銷售天數統計如下:

日銷售量

0?4950?99100?149150?199200?250

（枝）

銷售天數

3天3天15天6天3天

（天）

將日銷售量落入各組區間的頻率視為概率.

（1）試求這30天中日銷售量低于100枝的概率；

（2）若此花店在日銷售量低于1Q0枝的6天中選擇2天作促銷活動，求這2天的日銷售量

都低于50枝的概率（不需要枚舉基本事件）.

【答案】（1）（2）-

55

3|3I

(1)設日銷售量為工，則尸(O?x<49)=3=一,P(50<x<100)=—=—

'73010'73010

由互斥事件的概率加法公式,

P（0<x<100）=P（0<x<49）+P（50<x<100）=y-+-p=1.

注：直接按照古典概型的計算公式，得尸（0<x<10（））=噤=（.同樣給分.

（2）日銷售量低于100枝共有6天，從中任選兩天促銷共有〃=15種情況；日銷售量低于

50枝共有3天，從中任選兩天促銷共有6=3種情況.

由古典概型的概率計算公式，所求概率尸=±3=上1.

155

【防陷阱措施】求古典概型的概率的關鍵是求試驗的基本事件的總數和事件A包含的基本事

件的個數，這就需要正確列出基本事件，基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹形圖法,

具體應用時可根據需要靈活選擇.

例3.在區間[0,4]上隨機地選擇一個數p,則方程/一座+3P-8=0有兩個正根的概率

為（）

A.-B.-C.-D.-

3324

【答案】因

A>0

Q

方程爐-px+3〃一8=0有兩個正根，則有<西+/>0，即解得或5cpM4,

（中2>0

又p￡[0,4],由幾何概型概率公式可得方程Y―*+3〃-8=0有兩個正根的概率為

)8

4—]

p=--------=—,故選0.

4-03

練習1.在棱長為〃的正方體中隨機地取一點P,則點P與正方體各表面的距離都大于色的

3

概率為（）

A.—B.—C.-I）.一

271693

【答案】A

符合條件的點2落在棱長為-的正方體內，

3

葭

根據幾何概型的概率計算公式得P---

a327

練習2.正方體43CO—AgGA中，點P在AC上運動（包括端點），則研與AR所成

角的取值范圍是（）

717171717171471

A.B.C.D.

7,742『563

【答案】1）

【解析】以點。為原點，D4、DC、DD］分別為*y.z建立空間直角坐標系，設正方體棱長為b設點

P坐標為（％』一毛%）,則於=（x—L—%x）,屬=（-LOJ）設麗函的夾角為a,所以

肉商二麻一423虛二瓦」三項＞所以當時，cosa取最大值

3)3

當x=l時，cosa取最小值」,a=工.

23

因為3CJ/AQ.

故選D.

例4.太極圖是以黑白兩個魚形紋組成的圖形圖案，它形象化地表達了陰陽輪轉，相反相成

是萬物生成變化根源的哲理，展現了一種相互轉化，相對統一的形式美.按照太極圖的構圖

方法，在平面直角坐標系中，圓。被y=3sin^x的圖象分割為兩個對稱的魚形圖案，其中

6

小圓的半徑均為1,現在大圓內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為（）

【答案】B

設大圓的半徑為R,則：/?=-=-x—=6,

22￡

6

則大圓面積為：y=4氏2=36笈，小圓面積為：§2=4x/x2=2/r,

2乃1

則滿足題意的概率值為：p=—=—.本題選擇B選項.

36418

練習1.北宋歐陽修在《賣油翁》中寫道：“（翁）乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓

酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕，因曰：“我亦無他，唯手熟爾.”可見技能都能通過反復苦

練而達至熟能生巧之境地.若銅錢是半徑為1.2。〃的圓，中間有邊長為0.4c機的正方形孔，

你隨機向銅錢上滴一滴油，則油滴(油滴的大小忽略不計?)正好落入孔中的概率為()

4151

A.—B.—C.—D.—

9兀9冗6乃67r

【答案】B

0421

概率為幾何概型，測度為面積，概率=-^=——，選B.

1.2~49兀

練習2.甲、乙兩艘輪船都要在某個泊位停靠6小時，假定它們在一晝夜的時間段中隨機地

到達，則這兩艘船中至少有一艘在停靠泊位時必須等待的概率是()

(91八7

A.—Bn.-C.—D

16216-I

【答案】@

【解析】設甲到達的時刻為x,乙到達的時刻為則所有基本事件構成的平面區域為

Q={(x,y)|0<x<24,0<j<24},設“這兩艘船中至少有一艘在停靠泊位時必須等待”為事件4則

事件X包含的基本事件構成的平面區域為A={{xty)|0<x<24,0<j<24;|x-y|<6},如圖中陰影部分

所

乙

船

到

達

時

間

t

18x187

由幾何概型概率公式得P(A)=—,即這兩艘船中至少有一艘在停靠

24x2416

泊位時必須等待的概率為工，選口.

16

【防陷阱措施】求解幾何概型的概率問題，一定要正確確定試驗的全部結果構成的區域，從

而正確選擇合理的測度，進而利用概率公式求解.

幾何概型應注意：

(1)求與長度有關的兒何概型的方法，是把題中所表示的兒何模型轉億為線段的長度，然后

求解；

(2)依據幾何概型的特點判斷基本密件應從“等可能”的角度入手，選擇恰當合理的觀察角

度；

（3）求與角度有關的幾何概型的方法，是把題中所表示的幾何模型轉億成角度，然后求解.

例5.雙十一網購狂歡，快遞業務量猛增.甲、乙兩位快遞員11月12日到18日每天送件數

量的莖葉圖如圖所示.

（I）根據莖葉圖判斷哪個快遞員的平均送件數量較多（寫出結論即可）；

（II）求甲送件數量的平均數；

（III）從乙送件數量中隨機抽取2個，求至少有一個送件數量超過甲的平均送件數量的概率.

甲乙

64245

43I2526

8226359

277

【答案】（I）乙快遞員的平均送件數量較多（II）工=254（III）—

（I）由莖葉圖知甲快遞員11月12日到18FI每天送件數量相對乙來說位于莖葉圖的左.上方

偏多,

,乙快遞員的平均送件數量較多.

（II）甲送件數量的平均數：

x=1（244+246+251+253+254+262+268）=254

（III）從乙送件數量中隨機抽取2個，基本事件總數九=21，

至少有一個送件數量超過甲的平均送件數量的對立事件是抽取的2個送件量都不大于254,

???至少有一個送件數量超過甲的平均送件數量的概率：

,120

p=1——=——,

2121

練習1.在某公司的職工食堂中，食堂每天以3元/個的價格從面包店購進面包，然后以5元

1個的價格出售.如果當天賣不完，剩下的面包以1元/個的價格賣給飼料加工廠.根據以往

統計資料，得到食堂每天面包需求量的頻率分布直方圖如圖所示.食堂某天購進了90個面

包，以x（個）（其中60VXW110）表示面包的需求量，T（元）表示利潤.

0.02S

0.020

0.015

(1)根據直方圖計算需求量的中位數；

(2)估計利潤了不少于100元的概率；

【答案】⑴85個;(2)0.75;(3)142.

【解析】(1)需求量的中位數三3=85(個)(其它解法也給分)

2

(2)由題意，當60WXW90時，利潤丁=5X+L(9O—X)-3x90=4X-180,

當90<XW110時,利潤丁=5x90—3x90=180,

4X-180(60<X<90)

即T={

180(90<T<110)

設利潤7不少于100元為事件A,利潤T不少于100元時，即4X-180N100,

AX>70,即70<X<110,由直方圖可知，當70Kx<110時，

所求概率：P(A)=1-P(A)=1-0.025x(70-60)=0.75

練習2.2017年“十一”期間，高速公路車輛較多.某調查公司在一服務區從七座以下小型

汽車中按進服務區的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調

查，將他們在某段高速公路的車速(bn/t)分成六段：[60,65),[65,70),[70,75),

[75,80),[80,85),[85,90),后得到如圖的頻率分布直方圖.

0.010

(1)求這40輛小型車輛車速的眾數和中位數的估計值；

(2)若從車速在［60,70)的車輛中任抽取2輛，求車速在［65,70)的車輛恰有輛的概率.

Q

【答案】(1)77.5,77.5.(2)P=—.

15

【解析】(D眾數的估計值為最高的矩形的中點'艮除數的估計值等于77.5,

設圖中虛線所對應的車速為X,則中位數的估計值為：

0.01X5+0.02X5+0.04X5+0.06x(x-75)=0.5,解得x=77.5.

即中位數的估計值為77.5.

(2)從圖中可知，車速在［60,65)的車輛數為：g=0.01x5x40=2(輛)，

車速在［65,70)的車輛數為：色=0.02x5x40=4(輛)，

設車速在［60,65)的車輛設為。，b,車速在［65,70)的車輛設為c,d,ef，，則

所有基本事件有：(。,8)，(a,c),(〃J)，("c)，(b,d),(0,c),

(bj)，(c,d)(c,e),(cj)(d,e)，(dJ),(ej)共15種,

其中車速在［65,70)的車輛恰有一輛的事件有：(a,c),(a,d),(a,/),

Q

伍,d),(b,e),(力J)共8種.所以，車速在［65,70)的車輛恰有一輛的概率為尸=宜.

例6.某媒體為調查喜愛娛樂節目A是否與觀眾性別有關，隨機抽取了30名男性和30名女

性觀眾，抽查結果用等高條形圖表示如圖：

o

?gII育歡節目X

o?s

or?

o?6II不喜歡節目X

o?5

o?二

o■

，

o??

?2

O1

O

(1)根據該等高條形圖，完成下列2x2列聯表，并用獨立性檢驗的方法分析，能否在犯錯

誤的概率不超過0.05的前提下認為喜歡娛樂節目A與觀眾性別有關。

喜歡節目A不喜歡節目A總計

男性觀眾

女性觀眾

總計60

(2)從性觀眾中按喜歡節目A與否，用分層抽樣的方法抽取5名做進一步調查.從這5名

中任選2名，求恰有1名喜歡節目A和1名不喜歡節目4的概率.

附：

P[K2>k)0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

產二〃(皿"J

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【答案】(1)列聯表見解+析，能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為喜歡娛樂節目A

2

與觀眾性別有關；(2)y.

(1)由題意得2x2列聯表如表：

喜歡節目A不喜歡節目4總計

男性觀眾24630

女性觀眾151530

總計392160

假設“。：喜歡娛樂節目A與觀眾性別無關,

60(24x15—15x6)2540

則A：z的觀測值女=二---------L=—?5.934>3.841

39x21x30x3091

所以能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為喜歡娛樂節目A與觀眾性別有關.

(2)利用分層抽樣在男性觀眾30名中抽取5名，其中喜歡娛樂節目4的人數為

24乂9=4,不喜歡節目A的人數為6x』=l.

3030

被抽取的喜歡娛樂節目A的4名分別記為a,b,c,d；不喜歡節目A的1名記為B.

則從5名中任選2人的所有可能的結果為：{a,。},{a,c},{a,d},{5耳，{九c},

他力，他周,{c,d[{b.c},{d,3}共有10種,其中恰有1名喜歡節目A和1

名不喜歡節目A的有{a,8},他8},{b,c},材,研共4種，

42

所以所抽取的觀眾中恰有1名喜歡節目A和1名不喜歡節目A的觀眾的概率是一=一.

105

練習1.假設某種設備使用的年限x（年）與所支出的維修費用y（萬元）有以下統計資料:

使用年限了23456

維修費用y24567

若由資料知y對x呈線性相關關系.試求：

（1）求蘢9；（2）線性回歸方程y=H+〃；（3）估計使用10年時，維修費用是多少？

附：利用“最小二乘法”計算〃力的值時，可根據以下公式：

人工王切_就;人

b=^----------a=y-hx

基：一〃（無產

i=l

【答案】（1）x=4,y=4.8（2）y=1.2x（3）維修費用為12萬元

AA

試題分析：（1）利用焉》的計算公式即可得出；（2）利用力的計算公式得出結果，再求°；

（3）利用第（2）問得出的同歸方程，計算x=10時的結果.

試題解析：

,、_2+34-4+5+6_2+4+5+64-7.

（1）x=----------------=44,y=-----------------=4.8o

55

（2）

2Xy1=2x2+3x44-4x5+5x64-6x7=108,呻=5x4x4.8=96>

i-l

屆、…/=繇

2>/=22+32+42+52+62=90542

i-l

之=》一短=4.8-12x4=0,所以，線性回歸方程為y=1.2%.

（3）當x=10時，y-12,所以該設備使用10年，維修費用為12萬元.

練習2..在西非肆虐的“埃博拉病毒”的傳播速度很快，這已經成為全球性的威脅、為了

考察某種埃博拉病毒疫苗的效果，現隨機抽取100只小鼠進行試驗，得到如下聯表：

感染未感染總計

服用104050

未服用203050

總計3070100

參考一公式：/、=（.+以n二（ad州-bc/\0）僅+〃）

P[K2>k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參照附表，在犯錯誤的概率最多不超過__________（填百分比）的前提下，可認為“該種疫

苗由預防埃博拉病毒感染的效果”.

【答案】5%

、100x（10x30-20x40）

由題意可得，k2=------------------4.762>3,841,參照附表，可得：在犯錯

50x50x30x70

誤的概率不超過5%的前提下，認為“小動物是否被感染與有沒有服用疫苗有關”，故答

案為5%.

【方法點睛】本題主要考查獨立性檢驗的應用，屬于中檔題.獨立性檢驗的一般步驟：（1）

n^ad-bcy

根據樣本數據制成2x2列聯表；（2）根據公式K?計算K?

(a+b)(a+d)(〃+c)(b+d)

的值；（3）查表比較K?與臨界值的大小關系，作統計判斷.（注意：在實際問題中，獨立

性檢驗的結論也僅僅是一種數學關系，得到的結論也可能犯錯誤.）

【防陷阱措施】1.頻率分布直方圖的有關特征數問題，利用眾數是最高矩形的底邊中點；中

位數是左右兩邊的矩形的面積相等的底邊的值;平均數等于各個小矩形的面積乘以對應的矩

形的底邊中點的和等知識.把統計和概率結合在一起，比較新穎，也是高考的方向，應引起

重視.

2.求解回歸方程問題的三個易誤點：

①易混淆相關關系與函數關系，兩者的區別是函數關系是一種確定的關系，而相關關系是

一種非確定的關系，函數關系是一種因果關系，而相關關系不一定是因果關系，也可能是伴

隨關系.

②回歸分析中易誤認為樣本數據必在回歸直線上，實質上回歸直線必過GJ）點，可能所

有的樣本數據點都不在直線上.

③利用回歸方程分析問題時，所得的數據易誤認為準確值，而實質上是預測值（期望值）.

類型7.兩點分布

1,正面向上/、

例7.拋擲一枚硬幣，記X={心?，則七（戈）=（）

-L反面向上、）

甌回［包

2

【答案】因

E（X）=lxl+（-l）x-=O,a@

練習1.設某項試驗的成功率是失敗率的0倍，用隨機變量因描述1次試驗的成功次數，則因的

值可以是_______.

【答案】篁

這里“成功率是失敗率的0倍”是干擾條件，對1次試驗的成功次數沒有影響，故因可能

取值有兩種，即位1

練習2.籃球比賽中每次罰球命中得1分，不中的。分.已知某運動員罰球命中率為0.7,求

他一次罰球得分的分布列及均值.

【答案】

001

0.30.7

E（X）=0x0.3+lx0.7=0.7

類型8超幾何分布

一般地，若離散型隨機變量X的分布列為

X1???Xj…

Xx2

pPlP2???Pi???Pn

則稱

E(X)"P[+X2p2+…+%化+…+M

為隨機變量X的均值或數學期望.它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.

若y=〃x+〃，其中。力為常數，則y也是隨機變量，因為

尸(y=%+b)=P(X=%),i=L2「.,〃

所以，y的分布列為

……

Yaxx+bax2+baxi+b"“+b

……

PPiPiPiPn

于是

E(Y)=(叫+加巧+(ax2+力科+…+a5+b)p：+…+a(x“+b)pa

=。(玉Pl++???+XiPi+…+ZP〃)+b(P[+必+…+Pi+…+%)

=aE(X)+h

方差DX=￡a_Exyp「

i=l

方差刻畫了離散型隨機變量與均值的平均偏離程度.

離散型隨機變量分布列的性質：(1)>0(/=1,2,3,......〃)；(2)￡々=1.

i=l

一般地，在含有M件次品的N件產品中，任取〃件，其中恰有X件次品，則

P(X=k)=M?*#=0」,2,…八

CN

其中相=min{M,〃},且"N,M￡N、N,M,nwN”,如果隨機變量具有:

X01…m

廠1廠〃一1

^的?"w?

P???

則稱隨機變量X服從超幾何分布.

例8.一個攤主在一旅游景點設攤，在不透明n袋中裝入除顏色外無差別的2個白球和3個

紅球.游客向攤主付2元進行1次游戲.游戲規則為：游客從口袋中隨機摸出2個小球，若摸

出的小球同色，則游客獲得3元獎勵；若異色則游客獲得1元獎勵.則攤主從每次游戲中獲

得的利潤（單位：元）的期望值是（）

【答案

C；+C；「2

游客摸出的2個小球同色的概率為,所以攤主從每次游戲中獲得的利潤分布

Cl5

列為,

X-11

23

p

55

23

因此EX=—lxW+lx'=0.2

55

所以選回

練習1.某人喜歡玩有三個關卡的通關游戲，根據他的游戲經驗，每次開啟一個新的游戲，

這三個關卡他能夠通關的概率分別為2（這個游戲的游戲規則是：如果玩者沒有通過

234

上一個關卡，他照樣可以玩下一個關卡，但玩該游戲的得分會有影響），則此人在開啟一個

這種新的游戲時，他能夠通過兩個關卡的概率為_________,設X表示他能夠通過此游戲

的關卡的個數，則隨機變量X的數學期望為_________.

113

【答案】--.

412

隨機變量X的所有可能取值為I速1

又P（X=2）=（l—g11If11I

X—X—+—X——I——x—x

342134234

\_

P（X=O）=II-1x

344

P（X=1）=

1111

P（X=3）=—x—x—=——

23424

所以，隨機變量X的分布列為

X0123

1111

P

424424

隨機變量X的數學期望儀X）=Ox%x導2亭3$*

練習2.一廠家向用戶提供的一箱產品共10件，其中有1件次品.月戶先對產品進行隨機

抽檢以決定是否接受.抽檢規則如下：至多抽檢3次，每次抽檢?件產品（抽檢后不放回）,

只要檢驗到次品就停止繼續抽檢，并拒收這箱產品；若3次都沒有檢驗到次品，則接受這箱

產品，按上述規則，該用戶抽檢次數的數學期望是一

【答案】—

10

根據題意用戶抽檢次數的可能取值為|1,2,太那么可知

Q

尸(>1)磊尸(3)=4['「（『）=篇=2,故根據期望公式可知

10

j1c1