濱州一模2024數(shù)學(xué)試卷一、選擇題

1.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$在$x=1$處的導(dǎo)數(shù)是：

A.0

B.1

C.2

D.3

2.下列各數(shù)中，不是無(wú)理數(shù)的是：

A.$\sqrt{2}$

B.$\pi$

C.$\frac{1}{3}$

D.$\sqrt{3}$

3.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的公差為$d$，若$a_1=3$，$a_5=13$，則$a_3$的值為：

A.7

B.8

C.9

D.10

4.若復(fù)數(shù)$z$滿足$|z-1|+|z+1|=4$，則復(fù)數(shù)$z$對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面上的軌跡是：

A.線段

B.圓

C.雙曲線

D.橢圓

5.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是：

A.$f(x)=x^2$

B.$f(x)=|x|$

C.$f(x)=x^3$

D.$f(x)=\frac{1}{x}$

6.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的公比為$q$，若$a_1=2$，$a_4=16$，則$q$的值為：

A.2

B.4

C.8

D.16

7.下列各數(shù)中，不是正數(shù)的是：

A.$\sqrt{9}$

B.$\pi$

C.$\frac{1}{3}$

D.$\sqrt{3}$

8.若函數(shù)$f(x)=x^2-4x+4$在區(qū)間$(0,2)$上單調(diào)遞增，則$f(1)$的值是：

A.1

B.2

C.3

D.4

9.下列各數(shù)中，不是實(shí)數(shù)的是：

A.$\sqrt{2}$

B.$\pi$

C.$\frac{1}{3}$

D.$\sqrt{3}$

10.若復(fù)數(shù)$z$滿足$|z-1|+|z+1|=4$，則復(fù)數(shù)$z$對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面上的軌跡是：

A.線段

B.圓

C.雙曲線

D.橢圓

二、判斷題

1.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$(1,0)$關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是$(-1,0)$。（）

2.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖象開口向上，則$a>0$。（）

3.二項(xiàng)式$(a+b)^n$展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是中間項(xiàng)。（）

4.在等差數(shù)列中，任意兩個(gè)相鄰項(xiàng)的和等于這兩項(xiàng)的公差。（）

5.在等比數(shù)列中，任意兩個(gè)相鄰項(xiàng)的比值等于這兩項(xiàng)的公比。（）

三、填空題

1.若函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x$在$x=2$處的切線斜率為______。

2.在等差數(shù)列$\{a_n\}$中，若$a_1=5$，$a_5=25$，則該數(shù)列的公差$d=$______。

3.復(fù)數(shù)$z$滿足$|z-1|+|z+1|=4$，則$z$在復(fù)平面上的軌跡是一個(gè)______。

4.二項(xiàng)式$(a+b)^4$展開式中，$x^2y^2$的系數(shù)是______。

5.若函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞減，則其導(dǎo)數(shù)$f'(x)=$______。

四、簡(jiǎn)答題

1.簡(jiǎn)述函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$在區(qū)間$[0,2]$上的單調(diào)性，并求出其極值點(diǎn)。

2.給定等差數(shù)列$\{a_n\}$，已知$a_1=3$，$a_5=13$，求該數(shù)列的前10項(xiàng)和$S_{10}$。

3.設(shè)復(fù)數(shù)$z=a+bi$（其中$a,b$為實(shí)數(shù)），求證：$|z|^2=z\overline{z}$，其中$\overline{z}$表示$z$的共軛復(fù)數(shù)。

4.計(jì)算二項(xiàng)式$(x+y)^5$展開式中$x^3y^2$的系數(shù)，并解釋如何通過(guò)二項(xiàng)式定理得到該系數(shù)。

5.已知函數(shù)$f(x)=\ln(x+1)-\sqrt{x}$，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$，并討論函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性。

五、計(jì)算題

1.計(jì)算定積分$\int_0^2(3x^2-2x+1)\,dx$。

2.解方程組$\begin{cases}2x+3y=8\\x-y=1\end{cases}$。

3.設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，求$f'(x)$，并找出$f(x)$在區(qū)間$[-2,2]$上的極值點(diǎn)。

4.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的第一項(xiàng)$a_1=3$，公比$q=2$，求第5項(xiàng)$a_5$以及前5項(xiàng)的和$S_5$。

5.解不等式$\frac{x-1}{x+2}<\frac{2x-1}{x-1}$，并指出解集。

六、案例分析題

1.案例背景：

某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其成本函數(shù)為$C(x)=2x^2+100x+800$（其中$x$為生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量），售價(jià)函數(shù)為$P(x)=4x+200$。

問(wèn)題：

（1）求該工廠生產(chǎn)$x$個(gè)產(chǎn)品的總利潤(rùn)$L(x)$。

（2）為了最大化利潤(rùn)，工廠應(yīng)該生產(chǎn)多少產(chǎn)品？求出最大利潤(rùn)。

2.案例背景：

某城市公交公司運(yùn)營(yíng)一條線路，其票價(jià)為$2$元，每天固定成本為$5000$元。假設(shè)每天乘客數(shù)量為$y$人，則公司的收入為$R(y)=2y$元。

問(wèn)題：

（1）根據(jù)上述信息，建立公司每天的平均成本函數(shù)$AC(y)$。

（2）求出使得公司平均成本最小的乘客數(shù)量$y$，并計(jì)算該最小平均成本。

七、應(yīng)用題

1.應(yīng)用題：

某城市公交路線的票價(jià)為$2$元，假設(shè)公交車每天運(yùn)行$100$公里，每公里的燃油成本為$0.2$元，司機(jī)工資為$20$元/天，公交車折舊費(fèi)用為$50$元/天。此外，公交車在高峰時(shí)段的乘客密度增加，導(dǎo)致每公里的能耗增加$10\%$。

問(wèn)題：

（1）求出公交車每天的總成本。

（2）如果公交車在高峰時(shí)段的乘客數(shù)量為$200$人，求出該高峰時(shí)段的總收入和總利潤(rùn)。

2.應(yīng)用題：

某商店銷售一種商品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，當(dāng)價(jià)格為$P$元時(shí)，銷量$Q$與價(jià)格之間的關(guān)系為$Q=300-5P$。商店的固定成本為$1000$元，每件商品的變動(dòng)成本為$10$元。

問(wèn)題：

（1）求出該商品的邊際利潤(rùn)函數(shù)$L(P)$。

（2）如果商店希望獲得最大利潤(rùn)，應(yīng)該將價(jià)格定為多少？求出最大利潤(rùn)。

3.應(yīng)用題：

某班級(jí)有$30$名學(xué)生，其中$20$名是男生，$10$名是女生。現(xiàn)在要從這個(gè)班級(jí)中隨機(jī)抽取$5$名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，要求抽取的女生人數(shù)至少為$1$名。

問(wèn)題：

（1）求出抽取的$5$名學(xué)生中，至少有$1$名女生的所有可能組合的總數(shù)。

（2）如果抽取的學(xué)生中女生人數(shù)必須恰好為$3$名，求出這種情況下的組合數(shù)。

4.應(yīng)用題：

某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其需求函數(shù)為$Q=50-2P$，其中$Q$為需求量，$P$為價(jià)格。生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本為$500$元，每單位產(chǎn)品的變動(dòng)成本為$10$元。

問(wèn)題：

（1）求出該產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)$MC$。

（2）如果工廠希望獲得最大利潤(rùn)，應(yīng)該將價(jià)格定為多少？求出最大利潤(rùn)和最大需求量。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題答案

1.A

2.C

3.B

4.B

5.C

6.B

7.C

8.B

9.C

10.A

二、判斷題答案

1.×

2.√

3.×

4.×

5.√

三、填空題答案

1.3

2.4

3.圓

4.10

5.$-\frac{2}{x^3}+\frac{1}{x^2}$

四、簡(jiǎn)答題答案

1.函數(shù)在區(qū)間$[0,2]$上單調(diào)遞增，極值點(diǎn)為$x=1$。

2.$S_{10}=1100$

3.證明：$|z|^2=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2=z\overline{z}$

4.系數(shù)為$C_5^3=10$，通過(guò)二項(xiàng)式定理，$(x+y)^5=C_5^0x^5+C_5^1x^4y+C_5^2x^3y^2+C_5^3x^2y^3+C_5^4xy^4+C_5^5y^5$，故系數(shù)為$10$。

5.$f'(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{2\sqrt{x}}$，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減。

五、計(jì)算題答案

1.$\int_0^2(3x^2-2x+1)\,dx=\left[\frac{3}{3}x^3-\frac{2}{2}x^2+x\right]_0^2=(8-4+2)-(0-0+0)=6$

2.解得$x=3,y=1$

3.$f'(x)=3x^2-6x+4$，極值點(diǎn)為$x=1$。

4.$a_5=3\cdot2^4=48$，$S_5=\frac{a_1(1-q^5)}{1-q}=\frac{3(1-2^5)}{1-2}=93$

5.解得$-\frac{1}{2}<x<1$，解集為$(-\frac{1}{2},1)$。

六、案例分析題答案

1.（1）總成本$C(x)=2x^2+100x+800$，總收入$R(x)=4x+200$，總利潤(rùn)$L(x)=R(x)-C(x)$。

（2）求導(dǎo)$L'(x)=4-4x$，令$L'(x)=0$得$x=1$，最大利潤(rùn)為$L(1)=200$。

2.（1）平均成本$AC(y)=\frac{C(y)}{y}=\frac{5000+10y}{y}=10+\frac{5000}{y}$。

（2）求導(dǎo)$AC'(y)=-\frac{5000}{y^2}$，令$AC'(y)=0$得$y$無(wú)解，最小平均成本在$y$趨向于無(wú)窮大時(shí)取得，即$AC(y)\to10$。

七、應(yīng)用題答案

1.（1）總成本$C=100\cdot0.2+20+50=70$元/天。

（2）總收入$R=2\cdot200=400$元，總利潤(rùn)$R-C=330$元。

2.（1）邊際利潤(rùn)$L(P)=R'(P)-C'(P)=300-10-10=280$。

（2）利潤(rùn)最大化時(shí)$R'(P)=0$，即$300-10P=0$，解得$P=30$，最大利潤(rùn)為$L(30)=280$。

3.（1）至少有$1$名女生的組合數(shù)為$C_{10}^1\cdotC_{20}^4+C_{10}^2\cdotC_{20}^3+C_{10}^3\cdotC_{20}^2+C_{10}^4\cdotC_{20}^1$。

（2）女生恰好為$3$名的組合數(shù)為$C_{10}^3\cdotC_{20}^2$。

4.（1）邊際成本$MC=C'(Q)=2Q+10$。

（2）利潤(rùn)最大化時(shí)$MC=P$，即$2Q+10=50-2Q$，解得$Q=15$，最大利潤(rùn)為$L(Q)=15\cdot(50-2\cdot15)-500=125$，最大需求量為$Q=15$。

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：

1.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和積分

2.等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)

3.復(fù)數(shù)的概念和運(yùn)算

4.二項(xiàng)式定理

5.最大化和最小化問(wèn)題

6.案例分析中的應(yīng)用題解答

7.線性方程組和不等式的解法

題型知識(shí)點(diǎn)詳解及示例：

1.選擇題：考察對(duì)基礎(chǔ)概念的理解和應(yīng)用，如函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)列的性質(zhì)、復(fù)數(shù)的運(yùn)算等。

2.判斷題：考