第第頁專題6.6線段與動點、角的旋轉【八大題型】 【人教版2024】TOC\o"1-3"\h\u【題型1距離和差】 1【題型2距離倍分】 5【題型3距離相等】 10【題型4動點與定點位置突變】 16【題型5雙動點位置突變】 22【題型6單角突變——一邊旋轉】 28【題型7單角突變——兩邊旋轉】 34【題型8圖形旋轉】 41【題型1距離和差】【例1】（2024七年級·全國·競賽）如圖，A,B分別是數軸上的兩點，點C為線段AB上任意一點，點M為AC的中點，點N為BC的中點，若點A,B表示的數分別為a,b，那么MN=．【答案】b?a【分析】本題主要考查了線段的和差、線段的中點等知識點，明確各線段間的關系是解題的關鍵．由中點的定義可得：MC=12AC,CN=【詳解】解：∵點M為AC的中點，點N為BC的中點，∴MC=1∵點A,B表示的數分別為a,b，∴AB=b?a∴MN=MC+CN=12AC+故答案為：b?a2【變式1-1】（23-24七年級·廣東廣州·期末）點A、B、C在同一條數軸上，其中點A、B表示的數分別為?3、1，若BC=2，則AC等于（）A．6 B．2 C．3或5 D．2或6【答案】D【分析】此題畫圖時會出現兩種情況，即點C在線段AB上，點C在線段AB的延長線上，再計算即可．【詳解】解：∵點A、B表示的數分別為?3、1，∴AB=4．第一種情況：C在線段AB的延長線上，如圖，∵BC=2，∴AC=4+2=6；

第二種情況：C在線段AB上，如圖，AC=4?2=2．

故選：D．【點睛】本題考查的是數軸上兩點之間的距離，線段的和差運算，清晰的分類討論是解本題的關鍵．【變式1-2】（23-24七年級·天津和平·期末）已知線段AB=a，CD=b，線段CD在直線AB上運動（A在B的左側，C在D的左側）．(1)若a、b①當D點與B點重合時，AC=；②M、N分別是AC、BD的中點，當BC=4時，求MN的長；(2)當線段CD運動到D點距離B點一個單位長度時，若有一點P在D點右側且位于線段AB的延長線上，試求PA+PB?PC?PD的值．【答案】(1)①AC=6；②MN=9；(2)8或4【分析】（1）①本題考查了線段的和差，解題的關鍵是根據平方非負性求出a，b得值；②本題考查了線段得和差，解題的關鍵是正確畫圖，注意兩種情況；（2）本題考查了線段的和差，解題的關鍵是正確畫圖，注意兩張情況．【詳解】（1）解：a?122∴a?12=0,b?6=0，∴a=12,b=6，①當D點與B點重合時，∴AC=AB?CD=6；②如下圖1，∵M、N分別為線段AC,BD的中點，∴AM=1∴MN=AD?AM?DN=12+6+4?8?5=9；如上圖2，∵M、N分別為線段AC,BD的中點，∴AM=1∴MN=AD?AM?DN=12+6?4?4?1=9；（2）如下圖，由題意得：∵PA=AB+BP=12+BP,PC=CD?BD+BP=6?1+BP=5+BP,PD=BP?BD=BP?1，∴PA+PB?PC?PD=12+BP+BP?BP?5?BP+1=8；如下圖，∵PA=AB+BP=12+BP,PC=CD+BD+BP=6+1+BP=7+BP,PD=BP+BD=BP+1，∴PA+PB?PC?PD=12+BP+BP?BP?7?BP?1=4．【變式1-3】（23-24七年級·福建福州·期末）已知線段AB和線段CD在同一直線上，線段AB（A在左，B在右）的長為a，長度小于AB的線段CD（D在左，C在右）在直線AB上移動，M為AC的中點，N為BD的中點，線段MN的長為b，則線段CD的長為（用a，b的式子表示）．【答案】a?2b/?2b+a【分析】根據題意畫出圖形，分情況討論，再利用線段和差分別表示線段CD的長度即可．【詳解】解：∵M為AC的中點，N為BD的中點，∴MA=MC=12AC∵線段AB和線段CD在同一直線上，線段AB（A在左，B在右）的長為a，長度小于AB的線段CD（D在左，C在右）在直線AB上移動，∴分以下5種情況說明：①當DC在AB左側時，如圖1，MN=DN?DM==即2MN=BD?2DC?AC，2MN=BD?DC?AC?DC，∴2MN=AB?DC，∴CD=AB?2MN=a?2b；②當點D與點A重合時，如圖2，MN=MC+CN==即2MN=AC+AB?2DC2MN=DC+AB?2DC∴2MN=AB?DC，∴CD=AB?2MN=a?2b；③當DC在AB內部時，如圖3，MN=MC+CN==即2MN=AC?BD+2BC2MN=AC+BC?BD+BC∴2MN=AB?DC，∴CD=AB?2MN=a?2b；④當點C在點B右側時，同理可得：CD=a?2b；⑤當DC在AB右側時，同理可得：CD=a?2b；綜上所述：線段CD的長為a?2b．故答案為：a?2b．【點睛】本題考查線段的和差，根據題意畫出對應情況的圖形是解題的關鍵，注意分類討論思想的運用．【題型2距離倍分】【例2】（23-24七年級·廣東佛山·階段練習）如圖，點C、D是線段AB上兩點，M、N分別是線段AD、BC的中點，給出下列結論：①若AD=BM，則AB=3BD；②AC=BD；則AM=BN；③AC?BD=2MC?DN；其中正確的有【答案】①②③【分析】由AD=BM可得AD=MD+BD，再由線段的中點AD=2BD，即可判斷①；可得AC+CD=CD+BD，再由線段的中點可判斷②；由AC?BD=AD?BC結合線段的中點可判斷③．【詳解】解：∵AD=BM，∴AD=MD+BD，∵M是線段AD的中點，∴MD=1∴AD=1∴AD=2BD，∴AD+BD=2BD+BD，即AB=3BD，故①正確；∵AC=BD，∴AC+CD=CD+BD，∴AD=BC，∵M、N分別是線段AD、BC的中點，∴AM=1BN=1∴AM=BN，故②正確；∵M、N分別是線段AD、BC的中點，∴AD=2MD，BC=2CN，∵AC?BD=AD?BC，∴AC?BD=2MD?2CN=2=2MC?DN故③正確；故答案：①②③．【點睛】本題考查了線段的中點定義，線段的和差；能根據所求線段或等式用線段和差表示，并由線段中點進行等量轉換是解題的關鍵．【變式2-1】（23-24七年級·安徽宣城·期末）點A、B、C在同一條數軸上，點A、B表示的數分別是1、﹣3，若AB＝2AC，則點C表示的數是（

）A．3或﹣1 B．9或﹣7 C．0或﹣2 D．3或﹣7【答案】A【分析】由已知可得AB＝4，分點C在A左邊和點C在A右邊兩種情況來解答．【詳解】解：AB＝1﹣（﹣3）＝4，當C在A左邊時，∵AB＝2AC，∴AC＝2，此時點C表示的數為1﹣2＝﹣1；當點C在A右邊時，此時點C表示的數為1+2＝3，故選：A．【點睛】本題考查了數軸及兩點間的距離；本題滲透了分類討論的思想，體現了思維的嚴密性，在今后解決類似的問題時，要防止漏解．【變式2-2】（23-24七年級·浙江寧波·期末）如圖，A,B,C為直線l上從左到右的三個點，AB=2BC，動點M、N分別從A、B兩點同時出發，向右運動，點M的速度是點N的速度的3倍．在運動過程中，若要知道MN的長，則只要知道下列哪條線段的長，該線段是（

）

A．AM B．BN C．BM D．CM【答案】D【分析】本題考查了線段的和差關系，根據題意可設BC=a，BN=b，則AB=2a，AM=3b，可求出MN=2a?2b，BM=2a?b，CM=3a?3b【詳解】解：設BC=a，則AB=2a，∵動點M、N分別從A、B兩點同時出發，向右運動，點M的速度是點N的速度的3倍，∴AM=3BN，設BN=b，則AM=3b，∴MN=AB+BN?AM=CM=AB+BC?AM∴MN=2故選：D．【變式2-3】（23-24七年級·湖北武漢·期末）已知AB=24，DE=10，點C為線段AB的三等分點（BC>AC），點A在點B左側，點D在點E左側．(1)若線段DE在線段AB上運動．①如圖1，當點C為線段DE的中點時，BE=；（直接寫出結果）②M為線段AB上一點，且BM=2BE，CE+DM＝12(2)若線段DE在射線BA上運動，且2AD+CE=BD，求線段CD的長．【答案】(1)①11；②線段CE的長為4或203(2)線段CD的長為52或21【分析】（1）①利用三等分點的定義求出AC、BC，利用中點定義求出CE，再根據線段的和差關系即可求出BE；②分當點D、M在點C的右側和點D在點C的右側，點M在點C的左側兩種情況，畫出圖形解答即可求解；（2）分當線段DE在線段AB上、點D在BA的延長線上，點E在線段AB上和線段DE在線段BA的延長線上三種情況畫出圖形解答即可求解；本題考查了中點定義，三等分點定義，線段的和差，一元一次方程的應用，根據題意，畫出圖形，運用分類討論思想進行解答是解題的關鍵．【詳解】（1）解：①如圖1，∵點C為線段AB的三等分點（BC>AC），∴AC=13AB=∵點C為線段DE的中點，∴CE=1∴BE=BC?CE=16?5=11，故答案為：11；②如圖，當點D、M在點C的右側時，設BE=x，則BE=ME=x，BM=2x，CE=16?x，DM=10?x，AE=24?x，∵CE+DM＝∴16?x+10?x=1解得x=28∴BE=28∴CE=BC?BE=16?28如圖，當點D在點C的右側，點M在點C的左側時，設BE=x，則BE=ME=x，BM=2x，CE=16?x，DM=x?10，AE=24?x，∵CE+DM＝∴16?x+x?10=1解得x=12，∴BE=12，∴CE=BC?BE=16?12=4；∴線段CE的長為4或203（2）解：如圖，當線段DE在線段AB上時，設AD=x，則CD=8?x，BD=24?x，∴CE=10?8?x∵2AD+CE=BD，∴2x+2+x=24?x，解得x=11∴CD=8?x=8?11如圖，當點D在BA的延長線上，點E在線段AB上時，設AD=x，則CD=8+x，BD=24+x，∴CE=8+x?10=x?2，∵2AD+CE=BD，∴2x+x?2=24+x，解得x=13>10，不合，舍去；如圖，當線段DE在線段BA的延長線上時，設AE=x，則AD=10+x，BD=10+x+24=34+x，CE=8+x，∵2AD+CE=BD，∴210+x解得x=3，∴CD=10+3+8=21；綜上，線段CD的長為52或21【題型3距離相等】【例3】（23-24七年級·吉林·期末）如圖，點A，B，C在數軸上表示的數分別是－3，3和1．動點P，Q兩同時出發，動點P從點A出發，以每秒6個單位的速度沿A→B→A往返運動，回到點A停止運動；動點Q從點C出發，以每秒1個單位的速度沿C→B向終點B勻速運動．設點P的運動時間為t（s）．（1）當點P到達點B時，求點Q所表示的數是多少；（2）當t=0.5時，求線段PQ的長；（3）當點P從點A向點B運動時，線段PQ的長為________（用含t的式子表示）；（4）在整個運動過程中，當P，Q兩點到點C的距離相等時，直接寫出t的值．【答案】（1）2；（2）1.5；（3）4-5t或5t-4；（4）47或45或8【分析】（1）先計算出點P到達點B時運動的時間，再計算出點Q相同時間內運動的路程，進而可得答案；（2）利用路程=速度×時間，分別計算出當t=0.5時點P、Q運動的路程，即AP和CQ的長，再根據PQ=AQ－AP計算即可；（3）分點P、Q重合前與重合后兩種情況，畫出圖形，根據PQ=AQ－AP（重合前）與PQ=AP－AQ（重合后）列式化簡即可；（4）分點P從點A向點B運動和點P從點B向點A運動時兩種情況，每種情況再分點P、Q在點C異側和點C同側，用含t的代數式分別表示出CP和CQ，即可列出方程，解方程即可求出結果.【詳解】解：（1）3?(?3)÷6=1，1×1+1=2，所以點Q（2）當t=0.5時，AP=6×0.5=3，CQ=1×0.5=0.5，所以PQ=AQ－AP=AC+CQ－AP=4+0.5－3=1.5；（3）在點P從點A向點B運動時，若點P、Q重合，則6t=t+4，解得：t=4當0≤t≤45時，如圖1，當45<t≤1時，如圖2，故答案為：4－5t或5t－4；（4）當點P從點A向點B運動時，若P，Q兩點到點C的距離相等，則有如下兩種情況：①點P、Q在點C兩側，如圖3，根據題意，得：4?6t=t，解得：t=4②點P、Q在點C右側，此時P、Q重合，由（3）題得：t=4當點P從點B向點A運動時，若P，Q兩點到點C的距離相等，也有如下兩種情況：③點P、Q在點C右側，此時P、Q重合，根據題意，得：2?6t?6=t，解得：④點P、Q在點C兩側，如圖4，根據題意，得：6t?6?2=t，解得：t=綜上，在整個運動過程中，當P，Q兩點到點C的距離相等時，t=47或45或8【點睛】本題考查了數軸上兩點間的距離、線段的和差關系和一元一次方程的解法等知識，正確理解題意、全面分類、靈活運用方程思想和數形結合的思想是解題的關鍵.【變式3-1】（23-24七年級·吉林白山·期末）如圖，直線l上有A，B，C三點，AB=8cm．直線l上有兩個動點P，Q，點P從點A出發，以12cm/s的速度沿AB方向運動，同時點Q從點B出發，15cm/s

(1)當t為多少秒時，點B是線段PQ的中點？(2)運動過程中，當t為多少秒時，點P和點Q重合？(3)若點P運動至點Q右側，則t為多少秒時，線段PQ與線段AQ的長度相等？【答案】(1)807(2)803(3)160秒【分析】本題考查一元一次方程的應用，中點的定義，數軸上兩點之間的距離，（1）由中點定義可得PB=BQ，列出方程可求解；（2）由題意可得AB+BQ=AP，列出方程可求解；（3）根據題意列出方程可求解；找到正確的數量關系并列出方程是解題的關鍵．【詳解】（1）解：∵點B是線段PQ的中點，∴PB=BQ，∴8?1解得：t=80∴當t為807秒時，點B是線段PQ（2）當點P和點Q重合時，則AB+BQ=AP，由題意可得：8+1∴t=80∴當t為803秒時，點P和點Q（3）當點P在點Q右側，且線段PQ與線段AQ的長度相等，∴8+1∴t=160，∴當t為160秒時，線段PQ與線段AQ的長度相等．【變式3-2】（23-24七年級·浙江杭州·期中）已知數軸上A，B兩點對應數分別為?2和4，P為數軸上一動點，對應數為x．(1)若P為線段AB的三等分點，求P點對應的數．(2)數軸上是否存在點P，使P點到A點、B點距離之和為10？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．(3)若點A、點B和點P(點P在原點)同時向左運動，它們的速度分別為1個單位長度/分、2個單位長度/分和1個單位長度/分，則經過多長時間其中一個點到另外兩個點的距離相等．【答案】(1)0或2(2)x=?4或x=6(3)2分或5分或8分【分析】（1）根據題意結合圖形即可解決問題；（2）分點P在線段AB的左邊或右邊兩種情況來解答，列出方程即可解決問題．（3）設運動時間為t分，根據題意得：t分后點A對應的數為?2?t，點P對應的數為?t，點B對應的數為4?2t，然后分三種情況，列出方程即可解決問題．【詳解】（1）解：∵點A、B的對應的數分別為?2，4，∴AB=6，∵P為線段AB的三等分點，∴點P對應的數為0或2；（2）解：存在．設點P對應的數為x，∵P點到A點、B點距離之和為10，∴點P在A點的左側或B點的右側，∴?2?x+4?x=10或x+2+x?4=10，解得：x=?4或x=6；（3）解：設運動時間為t分，根據題意得：t分后點A對應的數為?2?t，點P對應的數為?t，點B對應的數為4?2t，∵點A和點P的速度相同，∴點P始終為點A的右側，當點P到點A，B的距離相等，即PA=PB時，?t??2?t解得：t=2；當點B點A，點P的距離相等，即AB=BP時，4?2t?解得：t=5；當點A到點B，點P的距離相等，即AB=AP時，?2?t?解得：t=8∴經過時間2分或5分或8分時，其中一個點到另外兩個點的距離相等．【點睛】本題主要考查了一元一次方程在數軸方面的應用問題；解題的關鍵是深刻把握題意，明確命題中的數量關系，正確列出方程．【變式3-3】（23-24七年級·吉林長春·階段練習）如圖，已知點A、B在數軸上分別對應?12和15，點O為原點，點P從點A出發，以每秒2個單位長度的速度向終點B運動，同時點Q從點B出發，以每秒3個單位長度的速度向終點A運動，設運動的時間為t秒（t>0）．(1)線段AB的長度為______；(2)動點Q在數軸上表示的數為______；（用含t的代數式表示）(3)當點P、Q兩點之間的距離為3時，求t的值：(4)當點P，O，Q中一個點到另外兩個點（其中兩個點重合時除外）的距離相等時，直接寫出t的值．【答案】(1)27(2)15?3t(3)t=6或t=(4)t=3或t=397【分析】本題考查了數軸上的動點問題，涉及的知識點有兩點間的距離，中點的定義，以及一元一次方程的應用，根據題意正確列出方程并準確解方程是解題的關鍵．（1）根據數軸上兩點間的距離公式求解即可；（2）根據動點Q從點B出發，以每秒3個單位長度的速度向終點A運動，即可得到答案；（3）根據P、Q兩點之間的距離為3時，列方程?12+2t?15?3t=3（4）由題意可知其中一個點是另外兩個點的中點，分三種情況：①O是PQ的中點時；②P是OQ的中點；③Q是PO的中點；分別求解即可．【詳解】（1）解：AB=15??12故答案為：27．（2）∵動點Q從點B出發，以每秒3個單位長度的速度向終點A運動，∴Q在數軸上對應的數為15?3t，故答案為：15?3t．（3）∵動點P從點A出發，以每秒3個單位長度的速度向終點B運動，∴P在數軸上對應的數為?12+2t，點P的運動時間為：27÷2=13.5秒，點Q的運動時間為：27÷3=9秒，當點P、Q兩點之間的距離為3時，?12+2t?15?3t=3當?12+2t?15?3t=3當?12+2t?15?3t=?3綜上，當點P、Q兩點之間的距離為3時，t=6或t=24（4）當點P，O，Q中一個點到另外兩個點（其中兩個點重合時除外）的距離相等時，即：其中一個點是另外兩個點的中點，①O是PQ的中點時，得15?3t+?12+2t2②P是OQ的中點，得15?3t+02=?12+2t③Q是PO的中點，得?12+2t+02=15?3t綜上，t=3或t=397或【題型4動點與定點位置突變】【例4】（23-24七年級·遼寧葫蘆島·期末）2023年6月30日，興城西站正式投入使用，方便了廣大市民的出行，下圖是從北京站始發，途徑興城西站，開往沈陽南站的D21次列車的部分列車時刻表，請你仔細觀察，完成下列問題：(1)興城西站和海城西站之間的車票一共有______種；(2)如圖所示，小明用數軸上的點A，B，C，D分別表示興城西站、凌海南站、海城西站、鞍山西站，其中原點表示盤錦站，若點A表示的數為?7，點D表示的數為5；①當點B是線段AD的三等分點（點B離點A較近），點C在線段BD上時，已知CD=18AD②如果將D21次列車看作數軸上的一點P，動點P從A點出發，向x軸正方向勻速運動，若點M是線段DP的中點，且DM=3，求點P【答案】(1)12(2)①BC=132；②點P所表示的數為【分析】本題考查了線段數量問題，線段的和差計算，一元一次方程的應用；（1）轉化為線段的數量問題，即可求解；（2）①根據題意得出AD=12，根據點B是線段AD的三等分點（點B離點A較近），得出AB=13AD=4，進而根據CD=18②因為點M是線段DP的中點，DM=3，則DP=6，設點P表示的數為x，分當點P在點D的左側時，當點P在點D的右側時，分別列出一元一次方程，解方程，即可求解．【詳解】（1）興城西站和海城西站之間共4個站點，則車票一共有2×(3+2+1)=12興城西站和海城西站之間的車票一共有12種故答案為：12（2）①因為點A表示的數為?7，點D表示的數為5所以AD=12因為點B是線段AD的三等分點（點B離點A較近）所以AB=因為CD=1所以CD=因為AD=AB+BC+CD所以BC=AD?AB?CD=12?4?3②因為點M是線段DP的中點，DM=3所以DP=6設點P表示的數為x當點P在點D的左側時，由題意可列方程為：5?x=6解得：x所以點P所表示的數為?1當點P在點D的右側時，由題意可列方程為：x?5=6解得：x=11所以點P所表示的數為11綜上所述，點P所表示的數為?1或11【變式4-1】（23-24七年級·河南周口·階段練習）綜合與實踐已知數軸上A、B兩點所表示的數分別為?3和9．

(1)觀察發現：直接寫出線段AB=__________．(2)情境探究：情境①：當點P為線段AB的中點時，且M為PA的中點，N為PB的中點，請你借助直尺在圖1中畫出相應的圖形，并寫出線段MN=__________；情境②：當點P為線段AB上的一個動點時，如圖2，且M為PA的中點，N為PB的中點，試通過計算判斷MN的長度是否發生變化？(3)遷移類比：當點P為數軸上點A左側的一個動點時，如圖3，且M為PA的中點，N為PB的中點，直接寫出線段MN的長．【答案】(1)12(2)情境①：圖見解析，6；情境②：MN的長度不變．(3)6【分析】本題考查了兩點間的距離，線段的中點，理解中點的定義是解答本題的關鍵．（1）根據兩點間的距離求解即可；（2）情境①：先根據點P為線段AB的中點求出AP=BP=6，再根據M為PA的中點，N為PB的中點求出MP=3，NP=3，然后相加即可；情境②：根據M為PA的中點，N為PB的中點求出MP=12AP（3）根據中點的定義得PM=12AP，PN=【詳解】（1）MN=9??3故答案為：12；（2）情境①：如圖，

∵點P為線段AB的中點，∴AP=BP=1∵M為PA的中點，N為PB的中點，∴MP=12AP=3∴MN=MP+NP=6．故答案為：6；情境②：∵M為PA的中點，N為PB的中點，∴MP=12AP∴MN=MP+NP=6．∴MN=MP+NP=1∴MN的長度不變；（3）∵M為PA的中點，N為PB的中點，∴PM=12AP∴MN=PN?PM=1【變式4-2】（23-24七年級·河南南陽·期末）如圖，在數軸上，點A表示的數是?4，點B表示的數是8，P是數軸上的一動點．

(1)線段AB的長是________________；(2)如果點P在線段AB上，點M是線段AP的中點，點N是線段PB的中點．求MN的長；(3)若點C在點A右側且與點A之間的距離是3，當點P滿足PC=2PB時，請直接寫出在數軸上點P表示的數．【答案】(1)12(2)6(3)17或5【分析】（1）直接根據數軸上兩點之間距離的計算方法求解即可；（2）根據中點的定義得出MP=12AP，NP=（3）分點P在點B左側和當點P在點B右側，兩種情況，根據PC=2PB列出方程，解之即可．【詳解】（1）解：線段AB的長是8??4（2）∵點M是線段AP的中點，點N是線段PB的中點，∴MP=12AP∴MN=MP+NP=1（3）設點P表示的數為x，∵點C在點A右側且與點A之間的距離是3，∴點C表示的數為?4+3=?1，∵PC=2PB，∴點P在點C右側，∴當點P在點B左側時，x??1解得：x=5，當點P在點B右側時，x??1解得：x=17，綜上：點P表示的數為17或5．【點睛】本題主要考查一元一次方程，數軸上對應的點、數軸上兩點間的距離，熟練掌握數軸上兩點間的距離的表示方法是解決本題的關鍵．【變式4-3】（23-24七年級·福建福州·期末）如圖，線段AB=24，動點P從A出發，以每秒2個單位長度的速度沿射線AB運動，M為AP的中點．點P的運動時間為x秒．(1)若x=5時，求BM的長；(2)當P在線段AB上運動時，2BM?PB是定值嗎?如果是，請求出該定值，如果不是，請說明理由；(3)當P在射線AB上運動時，N為BP的中點，求MN的長度．【答案】(1)19(2)2BM?PB是定值，定值為24(3)12【分析】本題考查了與線段中點有關的計算，線段的和與差．明確線段之間的數量關系是解題的關鍵．（1）當x=5時，AP=2×5=10，則AM=12AP=5（2）由題意知，AM=12AP，BM=AB?AM（3）由題意知，分當P在線段AB上運動時，如圖1，根據MN=MP+NP=12AP+BP=12AB【詳解】（1）解：當x=5時，AP=2×5=10，∵M為AP的中點，∴AM=1∴BM=AB?AM=19，∴BM的長為19．（2）解：當P在線段AB上運動時，2BM?PB是定值；由題意知，AM=12AP∴2BM?PB=2AB?AM∴2BM?PB是定值，定值為24；（3）解：當P在線段AB上運動時，如圖1，

圖1由題意知，PN=1∴MN=MP+NP=1當P在線段AB的延長線上運動時，如圖2，

圖2由題意知，PN=1MN=MP?NP=1綜上所述，MN的長度為12cm．【題型5雙動點位置突變】【例5】（23-24七年級·湖北孝感·期末）如圖，已知點A、B、C是直線l上的三個點，線段AB＝8厘米．（1）若AB＝2BC，求線段AC的長度；（2）若點C是線段AB的中點，點P、Q是直線l上的兩個動點，點P的速度為1厘米/秒，點Q的速度為2厘米/秒．點P、Q分別從點C、B同時出發在直線上運動，則經過多少秒時線段PQ的長為5厘來？

【答案】（1）12厘米；（2），經過13或1或3秒或9秒時線段PQ【分析】（1）根據線段的和差倍分即可得到結論；（2）由于BC＝4厘米，點P、Q分別從點C、點B同時出發在直線上運動，當線段PQ的長為5厘米時，可分四種情況進行討論：點P向左、點Q向右運動；點P、Q都向右運動；點P、Q都向左運動；點P向右、點Q向左運動；都可以根據線段PQ的長為5厘米列出方程，解方程即可．【詳解】解：（1）點C在點B的左側，如圖1，

∵AB＝8厘米，AB＝2BC，∴BC＝4厘米，∴AC＝AB﹣BC＝8﹣4＝4厘米；點C在點B的右側，如圖2，

∵AB＝8厘米，AB＝2BC，∴BC＝4厘米，∴AC＝AB+BC＝8+4＝12厘米；（2）∵點C是線段AB的中點，∴BC＝4厘米，設運動時間為t秒，PQ＝5厘米．①如果點P向左、點Q向右運動時，如圖3，

由題意，得：t+2t＝5﹣4，解得t＝13②點P、Q都向右運動時，如圖4，

由題意，得：2t﹣t＝5﹣4，解得t＝1；③點P向右、點Q向左運動，如圖5，

由題意，得：2t﹣4+t＝5，解得t＝3；④點P、Q都向左運動，如圖6

由題意，得：2t﹣t＝5+4，解得t＝9．綜上所述，經過13或1或3秒或9秒時線段PQ【點睛】此題主要考查一元一次方程的應用，解題的關鍵是根據題意找到等量關系進行列方程求解.【變式5-1】（23-24七年級·黑龍江佳木斯·期末）如圖，直線l上有A、B兩點，AB＝18cm，O是線段AB上的一點，OA＝2OB．（1）OA＝cm，OB＝cm．（2）若動點P，Q分別從點A、B同時出發，向右運動，點P的速度為2cm/s，點Q的速度為1cm/s．設運動時間為ts，當點P與點Q重合時，P，Q兩點停止運動．當t為何值時，2OP﹣OQ＝3cm？【答案】（1）12，6．（2）3s或11s【分析】（1）由OA＝2OB，OA+OB＝18，即可求出OA、OB．（2）①分兩種情形當點P在點O左邊時，2（12﹣2t）﹣（6+t）＝8，當點P在點O右邊時，2（2t﹣12）﹣（6+t）＝3，解方程即可．【詳解】解：（1）∵AB＝18cm，OA＝2OB，∴2OB+OB＝18cm，∴OB＝6cm，OA＝12cm，故答案分別為12，6．（2）①當點P在點O左邊時，2（12﹣2t）﹣（6+t）＝3，t＝3，當點P在點O右邊時，2（2t﹣12）﹣（6+t）＝3，t＝11，∴t＝3s或11s時，2OP﹣OQ＝3cm．【點睛】本題考查一元一次方程的應用，兩點之間距離的概念，找等量關系列出方程是解決問題的關鍵，屬于中考常考題型．【變式5-2】（23-24七年級·江蘇宿遷·階段練習）如圖1，已知線段AE=48cm，點B、C、D在線段AD上，且AB:BC:CD:DE=1:2:1:2(1)BC=__________cm，CD=__________cm；(2)已知動點M從點A出發，以2cm/s的速度沿A?B?C?D?E向點E運動；同時動點N從點E出發，以1cm/s的速度沿E?D?C?B?A向點A運動，當點M到達點E后立即以原速返回，直到點①求t為何值，線段MN的長為12cm②如圖2，現將線段AE折成一個長方形ABCD（點A、E重合），請問：是否存在某一時刻，以點A、B、M、N為頂點的四邊形面積與以點C、D、M、N為頂點的四邊形面積相等，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)16，8(2)①t=12s或20s或36s；②存在，t=8s【分析】本題主要考查了與線段有關的動點問題，線段等分點的相關計算，列一元一次方程解決實際問題等知識，解決問題的關鍵是弄清運動的過程和畫出圖形．（1）根據比值列方程或直接列乘積式求得結果；（2）①分為相遇前，相遇后以及M點返回三種情形，通過線段圖列方程求得；②分為相遇前（點M在BC上，N在AD上），此時CM=AN即可列出方程求得，當M點返回時，點M在AD上，點N在BC上，此時AM=CN，列出方程求得，【詳解】（1）解：BC=48×21+2+1+2=16故答案是：16，8；（2）①當M、N第一次相遇時，t=48當M到達E點時，t=48如圖1，當0<t<16時，2t+12+t=48，∴t=12，如圖2，當12<t<24時，2t?12+t=48，∴t=20，如圖3，當24<t<48時，t=2t?48+12，∴t=36，綜上所述：t=12s或20s或36s；②如圖4，當0<t<16時，由AN=CM得，24?2t=t，∴t=8，如圖5，當24≤t<32時，2t?48=t?24，∴t=24，此時不構成四邊形，舍去綜上所述：t=8s．【變式5-3】（23-24七年級·重慶沙坪壩·階段練習）如圖，直線l上有AB兩點，AB=12cm，點O是線段AB上的一點，

(1)OA=_______cm，OB=_______cm；(2)若點C是線段AB上一點，且滿足AC=CO+CB，求CO的長；(3)若動點P，Q分別從A，B同時出發，向右運動，點P的速度為2cm/s，點Q的速度為1cm/s．設運動時間為ts，當點P與點Q重合時，P①當t為何值時，2OP?OQ=4；②當點P經過點O時，動點M從點O出發，以3cm/s的速度也向右運動．當點M追上點Q后立即返回，以3cm/s的速度向點P運動，遇到點P后再立即返回，以3cm/s的速度向點Q運動，如此往返，直到點P，Q停止時，點M也停止運動．在此過程中，點M【答案】(1)8，4(2)4(3)①t=85或t=8【分析】本題考查線段的和與差，一元一次方程的應用，兩點間的距離：（1）由于AB=12cm，點O是線段AB上的一點，OA=2OB，則OA+OB=3OB=AB=12（2）根據圖形可知，點C是線段AO上的一點，可設CO的長是xcm，根據AC=CO+CB（3）①分P在線段AO上和P在線段AO的延長線上時，兩種情況討論求解即可；②求出點P經過點O到點P，Q停止時的時間，再根據路程=速度×時間即可求解．【詳解】（1）解：∵AB=12cm，OA=2OB∴AB=AO+OB=3OB=12，∴OB=4cm∴OA=2OB=8cm故答案為：8，4；（2）設CO的長是xcm當點C在線段AO上時，如圖：

則：8?x=x+x+4，解得：x=4當點C在線段OB上時，如圖：

則：8+x=x+4?x，解得：x=?4（舍去）；故CO的長是43（3）①由題意，得：AP=2t，BQ=t，則：OQ=OB+BQ=4+t，當P在線段AO上時，OP=OA?AP=8?2t，由題意，得：28?2t解得：t=8當P在線段AO的延長線上時，OP=AP?OA=2t?8，由題意，得：22t?8?4+t綜上：t=85或②∵AO=8，∴點P運動到O點時，t=82=4，此時PQ當點P與點Q重合時，所需時間為：8÷2?1∴點M行駛的總路程是3×8=24cm【題型6單角突變——一邊旋轉】【例6】（23-24七年級·湖北荊州·期末）如圖1，直線AB與CD相交于點O，∠BOD=50°，OE平分∠BOD，∠EOF=55°，OG平分∠AOF．(1)圖中與∠BOE互補的角是___________；(2)求∠DOG的度數；(3)如圖2，若射線OM從射線OF的位置出發，繞點O以每秒10°的速度逆時針旋轉一周，當旋轉時間為t秒時，OD,OM,OG三條射線中恰好有一條射線是另外兩條射線所組成的角的平分線，請你直接寫出旋轉時間t的值．（旋轉過程中∠DOM，∠GOM，∠DOG都只考慮小于180°的角）【答案】(1)∠AOE和∠COE(2)80°(3)1或13或25【分析】（1）根據補角的定義，進行判斷即可；（2）利用180°?∠BOD求出∠AOD，利用角平分線求出∠DOE，∠EOF?∠ODE求出∠DOF，∠AOD?∠FOD求出∠AOF，角平分線，求出∠GOF，∠GOF+∠DOF即可得解；（3）分OM平分∠DOG，OG平分∠DOM，OD平分∠GOM三種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE，∵∠BOE+∠AOE=180°,∠DOE+∠COE=180°，∴∠BOE+∠COE=180°，∴∠BOE互補的角是：∠AOE和∠COE；故答案為：∠AOE和∠COE；（2）解：∵∠BOD=50°，∴∠AOD=180°?∠BOD=130°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠EOD=1∵∠EOF=55°，∴∠DOF=∠EOF?∠ODE=30°，∴∠AOF=∠AOD?∠FOD=100°∵OG平分∠AOF，∴∠FOG=1∴∠DOG=∠GOF+∠DOF=80°；（3）解：①當OM平分∠DOG時，∵∠DOG=80°，∴∠DOM=∠DOF+∠FOM=12∠DOG∴∠FOM=10°，∴t=10°÷10°=1；②OG平分∠DOM時，則：∠GOM=∠DOG=80°，∴∠FOM=∠MOG+∠FOG=80°+50°=130°∴t=130°÷10°=13；③當OD平分∠GOM時：則：∠DOM=∠DOG=80°，∴∠FOM=∠DOF+∠DOM=110°，∴點M旋轉的角度為：360°?∠FOM=250°，∴t=250°÷10°=25；綜上：t的值為：1或13或25．【點睛】本題考查幾何圖形中角度的計算．正確的識圖，理清角的和差關系，是解題的關鍵．【變式6-1】（23-24七年級·福建泉州·期末）如圖，∠AOC=110°，B是射線OA的反向延長線上的一點．現將射線OA繞點O順時針旋轉至與射線OB重合為止，若射線OA旋轉的速度為每秒10°，旋轉時間為ts，則當射線OA，射線OB，射線OC分別構成兩個相等的角（重合除外）時，t的值是【答案】4或14.5【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，一元一次方程的定義，先根據平角的定義得到∠BOC=70°，再分當∠AOC=∠BOC=70°時，當∠BOA=∠COA=1【詳解】解：∵沒有旋轉前∠AOC=110°，∴∠BOC=180°?110°=70°當∠AOC=∠BOC=70°時，則110?10t=70，解得t=4；當∠BOA=∠COA=12∠BOC=35°時，則180°?35°=10t綜上所述，t的值為4或14.5，故答案為：4或14.5．【變式6-2】（23-24七年級·浙江紹興·期末）定義：從一個角（小于180°）的頂點出發，在角的內部引兩條射線，如果這兩條射線所構成的角等于這個角的13，那么這兩條射線所構成的角叫做這個角的“三分角”．如圖1所示，若∠COD=13∠AOB，則

(1)如圖1，已知∠AOD=70°，∠COB=50°，∠COD是∠AOB的“三分角”，求∠COD的度數．(2)如圖2，已知∠AOB=60°，OD是∠AOB的平分線，射線OC從OA出發，繞點O以3°/秒的速度按順時針方向旋轉，設旋轉時間為t秒，當∠COD是∠AOB的“三分角”時，求t的值．【答案】(1)∠COD=30°；(2)t=103秒或【分析】（1）根據“三分角”的定義及角的和差關系，列式計算即可求解；（2）分兩種情況討論，當∠AOC=∠AOD?∠COD和∠AOC=∠AOD+∠COD時，計算即可求解．【詳解】（1）解：∵∠AOD=70°，∠COB=50°，∴∠COD=70°+50°?∠AOB，∵∠COD是∠AOB的“三分角”，∴∠COD=1∴∠COD=120°?3∠COD，∴∠COD=30°；（2）解：∵∠AOB=60°，OD是∠AOB的平分線，∴∠AOD=30°，∵∠COD是∠AOB的“三分角”，∴∠COD=1分兩種情況討論，當∠AOC=∠AOD?∠COD=10°，此時t=10當∠AOC=∠AOD+∠COD=50°，此時t=50綜上，t的值為103秒或50【點睛】本題考查了角平分線的定義，角的和差關系，“三分角”的定義，掌握新定義是解題的關鍵．【變式6-3】（23-24七年級·河北滄州·期中）如圖1，已知射線OC在∠AOB的內部，若∠AOB，∠AOC和∠BOC三個角中有一個角的度數是另一個角度數的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的奇妙線．(1)一個角的平分線________這個角的奇妙線；（填“是”或“不是”）(2)如圖2，∠MPN=60°．①若射線PQ是∠MPN的奇妙線，則∠QPN的度數為________；②若射線PF從PN位置開始，以每秒旋轉3°的速度繞點P按逆時針方向旋轉，當∠FPN首次等于180°時停止旋轉，設旋轉的時間為t(s)．當t為何值時，射線PM是【答案】(1)是(2)①20°或30°或40°；②30或40或60【分析】（1）根據其妙線的定義進行判斷即可；（2）①根據奇妙線的定義分三種情況討論計算即可；②射線PM是∠FPN的奇妙線，PM在∠FPN的內部，PF在∠NPM的內部，然后分三種情況求解即可．【詳解】（1）解：一個角的平分線中，大角是小角的2倍，滿足奇妙線的定義，故答案為：是；（2）解：①∠MPN=60°，射線PQ是∠MPN的奇妙線，根據奇妙線的定義分三種情況討論：當∠QPN=2∠MPQ時，∵∠QPN+2∠MPQ=60°，∴∠QPN=60°×2當∠MPQ=2∠QPN時，∵2∠QPN+∠MPQ=60°∴∠QPN=1當∠NPM=2∠QPN時，∵∠MPN=60°，∴∠QPN=1故答案為：20或30或40；②∵射線PM是∠FPN的奇妙線，∴PM在∠FPN的內部，∴PF在∠NPM的內部；分三種情況：（Ⅰ）如圖，當∠NPM=2∠FPM時，如圖所示：∠FPM=1∴∠FPN=∠NPM+∠FPM=60°+30°=90°∴t=90÷3=30s（Ⅱ）如圖，當∠FPN=2∠MPN時，如圖所示：∴∠FPN=2×60°=120°，∴t=120÷3=40s（Ⅲ）當∠FPN=2∠NPM時，如圖所示：∵∠FPN=2×60°=120°，∴∠FPN=∠NPM+∠FPM=60°+120°=180°，∴t=180÷3=60s綜上：當t為30或40或60時，射線PM是∠FPN的奇妙線．【點睛】本題主要考查新定義下的角的計算，幾何圖形中的角度計算，理解題意，列出相應的式子求解，是解題關鍵．【題型7單角突變——兩邊旋轉】【例7】（23-24七年級·四川成都·期末）如圖所示，OA,OB,OC是以直線EF上一點O為端點的三條射線，且∠FOA=20°，∠AOB=60°,∠BOC=10°．以點O為端點作射線OP,OQ分別與射線OF,OC重合，射線OP從OF處開始繞點O逆時針勻速旋轉，轉速為1°/s，射線OQ從OC處開始繞點O順時針勻速旋轉（射線OQ旋轉至與射線OF重合時停止），兩條射線同時開始旋轉，設旋轉時間為t(1)當射線OP平分∠AOC時，求射線OP旋轉的時間．(2)當射線OQ的轉速為4°/s,t=21s(3)若射線OQ的轉速為3°/s①當射線OQ和射線OP重合時，求∠COQ的值．②當∠POQ=70°時，求射線OP旋轉的時間．【答案】(1)55(2)15°(3)①135°2【分析】本題主要是考查了角的和差計算，以及一元一次方程的應用，（1）根據題意求得∠AOC，當射線OP平分∠AOC時，∠AOP=∠POC=35°，此時OP旋轉的度數為：∠AOF+∠AOP=55°，旋轉的時間：55÷1=55s（2）求出射線OP、射線OQ旋轉的度數，畫出圖形，根據角的和差即可求解；（3）①根據OP和OQ的轉速，即可求解；②設射線OP旋轉的時間為ts，則分為2種情況討論：①當OP和OQ在未重合之前；②當OP和OQ【詳解】（1）解：∵∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+10°=70°，∴當射線OP平分∠AOC時，∠AOP=∠POC=35°，∴此時OP旋轉的度數為：∠AOF+∠AOP=20°+35°=55°，∵射線OP從OF處開始繞點O逆時針勻速旋轉，轉速為1°/s∴旋轉的時間：55÷1=55s（2）∵射線OQ的轉速為4°/s,，射線OQ從OC處開始繞點∴t=21s時，∠COQ=21×4=84°，∵射線OP從OF處開始繞點O逆時針勻速旋轉，轉速為1°/s∴t=21s時，∠FOP=21×1=21°如圖，∴∠FOQ=∠FOA+∠AOB+∠BOC?∠COQ=6°，∴∠POQ=∠FOP?∠FOQ=15°；（3）①當射線OQ和射線OP重合時，t=10+20+60∴∠COQ=45②設射線OP旋轉的時間為ts當OP和OQ在未重合之前，90?t?3t=70，t=5；當OP和OQ在重合之后，3t+t?70=90，解得t=40；∵OQ按題目條件射線OQ旋轉至與射線OF重合時停止，∴.t≤90÷3，即t≤30，∴t=40時，OQ早已停止運動，但OP未停止，因此第二種情況t=70．故當∠POQ=70°時，射線OP旋轉的時間為5秒或70秒【變式7-1】（23-24七年級·湖北武漢·期末）已知：如圖1，∠AOB=30°，∠BOC=4(1)求∠AOC的度數；(2)如圖2，若射線OP在∠AOC內部，作OM平分∠AOP，ON平分∠COP，∠MON的度數是多少？(3)如圖3，若射線OP從OA開始繞點O以每秒旋轉10°的速度逆時針旋轉，同時射線OQ從OB開始繞點O以每秒旋轉6°的速度逆時針旋轉；其中射線OP到達OC后立即改變運動方向，以相同速度繞點O順時針旋轉，當射線OQ到達OC時，射線OP，OQ同時停止運動．設旋轉的時間為t秒，當∠POQ=10°，試求t的值。【答案】(1)150°(2)75°(3)t的值可為5或10或654或【分析】本題主要考查角度的和差運算，涉及一元一次方程的應用，角平分線問題，在解題過程中根據角度的變化進行恰當的分類討論是解題關鍵．（1）根據∠AOB=30°，∠BOC=4（2）根據角平分線的定義進行求解即可；（3）分四種情況進行討論：當OP、OQ同向運動追及前，當OP、OQ同向運動追及后，當OP、OQ反向運動相遇前，當OP、OQ反向運動相遇后，分別求出結果即可．【詳解】（1）解：∵∠BOC=4∴∠AOB=1∵∠AOB=30°，∴∠AOC=5∠AOB=150°．（2）解：∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，∴∠POM=12∠AOP∴∠MON=∠POM+∠PON===1∵∠AOC=150°，∴∠MON=75°．（3）解：①當OP、OQ同向運動追上前，∵∠AOQ=∠BOQ+∠AOB=6t°+30°，∠AOP=10t°，∵∠POQ=10°，∴6t+30?10t=10，解得：t=5；②當OP、OQ同向運動追上后，∵∠POQ=∠AOP?∠AOQ，∴10t?6t+30解得：t=10；③當OP、OQ相向運動相遇前，∠POQ=∠COQ?∠COP，∠COP=10t°?150°，∠COQ=150°?30°?6t°=120°?6t°，∴120?6t?10t?150解得：t=65④當OP、OQ相向運動相遇后，∠POQ=∠COP?∠COQ，10t?150?120?6t解得：t=35綜上所述，t的值可為5或10或654或35【變式7-2】（23-24七年級·江蘇無錫·期末）如圖，若∠AOB=20°，∠AOC=90°，∠AOD=120°，射線OB繞點O以每秒10°逆時針旋轉，射線OC繞點O以每秒5°順時針旋轉，射線OD繞點O每秒15°順時針旋轉，三條射線同時旋轉，當一條射線與直線OA重合時，三條射線同時停止運動，運動秒時，其中一條射線是另外兩條射線夾角的角平分線．【答案】267或17【分析】本題考查了角平分線的定義，一元一次方程的應用，角度的計算，利用分類討論的思想解決問題是解題關鍵．由題意可得，在旋轉過程中，∠DOA=120°?15°x，∠COA=90°?5°x，∠BOA=20°+10°x，根據角平分線的定義分四種情況討論，分別解方程求解即可．【詳解】解：設經過的時間為x秒，∵∠AOB=20°，∠AOC=90°，∠AOD=120°，∴在旋轉過程中，∠DOA=120°?15°x，∠COA=90°?5°x，∠BOA=20°+10°x，令∠DOA=120°?15°x=0，∠COA=90°?5°x=0，解得：x=8，x=18．即當x=8時，三條射線停止運動．①當OC為OB、OD夾角的角平分線時，∴∠BOC=∠DOC．∴90°?5°x?20°+10°x解得：x=8，此時∠BOC=∠DOC<0，不合題意；②當OD為OC、OB夾角的角平分線時，∴∠DOC=∠DOB．∴90°?5°x?120°?15°x解得：x=26③當OB為OC、OD夾角的角平分線時，∴∠BOC=∠BOD．∴20°+10°x?解得：x=17④當OC為OD、OB夾角的角平分線時，∴∠BOC=∠COD．∴20°+10°x?解得：x=8；綜上可知，運動267或174或故答案為：267或17【變式7-3】（23-24七年級·浙江寧波·期末）如圖，O是直線AB上一點，射線OC繞點O順時針旋轉，從OA出發，每秒旋轉10°，射線OD繞點O逆時針旋轉，以相同的速度從OB出發，射線OC與OD同時旋轉，設旋轉的時間為t秒，當OC旋轉到與OD重合時，OC、OD都停止運動．(1)猜想：∠AOC+∠AOD=__________°，并說明理由；(2)已知射線OE始終平分∠BOD，射線OF在∠COD內，且滿足∠BOD與∠EOF互余．①當t=3秒時，∠EOF=__________°；②在運動過程中，試探究∠BOF與∠COF之間有怎樣的數量關系，并說明理由．【答案】(1)180，理由見解析(2)①60；②∠BOF=∠COF，理由見解析【分析】本題主要考查了有關角平分線的計算，余角的定義：（1）根據題意可得∠AOC=∠BOD，再由∠AOD+∠BOD=180°，即可求解；（2）①根據題意可得∠AOC=∠BOD=30°，再由余角的定義，即可求解；②根據題意可得∠AOC=∠BOD=10°×t，再根據角平分線的定義可得∠BOE=∠DOE=12∠BOD=5°×t，再由余角的定義，可得∠EOF=90°?∠BOD=90°?10°×t，然后分別求出∠BOF【詳解】（1）解：∠AOC+∠AOD=180°，理由如下：根據題意得：∠AOC=∠BOD，∵∠AOD+∠BOD=180°，∴∠AOC+∠AOD=180°；故答案為：180（2）解：①當t=3秒時，∠AOC=∠BOD=30°，∵∠BOD與∠EOF互余，∴∠EOF=90°?∠BOD=60°；故答案為：60②∠BOF=∠COF，理由如下：如圖，根據題意得：∠AOC=∠BOD=10°×t，∵射線OE始終平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE=1∵∠BOD與∠EOF互余，∴∠EOF=90°?∠BOD=90°?10°×t，∴∠BOF=∠EOF+∠BOE=90°?5°×t，∴∠COF=180°?∠AOC?∠BOE=90°?5°×t，∴∠BOF=∠COF．【題型8圖形旋轉】【例8】（23-24七年級·河南信陽·期末）將一副直角三角板按圖1所示擺放在直線AD上（直角三角板OBC直角三角板MON，∠OBC=90°,∠BOC=45°,∠MON=90°,∠MNO=30°），保持板OBC不動，將三角板MON繞點O以每秒：8°的速度順時針方向旋轉t秒．(1)如圖2，當t=____秒時，OM平分∠AOC；(2)繼續旋轉三角板MON，如圖3，使得OM、ON同時在直線OC的右側，猜想∠NOC與∠AOM有怎樣的數量關系，并說明理由；（數量關系中不能含t）(3)直線AD的位置不變，在三角板MON開始順時針旋轉的同時，另一個三角板也繞點O以每秒2°的速度順時針旋轉，當OM旋轉至射線OD上時，兩個三角板停止運動．當t為多少時，∠MOC=10°？【答案】(1)2.8125(2)∠NOC?∠AOM=45°，理由見解析(3)t=356【分析】本題考查角的計算，認真審題并仔細觀察圖形，找到各個量之間的關系是解題的關鍵．（1）根據角平分線的定義得∠AOM=1（2）根據題意得∠AON=90°+8°t，進而求得．∠NOC=90°+8°t?45°=45°+8°t,，即可得到結論；（3）根據題意得∠AOB=2°t，∠AOM=8°t，求得．【詳解】（1）解：∵∠AOC=45°，OM平分∴∠AOM=1∴t=22.5÷8=2.8125，故答案為：2.8125；（2）解：∠NOC?∠AOM=45°，理由如下：∵∠AON=90°+8°t∴∠NOC=90°+8°t?45°=45°+8°t,∵∠AOM=8°t,∴∠NOC?∠AOM=45°；（3）解：∵∠AOB=2°t，∠AOM=8°t，∴∠AOC=45°+2°t∴45°+2°t?8°t=10°或8°t?45°?2°t=10°解得t=356【變式8-1】（23-24七年級·河北石家莊·期末）如圖1，將一副直角三角板擺放在直線AD上（直角三角板OBC和直角三角板MON），∠OBC=∠MON=90°，∠BOC=45°，∠MNO=30°，保持三角板OBC不動，將三角板MON繞點O以每秒10°的速度順時針旋轉（如圖2），旋轉時間為t（0<t<9）秒．

計算

當OM平分∠BOC時，求t的值；判斷

判斷∠MOC與∠NOD的數量關系，并說明理由；操作

若在三角板MON開始旋轉的同時，另一個三角板OBC也繞點O以每秒5°的速度順時針旋轉，當三角板MON停止時，三角板OBC也停止，直接寫出在旋轉過程中，∠MOC與∠NOD的數量關系．【答案】計算：2.25；判斷：當0<t≤4.5時，∠NOD?∠MOC=45°，當4.5<t<9時，∠NOD+∠MOC=45°；操作：∠MOC=【分析】本題主要考查角度的和差關系和角平分線性質，計算：根據角平分線性質得∠BOM=12∠BOC，結合旋轉速度即可