第3章電路的基本分析方法

3.1圖論基礎

3.2基爾霍夫方程的獨立性

3.3支路電流法和支路電壓法

3.4網孔分析法

3.5節點分析法

3.6回路分析法

3.8含運算放大器的電阻電路的分析

2025/1/1313.1圖論基礎

已經知道KCL、KVL只與電路的結構有關，而與元件的性質無關，因此，研究這種約束關系時可只考慮電路的結構，不考慮元件的性質。這樣，將電路圖中每條支路用線段（與線段的長短、曲直無關）代替，可得到一個線段與節點組成的圖形，稱為電路的拓撲圖，簡稱“圖”（graph）。2025/1/1323.1.1圖的基本概念

1．定向圖(directedgraph)對圖中每一條支路規定一個方向所得到的圖稱為定向圖，如圖3-1（c）是定向圖。

2．孤立節點沒有任何支路與之相連的節點稱為孤立節點，如圖3-2中的節點3為孤立節點。圖論中規定，移去一條支路，不移去與該支路相連的節點，而移去一個節點，則與該節點相連的所有支路相應移去。

圖3-22025/1/1333．子圖如果一個圖的每個節點和每條支路都是另一個圖的節點和支路，那么，稱這個圖是另一個圖的子圖。(a)(b)(c)2025/1/1344．路徑從圖的某個節點沿不同支路及節點到達另一個節點所經過的支路序列稱為路徑。如圖3-4中節點1到節點3的路徑有{a}、{b，c}、{b，e，f}、{d，f}、{d，e，c}、等。

5．連通圖和非連通圖如果一個圖中任意兩個節點之間至少存在一條路徑，稱該圖為連通圖，否則，為非連通圖。如圖3-3中的圖（a）、（b）、（c）、（d）為連通圖，圖（e）、（f）為非連通圖。

圖3-4路徑用圖2025/1/1353.1.2樹的基本概念

樹(tree)是一種特殊的圖，指連通所有的節點但不包含回路的圖，是圖論中非常重要的一個概念。如圖3-3（c）、（d）為圖3-1（b）的樹。可見樹是圖的一個子圖，并且是一個連通圖，它包含圖中所有的節點，又不包含回路。樹不止一種.圖3-5樹

2025/1/1361．樹支構成樹的支路稱為樹支，如圖3-5中的支路。一個圖有不同的樹，但樹支的數量是確定的。在具有n個節點的圖中，樹支數為（n-1）。2．連支除去樹支后，剩余的支路叫連支。一個圖中若有n個節點，b條支路，因樹支數為（n-1），所以連支數為（b

（n

1））。2025/1/1373．基本回路

將由一條連支、多條樹支構成的回路稱為基本回路。基本回路建立在樹的基礎之上。一個圖有多種樹，相應也有多種基本回路。樹確定后，基本回路就確定了。因樹支連通所有的節點，不構成回路，所以每增加一條連支，便增加一個回路，此回路僅有一條連支，其余皆為樹支，是基本回路。顯然基本回路數即為連支數。

當選擇某特定的樹時基本回路與網孔一致，網孔是特殊的基本回路。

2025/1/1383.2基爾霍夫方程的獨立性

基爾霍夫方程包括KCL方程和KVL方程。對4個節點列KCL方程得:將以上全部的KCL方程相加，等式恒為零，說明全部的KCL方程不相互獨立。但若去掉上式中4個節點方程中的任意一個，則剩余的三個方程是相互獨立的。2025/1/139若電路的節點數為n，則在任意的（n

1）個節點上可得出（n

1）個獨立的KCL方程，相應的（n

1）個節點稱為獨立節點。平面電路：可以畫在一個平面上，不使任何兩條支路交叉的電路。顯然，下圖是一個平面電路。對圖中3個回路列KVL方程

三個KVL方程不是相互獨立的，其中任一個方程可由其它兩個導出。如果去掉其中的一個方程，剩余的兩個方程不能互相導出，成為獨立方程。能提供獨立KVL方程的回路稱為獨立回路。

2025/1/1310由樹的概念知道，樹選定后，每增加一條連支，構成一個基本回路，每次增加的連支只出現在這個回路中，不會出現在其它基本回路中，即每一個基本回路都有一個其它回路所沒有的連支。由全部基本回路構成的基本回路組是一組獨立回路組，據這組獨立回路組列出的KVL方程組是獨立方程組。故由n個節點、b條支路組成的電路，獨立的KVL方程數為獨立回路數，即連支數，為（b

（n-1））個。2025/1/1311其中a、b、d為樹支，對應的兩個基本回路分別為（a、d、c）、（b、e、d）。這兩個基本回路相互獨立，列出的KVL方程為獨立方程。故有n個節點b條支路的電路，有任意（n-1）個獨立的KCL方程，任意的b

（n

1）=b

n+1個獨立的KVL方程。2025/1/13123.3支路電流法和支路電壓法

3.3.12b法

由于每條支路有一個支路電壓變量和一個支路電流變量，對于由n個節點、b條支路組成的電路，將有b個支路電壓變量和b個支路電流變量，求解這2b個變量，需聯立2b個獨立方程，其中b個方程可由（n-1）個獨立的KCL方程和（b

（n

1））個獨立的KVL方程確定。其余b個方程由b條支路的VAR得到。

2025/1/1313由于圖中有5條支路，所以有5個支路電壓變量、5個支路電流變量，解出這10個變量需要10個獨立方程。其中獨立KCL方程、獨立KVL方程為:2025/1/13145條支路的VAR關系式為聯立這三組方程可求得所有支路電流、電壓變量。2025/1/1315KCL、KVL及元件的VAR關系式是求解電路問題的基礎，KCL、KVL只與電路結構有關，對電路中的支路電壓與支路電流施加了一個約束關系，稱為結構約束；元件的VAR關系式稱為元件約束。這兩類約束是對電路中各電壓、電流變量所施加的全部約束，是解決集中電路問題的基本依據。這種以KCL、KVL方程及元件的VAR關系式聯立方程組從而求得所需的支路電壓變量、支路電流變量的方法稱為2b法。2025/1/13163.3.2支路電流法

求解這5個方程可得支路電流變量。這種以支路電流為變量，直接應用基爾霍夫電壓、電流定律，列出與支路電流數目相等的獨立節點電流方程和獨立回路電壓方程，然后解出各支路電流的方法叫支路電流法。將各支路的VAR關系式代入KVL方程并與KCL方程聯立得2025/1/1317例3-1已知下圖所示電路，試用支路電流法求各支路電流。

解節點a的KCL方程為右邊回路，沿逆時針方向列KVL方程代入數值整理得2025/1/13183.3.3支路電壓法

支路電壓法與支路電流法類似，將各元件VAR關系整理得

將左邊各式代入各節點的KCL方程得2025/1/1319將各式與KVL方程聯立，得到以支路電壓為變量的方程組這種以支路電壓為變量建立聯立方程組求解電路變量的方法叫支路電壓法。

若電路具有b條支路，則支路電壓法的聯立方程數為b個。支路電流法和支路電壓法泛稱為1b法。2025/1/13203.4網孔分析法

獨立的、完備的變量：“獨立的”指這組變量之間無線性關系，不能用一個線性方程約束。“完備的”指只要這組變量求出后，可容易的求出電路中所有支路電壓變量和支路電流變量。網孔電流是指平面電路中沿著網孔邊界流動的假想電流。2025/1/13211．完備性

由于網孔電流與支路電流有以下關系所有的支路電流都能用網孔電流表示，且所有支路電壓也可用網孔電流表示。所以網孔電流是一組完備的電流變量。2025/1/13222．獨立性由于每一網孔電流流經某節點時，從該節點流入又流出，在KCL方程中彼此相消，如圖中節點1的KCL方程為可得用網孔電流表示的KCL方程為

上式恒為零，對于其它節點也有類似的結果。故網孔電流沒有線性約束關系，是一組獨立變量。又由2025/1/1323運用KVL及VAR列出該圖所示網孔的KVL方程為將各電流式代入以上KVL方程得又2025/1/1324im1、im2、im3前的系數分別為對應網孔內所有電阻之和，稱為網孔的自電阻，用Rii

表示，如2025/1/1325兩網孔公共支路上的電阻稱為網孔間的互電阻，用Rij

表示，且

互電阻可正可負，如果兩個網孔電流流過互電阻的方向相同，互電阻取正值；反之，互電阻取負值。2025/1/1326以網孔電流為獨立變量的分析方法稱為網孔分析法。列寫網孔方程的一般步驟為：

1.選定各網孔電流的參考方向；

2.按照網孔電流方程的一般形式列出各網孔電流方程；3.聯立方程，解出各網孔電流；4.根據網孔電流進一步求出待求量。2025/1/1327例3-2已知下圖所示電路中，R1=20Ω，R2=50Ω,R3=30Ω,us=20V,is=1A,用網孔分析法求解支路電流i1,i3。

2025/1/1328解法一直接用網孔分析法列方程求解。圖中有兩個網孔，網孔電流分別為im1

、im2。由于網孔方程實質上是KVL方程，在含電流源的支路中，電流源兩端有電壓，所以列網孔方程時應把電流源電壓考慮在內。由于電流源端電壓未知，故為其假設一端電壓u。列網孔方程代入數值有解得2025/1/1329解法二含電流源的支路其支路電流即為電流源的電流值，因此，流經電阻R2的電流等于2A，是已知的。將電流源所在支路與R3所在支路互換，如圖所示，i2是唯一流過包含電流源支路的網孔電流，故i2=is=1A，這樣網孔電流不必再去求解。只需列一個網孔方程即可。網孔1的方程為將數值代入，得則2025/1/1330例3-3已知圖3-12所示電路中，U=5V,R1=3Ω,R2=1Ω,R3=4Ω,R4=4.5Ω,求I1。2025/1/1331解網孔電流如圖中虛線所標，電路中包含電流控制電壓源，列網孔方程時，可把受控電壓源當作獨立源，寫出網孔方程，然后把受控源的控制量用網孔電流表示即可。網孔方程為聯立上述4個方程并代入數值2025/1/1332例3-4列出圖3-13（a）所示電路的網孔方程。

2025/1/1333解

網孔電流如圖虛線所示，且im1=

is，網孔2與網孔3的公共支路含受控電流源，在對網孔2列寫網孔方程時，受控源的電壓無法用網孔電流直接表示，因此，受控源的電壓作為方程變量，列方程時將其當作電壓源對待，網孔方程為對于受控源支路有2025/1/13343.5節點分析法

選擇電路中任意一個節點作為參考節點，其它節點與參考節點之間的電壓降，稱為該節點的節點電壓。以節點電壓為未知量，聯立方程，求解各節點電壓值，然后進一步求出待求量的分析方法稱為節點分析法。節點電壓必須是一組完備的獨立的電壓變量。2025/1/1335

1完備性

圖中共有3個節點，各節點電壓分別為u1

u2

u3

，選節點3為參考節點，即

u3=0。各支路電壓易用節點電壓表示，各支路電流可據元件的VAR求出。故節點電壓是一組完備的電壓變量。

2獨立性當各支路電壓用節點電壓表示時，沿任一回路各支路電壓降的代數和恒為零。說明節點電壓可為任意數值，彼此獨立，無線性關系。所以各節點電壓是一組獨立的電壓變量。2025/1/1336對節點1、節點2分別應用基爾霍夫電流定律列出節點KCL方程

各支路電流用節點電壓表示2025/1/1337整理得節點1方程中的（G1+G2）是與節點1相連接的各支路的電導之和，稱為節點1的自電導，用G11表示。節點1方程中的（-G2）是節點1和節點2相連支路的電導，稱為節點1和節點2之間的互電導，用G12表示。有G12

=-G2

。

is1+is2是流向節點1的理想電流源電流的代數和，用is11表示。流入節點的電流取“+”；流出節點的電流取“–”。2025/1/1338將其推廣到具有n個節點（獨立節點數為（n–1））的電路，節點電壓方程的一般形式為2025/1/1339根據電路結構和節點電壓方程的一般形式直接寫出節點電壓方程的步驟：（1）

指定電路中某一節點為參考點，標出各獨立節點電壓；（2）按照節點電壓方程的一般形式，根據實際電路直接列寫各節點電壓方程。列寫第k個節點電壓方程時，自電導等于與節點k相連接的各電阻支路電導之和；互電導一律取“–”號。流入節點k的電流源的電流取“+”號；流出的則取“–”號。

2025/1/1340例3-5已知圖3-15所示電路中，Us1=20V

，Us2=10V

，R1=5Ω,R2=10Ω,R3=20Ω,R4=1Ω，用節點分析法求解流過電阻R3的電流I3

。

解選節點4為參考節點，節點2、3的節點電壓un2和un3分別為已知電壓源電壓。我們僅需對節點1列寫節點方程2025/1/1341例3-6電路如圖所示，求電壓U12。

圖例3-62025/1/1342又有聯立上述4個方程解得解法一選節點0為參考節點，將1V電壓源與3S電導串聯支路等效為電流源并聯電導支路，如圖（b）所示，由于節點方程實質上是KCL方程，所以對于與節點相連的22V電壓源也有電流流過。設流過電壓源的電流為i，可列出節點方程為

2025/1/1343解法二選電壓源的一端為參考節點，如圖所示的節點3為參考節點，節點2的電壓為已知電壓源電壓節點0和節點1的方程為聯立上述三個方程解得2025/1/1344例3-7已知圖3-17中,IS=2.5A,R1=2Ω,R2=0.4Ω,R3=3Ω,R4=1Ω,R4=2Ω,，試用節點分析法求電壓U23。

圖3-17圖3-7圖

2025/1/1345解列寫節點方程時可將受控電流源視為獨立電流源。節點0設為參考節點，列出各節點方程節點1

節點2

節點3

又有2025/1/1346例3-8電路如圖3-18所示，試列寫出節點分析法所需的節點方程。

圖3-18解圖中包含兩個受控源，較復雜，列方程時可先將電路適當化簡，但應注意化簡時控制支路不要改變或消去。將電流源串聯電阻支路等效變換為電流源支路；將受控電壓源與電阻的串聯支路等效變換為受控電流源并聯電阻支路。2025/1/1347據電壓控制支路據電流控制支路列出節點1和節點2方程2025/1/1348節點分析法適合于獨立節點數少于網孔數、結構較復雜電路的分析求解。另外，網孔分析法適用于平面電路，節點電壓法適用于平面、非平面電路。在列網孔方程時，電路中若含電流源并聯電阻支路，可先將電流源并聯電阻支路等效變換為電壓源串聯電阻支路；如含有電流源支路，應考慮其端電壓。在列節點方程時，電路中若含電壓源串聯電阻支路，可先將電壓源串聯電阻支路等效變換為電流源并聯電阻支路；如含有獨立電壓源，可設電壓源的一端為參考節點，能減少所列方程數目。2025/1/13493.6回路分析法

在選定樹后，如果每次只接上一條連支，就可以構成一個只由一條連支而其它為樹支組成的基本回路。與網孔電流類似，沿基本回路流動的假想電流稱為基本回路電流。因為基本回路中只有一條連支，所以，基本回路電流即為連支電流。對一個具有b條支路、n個節點的電路來說，有（b

（n

1））條連支，因此有（b

（n

1））個基本回路及基本回路電流。以基本回路電流（連支電流）作為電路變量求解方程，進而求出回路中其余變量的分析方法稱為回路分析法。與網孔電流、節點電壓類似，基本回路電流（連支電流）也是一組完備的獨立的電流變量。2025/1/1350支路電流求出后，據元件的VAR容易求出各支路的電壓變量。故連支電流是一組完備的電流變量。1．完備性電路如圖（a）所示，選樹如圖（b）中實線所示，相應的連支及基本回路如圖（b）中細線和虛線所示，各支路電流用連支電流表示如下（b）2025/1/13512．獨立性

可見，連支電流自動滿足KCL。對其它節點也有類似的結論。說明連支電流彼此無關，沒有線性約束關系，是一組獨立變量。

故連支電流是一組完備的、獨立的電流變量。

對圖（b）節點1列KCL方程將上式中的支路電流用連支電流表示得（b）2025/1/1352對圖示的基本回路列寫KVL方程

將各支路電流用連支電流表示代入上式2025/1/1353具有n個基本回路的電路，其回路電流方程一般形式為可見，回路分析法方程的列寫方法與網孔方程類似。回路分析法適合平面和非平面電路，而網孔分析法只適合于平面電路。網孔分析法是回路分析法的特例。

2025/1/1354例3-9如圖3-20所示電路中,R1=6Ω,

R2=2Ω,R3=4Ω,R4=2Ω,us1=6V,us2=3V,us3=2V,用回路分析法求解流過R3的電流i。

解圖（a）對應的拓撲圖如（b）所示，圖中粗線為樹支，il1、il2、il3分別為回路電流。2025/1/1355為列寫方程方便，將樹及回路電流重標于原圖上，如圖所示，可得回路方程為使解題簡單、方便，列寫回路方程時一般可將電壓源、受控源的電壓控制量所在支路選為樹支；將電流源及受控源的電流控制量所在支路選為連支。2025/1/1356例3-10已知圖3-21（a）所示電路中，iS=4A,R1=5Ω,R2=2Ω,R3=3Ω,us1=20V,us2=25V,us3=15V,試求i1。

解將一個二端元件看作一條支路，圖中共有八條支路，六個節點，故樹支數為5，連支數為3。將三個電壓源所在支路選為樹支，而將電流源、受控電流源以及受控源的控制支路選為連支，樹如圖（b）中粗線所示。顯然，三個連支電流（基本回路電流）分別為i1、2i1以及is。2025/1/1357對i1所流經的回路列寫回路方程可見選擇合適的樹，回路分析法較網孔分析法有時更簡單。

2025/1/1358運算放大器簡稱運放，內部結構較復雜，包含多個電阻、電容、二極管、晶體管等元件，這些元件用集成電路技術制作在面積很小的一片硅片上，稱為集成芯片。集成芯片通過幾個端子與外部電路聯接。運算放大器的一般作用是把電壓放大一定倍數后輸出，因其又能完成加、減、乘、除、微分、積分等數學運算而得名。實用中，由于運放性能穩定、體積小、價格低，在計算機、自動控制、測量等領域常用于信號的放大、濾波、整形等。實際運放有多種型號，內部結構不同，但從電路分析的角度，只研究實際運放的電路模型，把它看作一種多端元件對待，只需了解它的電路模型、外部特性及其分析方法。3.8含運算放大器的電阻電路的分析2025/1/1359運算放大器的符號：“△”符號表示“放大器”。“

”表示倒向輸入端也稱反相輸入端；“+”表示非倒向輸入端也稱同相輸入端；一個輸出端和一個接地端。u-、u+、u0分別表示反相輸入端、同相輸入端、輸出端對地的電壓。當反相輸入端電壓的實際極性對地為高電位（“+”）時，輸出電壓的實際極性對地為低電位（“－”），正好與輸入反相。當同相輸入端電壓的實際極性對地為高電位（“+”）時，輸出電壓的實際極性對地也為高電位（“+”），與輸入同相。另外，圖中的E+和E-分別表示直流偏置電壓，維持運放內部晶體管的正常工作，E+和E-分別接正、負電源（正、負是相對接地端而言的）。2025/1/1360在電路分析中主要考慮運放的作用，可不考慮運放的電源端，因而運放的符號可簡化，對外有反相輸入端、同相輸入端、輸出端和地四個端。在實際中，有些集成運放的接地端不標出，而是通過如圖（a）所示的雙電源（偏置電源）實現，因此，運放的符號又可以簡化為（c）。（a）