第6講立體幾何中的向量方法（一）——證明平行與垂直基礎鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、填空題1．若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，給出下列向量：①a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)；②a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)；③a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)；④a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)．則能使l∥α的是________(填序號)．解析若l∥α，則a·n＝0，④中，a·n＝1×0＋(－1)×3＋3×1＝0，∴a⊥n.答案④2．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))＋μeq\o(CE,\s\up6(→))，則直線AB與平面CDE的位置關系是________．解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))＋μeq\o(CE,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))共面．則AB與平面CDE的位置關系是平行或在平面內．答案平行或在平面內3．已知平面α內有一點M(1，－1,2)，平面α的一個法向量為n＝(6，－3,6)，給出下列四點：①P(2,3,3)；②P(－2,0,1)；③P(－4,4,0)；④P(3，－3,4)．則上述點P中，在平面α內的是________(填序號)．解析逐一驗證法，對于①，eq\o(MP,\s\up6(→))＝(1,4,1)，∴eq\o(MP,\s\up6(→))·n＝6－12＋6＝0，∴eq\o(MP,\s\up6(→))⊥n，∴點P在平面α內，同理可驗證其他三個點不在平面α內．答案①4．已知平面α和平面β的法向量分別為a＝(1,1,2)，b＝(x，－2，3)，且α⊥β，則x＝________.解析∵a·b＝x－2＋6＝0，∴x＝－4.答案－45．設點C(2a＋1，a＋1,2)在點P(2,0,0)，A(1，－3,2)，B(8，－1,4)確定的平面上，則a解析eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－1，－3,2)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(6，－1,4)．依據共面對量定理，設eq\o(PC,\s\up6(→))＝xeq\o(PA,\s\up6(→))＋yeq\o(PB,\s\up6(→))(x，y∈R)，則(2a－1，a＋1,2)＝x(－1，－3,2)＋y(6，－1,4)＝(－x＋6y，－3x－y,2x＋4y)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1＝－x＋6y，,a＋1＝－3x－y，,2＝2x＋4y，))解得x＝－7，y＝4，a＝16.答案166．如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面相互垂直，AB＝eq\r(2)，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.則M點的坐標為________．解析設AC與BD相交于O點，連接OE，由AM∥平面BDE，且AM?平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO，又O是正方形ABCD對角線交點，∴M為線段EF的中點．在空間坐標系中，E(0,0,1)，F(xiàn)(eq\r(2)，eq\r(2)，1)．由中點坐標公式，知點M的坐標eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1)).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1))7.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝eq\r(3)，AD＝2eq\r(2)，P為C1D1的中點，M為BC的中點．則AM與PM的位置關系為________．解析以D點為原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系D－xyz，依題意，可得，D(0,0,0)，P(0,1，eq\r(3))，C(0,2,0)，A(2eq\r(2)，0,0)，M(eq\r(2)，2,0)．∴eq\o(PM,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，2,0)－(0,1，eq\r(3))＝(eq\r(2)，1，－eq\r(3))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，2,0)－(2eq\r(2)，0,0)＝(－eq\r(2)，2,0)，∴eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(AM,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，1，－eq\r(3))·(－eq\r(2)，2,0)＝0，即eq\o(PM,\s\up6(→))⊥eq\o(AM,\s\up6(→))，∴AM⊥PM.答案垂直8．我們把平面內與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標系中利用動點軌跡的方法，可以求出過點A(2,1)且法向量n＝(－1,2)的直線(點法式)方程為－(x－2)＋2(y－1)＝0，化簡得x－2y＝0.類比以上求法，在空間直角坐標系中，經過點A(3，－1,3)且法向量為n＝(1，－2,1)的平面(點法式)方程為__________(請寫出化簡后的結果)．解析設P(x，y，z)為平面上任一點，則n·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0，∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－3，y＋1，z－3)，∴x－3－2(y＋1)＋z－3＝0，化簡即x－2y＋z－8＝0，即為平面的方程．答案x－2y＋z－8＝0二、解答題9．(2021·北京房山區(qū)一模)如圖，四棱錐P－ABCD的底面為正方形，側棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，H分別是線段PA，PD，AB的中點．(1)求證：PB∥平面EFH；(2)求證：PD⊥平面AHF.證明建立如圖所示的空間直角坐標系A－xyz.∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(xiàn)(0,1,1)，H(1,0,0)．(1)∵eq\o(PB,\s\up6(→))＝(2,0，－2)，eq\o(EH,\s\up6(→))＝(1,0，－1)，∴eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(EH,\s\up6(→))，∴PB∥EH.∵PB?平面EFH，且EH?平面EFH，∴PB∥平面EFH.(2)eq\o(PD,\s\up6(→))＝(0,2，－2)，eq\o(AH,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(0,1,1)，∴eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(AH,\s\up6(→))＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0，∴PD⊥AF，PD⊥AH，又∵AF∩AH＝A，∴PD⊥平面AHF.10．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點，在棱C1D1上是否存在一點F，使B1F∥平面A1解在棱C1D1上存在點F(為C1D1中點)，使B1F∥平面A1BE.證明如下：設正方體的棱長為1.如圖所示，以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA,\s\up6(→))1為單位正交基底建立空間直角坐標系．依題意，得B(1,0,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，A1(0,0,1)，eq\o(BA,\s\up6(→))1＝(－1,0,1)，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1，\f(1,2))).設n＝(x，y，z)是平面A1BE的一個法向量，則由n·eq\o(BA,\s\up6(→))1＝0，n·eq\o(BE,\s\up6(→))＝0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋z＝0，,－x＋y＋\f(1,2)z＝0.))所以x＝z，y＝eq\f(1,2)z.取z＝2，得n＝(2,1,2)．設F是棱C1D1上的點，則F(t,1,1)(0≤t≤1)．又B1(1,0,1)，所以eq\o(B1F,\s\up6(→))＝(t－1,1,0)．而B1F?平面A1BE，于是B1F∥平面A1BE?eq\o(B1F,\s\up6(→))·n＝0?(t－1,1,0)·(2,1,2)＝0?2(t－1)＋1＝0?t＝eq\f(1,2)?F為C1D1的中點．這說明在棱C1D1上存在點F(C1D1的中點)，使B1F∥平面A1BE.力量提升題組(建議用時：25分鐘)已知點P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點，假如eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(4,2,0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)．對于結論：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量；④eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(BD,\s\up6(→)).其中正確結論的序號為________．解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0，∴AB⊥AP，AD⊥AP，則①②正確．又eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AD,\s\up6(→))不平行，∴eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量，則③正確．由于eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,3,4)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))與eq\o(AP,\s\up6(→))不平行，故④錯誤．答案①②③2．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點，A1M＝AN＝eq\f(\r(2)a,3)，則MN與平面BB1C1解析分別以C1B1、C1D1，C1C所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖，∵A1M＝AN＝eq\f(\r(2),3)a，∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(2,3)a，\f(a,3)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a，\f(2,3)a，a))，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)，0，\f(2,3)a)).又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，∴eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝(0，a,0)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(MN,\s\up6(→))⊥eq\o(C1D1,\s\up6(→)).∵eq\o(C1D1,\s\up6(→))是平面BB1C1C的法向量，且MN?平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.答案平行3.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱BC，DD1上的點，假如B1E⊥平面ABF，則CE與DF的和的值為________．解析以D1A1，D1C1，D1D分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設CE＝x，DF＝y(tǒng)，則易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，F(xiàn)(0,0,1－y)，B(1,1,1)，∴eq\o(B1E,\s\up6(→))＝(x－1,0,1)，∴eq\o(FB,\s\up6(→))＝(1,1，y)，由于B1E⊥平面ABF，所以eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(B1E,\s\up6(→))＝(1,1，y)·(x－1，0,1)＝0?x＋y＝1.答案14．如圖所示，四棱錐S－ABCD的底面是正方形，每條側棱的長都是底面邊長的eq\r(2)倍，P為側棱SD上的點．(1)求證：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，則側棱SC上是否存在一點E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若不存在，試說明理由．(1)證明連接BD，設AC交BD于O，則AC⊥BD.由題意知SO⊥平面ABCD.以O為坐標原點，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OS,\s\up6(→))分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標系如圖．設底面邊長為a，則高SO＝eq\f(\r(6),2)a，于是Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(\r(6),2)a))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)a，0，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，0，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)a，0))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)a，0))，eq\o(SD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)a，0，－\f(\r(6),2)a))，則eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(SD,\s\up6(→))＝0.故OC⊥SD.從而AC⊥SD.(2)解棱SC上存在一點E使B