11高中學業水平考試《數學》模擬試卷(十一)一、選擇題(本大題共25小題，第1～15題每小題2分，第16～25題每小題3分，共60分．每小題中只有一個選項是符合題意的，不選、多選、錯選均不得分)1.設全集U＝{1，2，3，4，5}，已知A＝{1，2，3},B＝{2，5}，則A∩(?UB)等于()A.{2}B.{2，3}C.{3}D.{1，3}2.下列函數中，周期為π的奇函數是()A.y＝sinxB.y＝sin2xC.y＝tan2xD.y＝cos2x3.若一條直線的傾斜角的正弦值為eq\f(\r(3),2)，則此直線的斜率為()A.eq\r(3)B.±eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3)D.±eq\f(\r(3),3)4.下列命題正確的是()A.ac＞bc?a＞bB.a2＞b2?a＞bC.eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)?a＜bD.eq\r(a)＜eq\r(b)?a＜b5.函數y＝logeq\f(1,3)(1－3x)的定義域是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，0))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))6.已知拋物線y2＝2px的焦點坐標為(2，0)，則p的值等于()A.2B.1C.4D.8(第7題)7.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.18.圓x2＋y2－6y－16＝0的半徑等于()A.16B.5C.4D.259.若數列{an}為等差數列，且a2＋a5＋a8＝39，則a1＋a2＋…＋a9的值為()A.117B.114C.111D.10810.下列函數中，在區間(0，＋∞)上為減函數的是()A.y＝－eq\f(4,x)B.y＝4xC.y＝logeq\f(1,3)xD.y＝x2－2x＋311.若eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤2，,y≤2，,x＋y≥2，))則目標函數z＝x＋2y的取值范圍是()A.[2，6]B.[2，5]C.[3，6]D.[3，5]12.已知兩條直線m，n與兩個平面α，β，下列命題正確的是()A.若m∥α，n∥α，則m∥nB.若m∥α，m∥β，則α∥βC.若m⊥α，m⊥β，則α∥βD.若m⊥n，m⊥β，則n∥β13.在△ABC中，∠B＝135°，∠C＝15°，a＝5，則此三角形的最大邊長為()A.5eq\r(,3)B.4eq\r(,3)C.5eq\r(,2)D.4eq\r(,2)14.已知過點P(2，2)的直線與圓(x－1)2＋y2＝5相切，且與直線ax－y＋1＝0垂直，則a的值為()A.－eq\f(1,2)B.1C.2D.eq\f(1,2)15.已知數列{an}的前n項和Sn＝eq\f(n＋1,n＋2)，則a3＝()A.eq\f(1,20)B.eq\f(1,24)C.eq\f(1,28)D.eq\f(1,32)16.已知向量a＝(1，2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，則實數x等于()A.－4B.4C.0D.917.點P(a，b，c)到坐標平面xOz的距離是()A.eq\r(a2＋b2)B.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))C.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))D.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(c))18.方程lgx＝8－2x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，則k＝()A.2B.3C.4D.519.已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1，0)，離心率等于eq\f(1,2)，則橢圓C的方程是()A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,\r(3))＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(第20題)20.如圖，E，F分別是三棱錐P－ABC的棱AP，BC的中點，PC＝10，AB＝6，EF＝7，則異面直線AB與PC所成角的大小為()A.60°B.45°C.0°D.120°21.“m＝eq\f(1,2)”是“直線(m＋2)x＋3my＋1＝0與直線(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0垂直”()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件22.已知點M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關系是()A.相切B.相交C.相離D.不確定23.把函數y＝cos(x＋eq\f(4π,3))的圖象向右平移θ(θ>0)個單位，所得的圖象關于y軸對稱，則θ的最小值為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(4π,3)24.已知橢圓eq\f(x2,3m2)＋eq\f(y2,5n2)＝1和雙曲線eq\f(x2,2m2)－eq\f(y2,3n2)＝1有公共的焦點，那么雙曲線的漸近線方程是()A.x＝±eq\f(\r(15),2)yB.y＝±eq\f(\r(15),2)xC.x＝±eq\f(\r(3),4)yD.y＝±eq\f(\r(3),4)x25.不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－x2＋4x)>22ax＋a對一切實數x都成立，則實數a的取值范圍是()A.(1，4)B.(－4，－1)C.(－∞，－4)∪(－1，＋∞)D.(－∞，1)∪(4，＋∞)二、填空題(本大題共5小題，每小題2分，共10分)26.sin23°cos37°＋cos23°cos53°＝________．27.命題“全部實數的平方都是正數”的否命題為______________________________．28.設f(x)是R上的奇函數，且當x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞))時，f(x)＝x2－2x，則f(－2)＝________．29.已知拋物線y2＝8x的準線過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一個焦點，且雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的方程為______________．30.已知圓O：x2＋y2＝5，直線l：xcosθ＋ysinθ＝1(0<θ<eq\f(π,2))．設圓O上到直線l的距離等于1的點的個數為k，則k＝________．三、解答題(本大題共4小題，第31，32題每題7分，第33，34題每題8分，共30分)31.(本題7分)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，coseq\f(A＋C,2)＝eq\f(\r(3),3).(1)求cosB的值；(2)若eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2，b＝2eq\r(,2)，求和c的值．32.(本題7分，有A、B兩題，任選其中一題完成，兩題都做，以A題計分)(A)如圖，在底面是菱形的四棱錐P－ABCD，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝eq\r(2)a，點E是PD的中點．求證：(1)PA⊥平面ABCD；(2)PB∥平面EAC.,[第32題(A)]),[第32題(B)])(B)已知正方形的邊長為2，AC與BD交于點O.將正方形ABCD沿對角線折起，使AC＝a，得到三棱錐A－BCD，如圖所示.(1)當a＝2時，求證：AO⊥平面BCD；(2)當二面角A－BD－C的大小為120°時，求二面角A－BC－D的正切值．33.(本題8分)已知數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，且3an＋1＋2Sn＝3(n∈N*)．(1)求數列{an}的通項公式；(2)記S＝eq\f(3,2)，若對任意正整數n，kS≤Sn恒成立，求實數k的最大值．34.(本題8分)已知橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(3),3)，圓O以原點為圓心，半徑等于橢圓C1的短半軸長，且直線l：y＝x＋2與圓O相切．(1)求橢圓C1的方程；(2)設橢圓C1的左焦點為F1，右焦點為F2，直線l1過點F1且垂直于橢圓的長軸，動直線l2垂直于l1，垂足為點P，線段PF2的垂直平分線交l2于點M，求點M的軌跡C2的方程；(3)若AC，BD是經過橢圓C1右焦點F2的兩條相互垂直的弦，求四邊形ABCD面積的最小值．

112022高中學業水平考試《數學》模擬試卷(十一)1.D2.B3.B4.D5.D6.C7.B8.B9.A10.C11.A12.C13.C14.C15.A16.D17.C18.B19.D20.A21.A22.B23.B24.D[提示：由雙曲線eq\f(x2,2m2)－eq\f(y2,3n2)＝1可知焦點在x軸上，且c2＝2m2＋3n2.又∵橢圓eq\f(x2,3m2)＋eq\f(y2,5n2)＝1和雙曲線具有相同的焦點，∴c2＝3m2－5n2，∴2m2＋3n2＝3m2－5n2，化簡得m2＝8n2，而漸近線的斜率k＝±eq\f(\r(3)n,\r(2)m)＝±eq\f(\r(3),4)，故選D.]25.B[提示：不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－x2＋4x)>22ax＋a對一切實數x都成立等價于2x2－4x>22ax＋a，∴x2－4x>2ax＋a，即x2－(4＋2a)x－a>0，∴Δ＝(2a＋4)2＋4a≤0，解得－1<a<4.]26.eq\f(\r(3),2)27.存在一個實數的平方不是正數28.029.x2－eq\f(y2,3)＝1[提示：由拋物線y2＝8x可知c＝2.又∵e＝2，∴a＝1，則b2＝3，故雙曲線的方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.]30.4[提示：由圓心到直線的距離d＝eq\f(1,\r(sin2θ＋cos2θ))＝1<r＝eq\r(5)，可知滿足條件的點有4個．]31.解：(1)∵coseq\f(A＋C,2)＝eq\f(\r(3),3)，∴sineq\f(B,2)＝sin(eq\f(π,2)－eq\f(A＋C,2))＝eq\f(\r(3),3)，cosB＝1－2sin2eq\f(B,2)＝eq\f(1,3).(2)由eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2可得a·c·cosB＝2.又∵cosB＝eq\f(1,3)，∴ac＝6.由b2＝a2＋c2－2accosB可得a2＋c2＝12，∴(a－c)2＝0，∴a＝c，∴a＝c＝eq\r(6).32.(A)證明：(1)∵底面ABCD為菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝a.∵PA＝AC，∴PA＝AB＝a，PB＝eq\r(2)a，∴PA⊥AB，同理可證PA⊥AD.又∵AB∩AD＝A，∴PA⊥平面ABCD.(2)連接AC，BD相交于O，則O為BD的中點．∵E為PD的中點，∴PB∥OE.又∵OE?平面EAC，PB?平面EAC，∴PB∥平面EAC.(第32題)(B)(1)證明：依據題意，在△AOC中，AC＝a＝2，AO＝CO＝eq\r(2)，∴AC2＝AO2＋CO2，∴AO⊥CO.又∵AO⊥BD，BD∩CO＝O，所以AO⊥平面BCD.(2)由(1)知，CO⊥OD，以O為原點，OC，OD所在的直線分別為x軸，y軸建立如圖的空間直角坐標系Oxyz，則有Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，0，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\r(2)，0)).設Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，0，z0))，則eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，0，z0))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(2)，0)).平面ABD的法向量為n＝(z0，0，－x0)．平面BCD的法向量為m＝(0，0，1)，且二面角A－BD－C的大小為120°，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos〈m，n〉))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos120°))＝eq\f(1,2)，得z02＝3x02.∵OA＝eq\r(2)，∴eq\r(x02＋z02)＝eq\r(2).解得x0＝－eq\f(\r(2),2)，z0＝eq\f(\r(6),2).∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0，\f(\r(6),2))).平面的法向量為l＝(1，－1，eq\r(3))．設二面角的平面角為θ，∴cosθ＝|cos〈l，m〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),\r(1＋1＋（\r(3)）2))))＝eq\f(\r(15),5).∴tanθ＝eq\f(\r(6),3).∴二面角的正切值為eq\f(\r(6),3).33.解：(1)∵3an＋1＋2Sn＝3(n∈N*)，①當n≥2時，3an＋2Sn－1＝3(n∈N*)．②①－②化簡得eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1,3)(n≥2)，又∵a1＝1，3a2＋2a1＝3，解得a2＝eq\f(1,3)，∴數列{an}是首項為1，公比為eq\f(1,3)的等比數列，故an＝(eq\f(1,3))n－1.(2)由(1)知Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(1－（\f(1,3)）n,1－\f(1,3))＝eq\f(3,2)[1－(eq\f(1,3))n]．又∵對任意n∈N*恒有eq\f(3,2)k≤eq\f(3,2)[1－(eq\f(1,3))n]，得k≤1－(eq\f(1,3))n.∵數列{1－(eq\f(1,3))n}單調遞增，∴a1＝eq\f(2,3)為數列中的最小項，∴必有k≤eq\f(2,3)，即實數k的最大值為eq\f(2,3).34.解：(1)由于e＝eq\f(\r(3),3)，所以eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,3)，得2a2＝3b2.又直線l：y＝x＋2與圓x2＋y2＝b2相切，則eq\f(2,\r(2))＝b，得b＝eq\r(2)，所以a2＝3.因此所求橢圓C1的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)由題意得eq\b\lc\|\rc\|(