溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調整合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。課時提升作業(十三)一、選擇題1.函數y=cos(2x+1)的導數是()(A)y′=sin(2x+1)(B)y′=-2xsin(2x+1)(C)y′=-2sin(2x+1)(D)y′=2xsin(2x+1)2.(2021·合肥模擬)若拋物線y=x2在點(a,a2)處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為16,則a=()(A)4 (B)±4 (C)8 (D)±83.(2021·泉州模擬)下列曲線的全部切線構成的集合中，存在很多對相互垂直的切線的曲線是()(A)f(x)＝ex (B)f(x)＝x3(C)f(x)＝lnx (D)f(x)＝sinx4.(2021·青島模擬)設函數f(x)=g(x)+x2,曲線y=g(x)在點(1,g(1))處的切線方程為y=2x+1,則曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率為()(A)2 (B)-QUOTE (C)4 (D)-QUOTE5.如圖,其中有一個是函數f(x)=QUOTEx3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的導函數f′(x)的圖象,則f(-1)為()(A)2 (B)-QUOTE (C)3 (D)-6.(2021·南平模擬)若存在過點(1,0)的直線與曲線y=x3和y=ax2+QUOTEx-9都相切,則a等于()(A)-1或 (B)-1或QUOTE(C)-QUOTE或 (D)-QUOTE或7二、填空題7.如圖，函數F(x)＝f(x)＋的圖象在點P處的切線方程是y＝－x＋8，則f(5)＋f′(5)＝_________.8.設a＞0，f(x)＝ax2＋bx＋c，曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處切線的傾斜角的取值范圍為［0，］，則點P到曲線y＝f(x)的對稱軸的距離的取值范圍為___________.9.(力氣挑戰題)若曲線f(x)=ax2+lnx存在垂直于y軸的切線,則實數a的取值范圍是.三、解答題10.求下列各函數的導數:(1)y=(x+1)(x+2)(x+3).(2)y=.(3)y＝e-xsin2x.11.已知曲線y=,(1)求曲線過點P(2,4)的切線方程.(2)求曲線的斜率為4的切線方程.12.(力氣挑戰題)已知函數f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直線m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值.(2)是否存在k的值，使直線m既是曲線y＝f(x)的切線，又是曲線y＝g(x)的切線？假如存在，求出k的值；假如不存在，說明理由．答案解析1.【解析】選C.y′=-sin(2x+1)·(2x+1)′=-2sin(2x+1).2.【解析】選B.y′=2x,所以在點(a,a2)處的切線方程為:y-a2=2a(x-a),令x=0,得y=-a2;令y=0,得x=QUOTEa,所以切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積S=QUOTE×|-a2|×|QUOTEa|=QUOTE|a3|=16,解得a=±4.3.【解析】選D.設切點的橫坐標為x1，x2,則存在很多對相互垂直的切線，即f′(x1)·f′(x2)＝-1有很多對x1，x2使之成立,對于A由于f′(x)＝ex＞0，所以不存在f′(x1)·f′(x2)＝－1成立；對于B由于f′(x)＝3x2≥0，所以也不存在f′(x1)·f′(x2)＝－1成立；對于C由于f(x)＝lnx的定義域為(0，＋∞)，∴f′(x)＝＞0;對于D,由于f′(x)＝cosx，所以f′(x1)·f′(x2)＝cosx1·cosx2，若x1＝2mπ，m∈Z,x2＝(2k＋1)π，k∈Z，則f′(x1)·f′(x2)＝－1恒成立．4.【解析】選C.由于曲線y=g(x)在點(1,g(1))處的切線方程為y=2x+1,所以g′(1)=2.又f′(x)=g′(x)+2x,故曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率為f′(1)=g′(1)+2=4.5.【解析】選B.∵f′(x)=x2+2ax+(a2-1),∴導函數f′(x)的圖象開口向上.又∵a≠0,∴其圖象必為(3).由圖象特征知f′(0)=0,且對稱軸x=-a>0,∴a=-1,故f(-1)=-QUOTE.6.【思路點撥】先設出切點坐標,再依據導數的幾何意義寫出切線方程,最終由點(1,0)在切線上求出切點后再求a的值.【解析】選A.設過點(1,0)的直線與曲線y=x3相切于點(x0,x03QUOTE),所以切線方程為y-QUOTEx03=3QUOTEx02(x-x0),即y=3QUOTEx02x-2QUOTEx03.又(1,0)在切線上,則x0=0或x0=QUOTE,當x0=0時,由y=0與y=ax2+QUOTEx-9相切可得Δ=(QUOTE)2-4a(-9)=0,解得a=,同理,當x0=QUOTE時,由y=QUOTEx-QUOTE與y=ax2+QUOTEx-9相切可得a=-1,所以選A.【方法技巧】導數幾何意義的應用導數的幾何意義是切點處切線的斜率,應用時主要體現在以下幾個方面:(1)已知切點A(x0,f(x0))求斜率k,即求該點處的導數值:k=f′(x0).(2)已知斜率k,求切點A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k.(3)已知過某點M(x1,f(x1))(不是切點)的切線斜率為k時,常需設出切點A(x0,f(x0)),利用k=求解.7.【解析】F′(x)＝f′(x)＋x，由題意可知F′(5)＝f′(5)＋2＝－1，∴f′(5)＝－3.又點(5,3)在F(x)的圖象上，∴f(5)＋5＝3，∴f(5)＝－2，∴f(5)＋f′(5)＝－5.答案：－58.【解析】∵y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處切線的傾斜角的取值范圍為［0，］，∴0≤f′(x0)≤1，即0≤2ax0＋b≤1.又∵a＞0,∴≤x0≤，∴0≤x0＋≤，即點P到曲線y＝f(x)的對稱軸的距離的取值范圍為［0，］．答案：［0，］9.【思路點撥】求出導函數,依據導函數有零點,求a的取值范圍.【解析】由題意該函數的定義域為(0,+∞),且f′(x)=2ax+QUOTE.由于存在垂直于y軸的切線,故此時斜率為0,問題轉化為x>0時導函數f′(x)=2ax+QUOTE存在零點的問題.方法一(圖象法):再將之轉化為g(x)=-2ax與h(x)=QUOTE存在交點.當a=0時不符合題意,當a>0時,如圖1,數形結合可得沒有交點,當a<0時,如圖2,此時正好有一個交點,故有a<0,應填(-∞,0).方法二(分別變量法):上述也可等價于方程2ax+QUOTE=0在(0,+∞)內有解,明顯可得a=∈(-∞,0).答案:(-∞,0)10.【解析】(1)方法一:y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,∴y′=3x2+12x+11.方法二:y′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)·(x+3)′=[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)·(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.(2)∵y=,∴y′=.(3)y′＝(－e－x)sin2x＋e－x(cos2x)×2＝e－x(2cos2x－sin2x)．11.【解析】(1)設曲線y=與過點P(2,4)的切線相切于點A(x0，x03+)，則切線的斜率k=，∴切線方程為y-()=x02(x-x0)，即y=x02·x-x03+.∵點P(2,4)在切線上，∴4=，即x03-3x02+4=0，∴x03+x02-4x02+4=0，∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0.(2)設切點為(x0,y0),則切線的斜率為k=x02=4,x0=±2,所以切點為(2,4),(-2,-QUOTE),∴切線方程為y-4=4(x-2)和y+QUOTE=4(x+2),即4x-y-4=0和12x-3y+20=0.【變式備選】已知函數f(x)=x3+x-16.(1)求曲線y＝f(x)在點(2，－6)處的切線方程.(2)假如曲線y=f(x)的某一切線與直線y=-QUOTEx+3垂直,求切點坐標與切線的方程.【解析】(1)可判定點(2，－6)在曲線y＝f(x)上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴在點(2，－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝13,∴切線的方程為y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)∵切線與直線y=-QUOTEx+3垂直,∴切線的斜率k=4.設切點的坐標為(x0,y0),則f′(x0)=3QUOTEx02+1=4,∴x0=±1,∴∴切點坐標為(1,-14)或(-1,-18),切線方程為y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即y=4x-18或y=4x-14.12.【解析】(1)f′(x)＝3ax2＋6x－6a，f′(－1)＝0，即3a－6－6a＝0，∴a＝－2.(2)存在.∵直線m恒過定點(0,9)，直線m是曲線y＝g(x)的切線，設切點為(x0,3x02＋6x0＋12)，∵g′(x0)＝6x0＋6，∴切線方程為y－(3x02＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，將點(0,9)代入，得x0＝±1，當x0＝－1時，切線方程為y＝9；當x0＝1時，切線方程為y＝12x＋9.由f′(x)＝