第12課時平行和垂直的綜合應用1.綜合應用直線與平面的平行和垂直的判定定理、性質定理解決空間幾何中的平行與垂直問題.2.培育同學的空間識圖力量和空間想象力量,會依據題意構造幫助線將問題進行轉化,提高同學的規律推理力量和計算力量.通過前面幾節課的學習,我們生疏了空間中的點、線、面的位置關系,學習了空間幾何中的線面平行和垂直的判定定理和性質定理、面面平行和垂直的判定定理和性質定理,了解了直線與平面所成的角、二面角的概念,并能進行一些簡潔的線面角和二面角的計算,這節課我們將探究空間中平行和垂直的綜合性問題,提高空間幾何的想象力量和解決綜合性問題的方法技巧.問題1:平行綜合問題的轉化方法和技巧(1)利用線面平行的判定定理可以把線面平行問題轉化為問題,利用面面平行的判定定理可以把面面平行問題轉化為線面平行問題;

(2)利用線面平行的性質定理可以利用線面平行推導線線平行,利用面面平行的性質定理可以利用面面平行推導線面平行;

(3)線線平行是把立體幾何中的平行問題轉化為平面幾何中的平行問題的中轉站,在平面幾何中證明線線平行的常用方法有:定義法(即平面中沒有公共點的兩條直線是平行線)、三角形中位線定理、三角形分線段成比例定理、特殊四邊形的性質.

問題2:垂直綜合問題的轉化方法和技巧(1)利用線面垂直的判定定理可以把線面垂直問題轉化為線線垂直問題,利用面面垂直的判定定理可以把面面垂直問題轉化為線面垂直問題;

(2)利用線面垂直的性質定理可以利用線面垂直推導線線垂直,利用面面垂直的性質定理可以利用面面垂直推導線面垂直;

(3)線線垂直是把立體幾何中的垂直問題轉化為平面幾何中的垂直問題的中轉站,在平面幾何中證明線線垂直的常用方法有:勾股定理、等腰三角形三線合肯定理、特殊四邊形的性質.

問題3:平行問題與垂直問題的相互轉化(1)垂直同一平面的兩條直線平行,即a⊥α,b⊥α?a∥b;

(2)與平面的垂線平行的直線也垂直這個平面,即a⊥α,a∥b?b⊥α;

(3)垂直同始終線的兩個平面平行,即a⊥α,a⊥β?α∥β;

(4)與平面的垂線平行的平面也垂直這個平面,即a⊥α,a∥β?α⊥β;

(5)與平面的垂直平面平行的平面也垂直這個平面,即a⊥β,β∥γ?a⊥γ.

問題4:垂直問題與平行問題的常見錯誤命題歸類(1)垂直同一平面的兩個平面平行,即α⊥β,β⊥γ?α∥γ;

(2)垂直同一平面的兩個平面垂直,即α⊥β,β⊥γ?α⊥γ;

(3)平行同始終線的兩個平面平行,即a∥α,a∥β?α∥β;

(4)平行同一平面的兩個直線平行,即a∥α,b∥α?α∥b.

1.假如一條直線l與平面α的一條垂線垂直,那么直線l與平面α的位置關系是().A.l?α B.l⊥α C.l∥α D.l?α或l∥α2.已知a,b,c是直線,α,β是平面,下列條件中,能得出直線a⊥平面α的是().A.a⊥c,a⊥b,其中b?α,c?α B.a∥b,b⊥αC.α⊥β,a∥β D.a⊥b,b∥α3.在正方體中,與正方體的一條對角線垂直的各面上的對角線的條數是.

4.已知直線l⊥平面α,垂足為A,直線AP⊥l.求證:AP在α內.棱柱中的平行問題與垂直問題已知,正方體ABCD-A1B1C1D1,E,M,F分別是AD,CD,CC1的中點,求證:(1)EM∥平面BFD1;(2)A1E⊥平面ABF.棱錐中的平行問題與垂直問題已知四棱錐P-ABCD中,側面PAD⊥底面ABCD,AB∥CD,CD=2AB,AD⊥CD,BC=PB,E為PD的中點.求證:(1)AE∥平面PBC;(2)AE⊥平面PCD.其他幾何體中的平行問題與垂直問題如圖,正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面相互垂直,EF∥AC,AB=2,CE=EF=1.(1)求證:AF∥平面BDE;(2)求證:CF⊥平面BDE.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側棱垂直于底面,點D在BC上,AD⊥C1D.(1)求證:AD⊥面BCC1B1;(2)假如AB=AC,點E是B1C1的中點,求證:A1E∥平面ADC1.如圖,四邊形ABCD為矩形,AD⊥平面ABE,EB=BC,F為CE上的點,且BF⊥平面ACE.(1)求證:AE⊥平面BCE;(2)求證:AE∥平面BFD.如圖,四邊形ABCD是圓柱的一個軸截面,E是下底面圓上除去A,B以外的一點,AF⊥CE,垂足為F.求證:(1)AF⊥平面BCE;(2)若BC⊥DF,AB=4,求棱柱的體積.1.已知m是平面α的一條斜線,點A?α,l為過點A的一條動直線,那么下列情形可能消滅的是().A.l∥m,l⊥α B.l⊥m,l⊥α C.l⊥m,l∥α D.l∥m,l∥α2.已知如圖,六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABC.則下列結論不正確的是().A.CD∥平面PAFB.DF⊥平面PAFC.CF∥平面PABD.CF⊥平面PAD3.若l為一條直線,α,β,γ為三個互不重合的平面,給出下面三個命題:①α⊥γ,β⊥γ?α⊥β;②α⊥γ,β∥γ?α⊥β;③l∥α,l⊥β?α⊥β.其中正確的命題有.

4.如圖,四邊形ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分別為AB、PC的中點.(1)證明:AB⊥MN;(2)若PA=AD,連接AC,取AC的中點O,證明:平面MNO⊥平面PDC.(2021年·江蘇卷)如圖,在三棱錐S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB,過A作AF⊥SB,垂足為F,點E,G分別是棱SA,SC的中點.求證:(1)平面EFG∥平面ABC;(2)BC⊥SA.考題變式(我來改編):第12課時平行和垂直的綜合應用學問體系梳理問題1:(1)線線平行線面平行(2)線線平行線面平行(3)定義法(即平面中沒有公共點的兩條直線是平行線)三角形中位線定理三角形分線段成比例定理特殊四邊形的性質問題2:(1)線線垂直線面垂直(2)線線垂直線面垂直(3)勾股定理等腰三角形三線合肯定理特殊四邊形的性質問題3:(1)a⊥α,b⊥α?a∥b(2)a⊥α,a∥b?b⊥α(3)a⊥α,a⊥β?α∥β(4)a⊥α,a∥β?α⊥β(5)a⊥β,β∥γ?a⊥γ問題4:(1)α⊥β,β⊥γ?α∥γ(2)α⊥β,β⊥γ?α⊥γ(3)a∥α,a∥β?α∥β(4)a∥α,b∥α?α∥b基礎學習溝通1.D通過畫圖分析可得.2.BA中沒強調a,b是相交直線,C、D明顯錯誤,B正確.3.6通過畫圖分析可得,每個面都有一條面對角線與該對角線垂直,所以有6條.4.解:假設AP與l確定的平面為β,假如AP不在α內,則可設α與β相交于直線AM,∵l⊥α,∴l⊥AM,又AP⊥l,∵在平面內,過直線外一點有且只有一條直線與已知直線垂直,∴假設錯誤,∴AP肯定在α內.重點難點探究探究一:【解析】(1)連接AC、BD交于點O,取BD1中點為O',連接O'F、O'O,由于E,M分別是AD,CD的中點,所以EM∥AC,又由于OO'∥DD1∥CC1,且OO'=12DD1=12CC1所以四邊形OO'FC是平行四邊形,所以O'F∥OC,所以EM∥O'F且O'F?平面BFD1,所以EM∥平面BFD1.(2)取BC中點為G,連接B1G,易得A1E∥B1G,在正方形BB1C1C中,由于G,F分別是BC,CC1的中點,易證B1G⊥BF,所以A1E⊥BF,又由于AB⊥平面AA1D1D,A1E?平面AA1D1D,所以AB⊥A1E,AB∩BF=B,所以A1E⊥平面ABF.【小結】棱柱中具有很多平行和垂直關系,在分析的時候要考慮利用它們的性質進行規律推導.正方體是特殊的棱柱,棱、對角線都具有很多特殊的性質,是歷屆高考的熱門模型.探究二:【解析】(1)取PC的中點為F,連接EF,BF,則EF12CD,AB12CD,所以EF所以四邊形AEFB是平行四邊形,所以AE∥BF且BF?平面PBC,所以AE∥平面PBC.(2)由于BC=PB,F是PC的中點,所以BF⊥PC且AE∥BF,所以AE⊥PC,側面PAD⊥底面ABCD且AD⊥CD,所以CD⊥平面PAD且AE?平面PAD,所以AE⊥CD且CD∩PC=C,所以AE⊥平面PCD.【小結】棱錐由于各個側面都是三角形,所以將三角形的性質與平行問題和垂直問題結合也是考試熱點問題,圖形簡潔,內容豐富.探究三:【解析】(1)設AC與BD交于點G.由于EF∥AG,且EF=1,AG=12AC=1所以四邊形AGEF為平行四邊形,所以AF∥EG.由于EG?平面BDE,AF?平面BDE,所以AF∥平面BDE.(2)連接FG.由于EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以四邊形CEFG為菱形,所以CF⊥EG.由于四邊形ABCD為正方形,所以BD⊥AC,又由于平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF,所以CF⊥BD,又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.【小結】從一般幾何體的圖形入手,常接受切割法或者是補形法轉化為柱體或椎體中的平行和垂直問題.思維拓展應用應用一:(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC.∵AD?平面ABC,∴CC1⊥AD.∵AD⊥C1D,C1D?平面BCC1B1,CC1∩C1D=C1,∴AD⊥面BCC1B1.(2)連接ED.∵AD⊥平面BCC1B1,BC?平面BCC1B1,∴AD⊥BC.∵AB=AC,∴D是BC的中點.∵E是B1C1的中點,B1C1∥BC,B1C1=BC,∴B1E=BD,B1E∥BD.∴四邊形BDEB1為平行四邊形,∴B1B=ED,B1B∥ED.∵B1B=A1A,B1B∥A1A,∴ED∥A1A,ED=A1A.∴四邊形ADEA1為平行四邊形,∴A1E∥AD.∵A1E?平面ADC1,AD?平面ADC1,∴A1E∥平面ADC1.應用二:(1)∵AD⊥平面ABE,AD∥BC,∴BC⊥平面ABE,則AE⊥BC.又∵BF⊥平面ACE,則AE⊥BF,∴AE⊥平面BCE.(2)設AC∩BD=G,可知G是AC中點.∵BF⊥平面ACE,則CE⊥BF.而BC=BE,∴F是EC中點.連接GF,在△AEC中,FG∥AE,又∵AE?平面BFD,FG?平面BFD,∴AE∥平面BFD.應用三:(1)由于AB是直徑,所以AE⊥BE,又AC⊥底面ABE,所以AC⊥BE且AF∩AE=A,所以BE⊥平面ACE,AF?平面ACE,所以AF⊥BE,又AF⊥CE,CE∩BE=E,所以AF⊥平面BCE.(2)由(1)知AF⊥平面BCE,BC?平面BCE,所以AF⊥BC,若BC⊥DF,則明顯有BC⊥平面ADF,于是BC⊥AD且軸截面ABCD是一個矩形,所以四邊形ABCD是正方形,即AC=AB=4,所以V圓柱=π×22×4=16π.基礎智能檢測1.C對于A,由l∥m,l⊥α,則m⊥α,與已知沖突;對于B,由l⊥m,l⊥α,可知m∥α或m?α,與已知沖突;對于D,由l∥m,l∥α可知m∥α或m?α,與已知沖突.由此排解A,B,D,故選C.2.DA中,∵CD∥AF,AF?面PAF,CD?面PAF,∴CD∥平面PAF成立;B中,∵ABCDEF為正六邊形,∴DF⊥AF.又∵PA⊥面ABCDEF,∴DF⊥平面PAF成立;C中,CF∥AB,AB?平面PAB,CF?平面PAB,∴CF∥平面PAB;而D中CF與AD不垂直,故選D.3.②③對于①,α與β可能平行、相交或垂直,故①錯;②③正確.4.解:(1)由于N為PC的中點,所以ON∥PA.而PA⊥平面ABCD,所以ON⊥平面ABCD,所以ON⊥AB.又四邊形ABCD為矩形,M為AB的中點,所以OM⊥AB,所以AB⊥平面OMN,所以AB⊥MN.(2)由于PA⊥平面ABCD,AD⊥DC,所以PD⊥DC.由于PA=AD=BC,連接MC,由Rt△BCM≌Rt△APM知,MC=MP,所以MN⊥PC.由于AB⊥MN,所以MN⊥CD,又PC∩CD=C,所以MN⊥平面PCD,所以平面MNO⊥平面