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二次型的標準型二次型的標準型本章只討論變量取實值，系數也為實數的實二次型.二次型可以用矩陣的乘積形式表示，令則二次型就可以寫成下面的形式：f(x1,x2,…,xn)=xTAx（7-10）其中，AT=A（即A為實對稱矩陣）.根據式（7-10），n個變量的實二次型f(x)與n階實對稱矩陣A有一一對應的關系，稱矩陣A為二次型f(x1,x2,…,xn)的矩陣，A的秩r(A)定義為二次型f(x1,x2,…,xn)的秩.反過來，對于任意一個給定的n階實對稱矩陣A，可以得到唯一的一個以A為矩陣的二次型xTAx，其中x=(x1,x2,…,xn)T.試寫出二次型f(x1,x2,x3)=x21+4x1x2+7x22+6x1x3+2x2x3－x23

的矩陣.解因為二次型寫成了合并同類項的形式，故其矩陣的對角線元aii為x2i的系數，而非對角線元，即i≠j時aij=aji是乘積項xixj的系數的一半，故有【例7-1】【例7-2】在二次型的研究中，中心問題之一是要對給定的二次型式（7-9），確定一個可逆矩陣P，使通過可逆線性變換x=Py（7-11）將f(x1,x2,…,xn)=xTAx化簡為新變量y1,y2,…,yn的標準型f=d1y21+d2y22+…+dny2n=yTDy（7-12）其中D=diag(d1,d2,…,dn)把式（7-11）代入式（7-10），得f(x)=xTAx=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y故若能找到可逆矩陣P，使PTAP=D（7-13）其中,D為對角陣，則得到二次型的標準型.這就是說，化實二次型為標準型的問題可歸結成上述由式（7-13）表出的矩陣問題，即下面定義的，實對稱矩陣相合于實對角陣的問題.定義7-4c對n階矩陣A與B，若存在n階可逆矩陣P，使B=PTAP（7-14）則稱A與B合同或A與B是合同矩陣或相合矩陣.若Q為正交矩陣，則有Q－1AQ=QTAQ=B所以對實對稱矩陣，若正交矩陣P使得A與B相似，則自然有A與B合同；又因實對稱矩陣A一定能對角化，故必有A=QΛQ－1

成立.Q-1AQ=Λ這可改寫成QTAQ=Λ故可得到化二次型為標準型的現成方法——正交變換法（這個方法將在第二節中著重介紹）.需要指出，式（7-13）中的可逆矩陣P不僅一定可以找到（如可取一正交矩陣），而且滿足條件的可逆矩陣P

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