開卷速查(十四)導數的應用(一)A級基礎鞏固練1．函數f(x)＝x2－2ax＋a在區間(－∞，1)上有最小值，則函數g(x)＝eq\f(fx,x)在區間(1，＋∞)上確定()A．有最小值 B．有最大值C．是減函數D.是增函數解析：由函數f(x)＝x2－2ax＋a在區間(－∞，1)上有最小值，可得a＜1，又g(x)＝eq\f(fx,x)＝x＋eq\f(a,x)－2a，則g′(x)＝1－eq\f(a,x2)，易知在x∈(1，＋∞)上g′(x)＞0，所以g(x)在(1，＋∞)上為增函數．答案：D2．函數f(x)＝x3－3x2＋2在區間[－1,1]上的最大值是()A．－2 B.0C．2 D.4解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或2.∴f(x)在[－1,0)上是增函數，f(x)在(0,1]上是減函數．∴f(x)max＝f(0)＝2.答案：C3．若函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d有極值，則導函數f′(x)的圖像不行能是()ABCD解析：若函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d有極值，則此函數在某點兩側的單調性相反，也就是說導函數f′(x)在此點兩側的導函數值的符號相反，所以導函數的圖像要穿過x軸，觀看四個選項中的圖像只有D項是不符合要求的，即f′(x)的圖像不行能是D，故選D.答案：D4．已知函數y＝x3－3x＋c的圖像與x軸恰有兩個公共點，則c＝()A．－2或2B.－9或3C．－1或1D.－3或1解析：設f(x)＝x3－3x＋c，對f(x)求導可得，f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，可得x＝±1，易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上單調遞增，在(－1,1)上單調遞減．若f(1)＝1－3＋c＝0，可得c＝2；若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2.答案：A5．函數f(x)＝x3－3x－1，若對于區間[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，則實數t的最小值是()A．20 B.18C．3 D.0解析：由于f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，所以－1,1為函數的極值點．又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在區間[－3,2]上f(x)max＝1，f(x)min＝－19.又由題設知在區間[－3,2]上f(x)max－f(x)min≤t，從而t≥20，所以t的最小值是20.答案：A6．已知定義在R上的奇函數f(x)，設其導函數為f′(x)，當x∈(－∞，0]時，恒有xf′(x)<f(－x)，令F(x)＝xf(x)，則滿足F(3)>F(2x－1)的實數x的取值范圍是()A．(－1,2) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) D.(－2,1)解析：由F(x)＝xf(x)，得F′(x)＝f(x)＋xf′(x)＝xf′(x)－f(－x)<0，所以F(x)在(－∞，0]上單調遞減，又可證F(x)為偶函數，從而F(x)在[0，＋∞)上單調遞增，故原不等式可化為－3<2x－1<3，解得－1<x<2.答案：A7．若函數f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(3,2)x2＋ax＋4恰在[－1,4]上單調遞減，則實數a的值為__________．解析：∵f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(3,2)x2＋ax＋4，∴f′(x)＝x2－3x＋a.又函數f(x)恰在[－1,4]上單調遞減，∴－1,4是f′(x)＝0的兩根，∴a＝－1×4＝－4.答案：－48．已知函數f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1時有極值0，則m＋n＝__________.解析：∵f′(x)＝3x2＋6mx＋n，∴由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＝－13＋3m－12＋n－1＋m2＝0，,f′－1＝3×－12＋6m－1＋n＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝3，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝9，))當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝3))時，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0恒成立與x＝－1是極值點沖突，當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝9))時，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)，明顯x＝－1是極值點，符合題意，∴m＋n＝11.答案：119．右圖是函數y＝f(x)的導函數的圖像，給出下面四個推斷．①f(x)在區間[－2，－1]上是增函數；②x＝－1是f(x)的微小值點；③f(x)在區間[－1,2]上是增函數，在區間[2,4]上是減函數；④x＝3是f(x)的微小值點．其中，全部正確推斷的序號是__________．解析：由函數y＝f(x)的導函數的圖像可知：(1)f(x)在區間[－2，－1]上是減函數，在[－1,2]上為增函數，在[2,4]上為減函數；(2)f(x)在x＝－1處取得微小值，在x＝2處取得極大值．故②③正確．答案：②③10．已知函數f(x)＝ax2＋blnx在x＝1處有極值eq\f(1,2).(1)求a，b的值；(2)推斷函數y＝f(x)的單調性并求出單調區間．解析：(1)f′(x)＝2ax＋eq\f(b,x)，又f(x)在x＝1處有極值eq\f(1,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝\f(1,2)，,f′1＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,2a＋b＝0.))解得a＝eq\f(1,2)，b＝－1.(2)由(1)可知f(x)＝eq\f(1,2)x2－lnx，其定義域是(0，＋∞)，且f′(x)＝x－eq\f(1,x)＝eq\f(x＋1x－1,x).令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－1(舍去)．當x變化時，f′(x)，f(x)的變化狀況如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)微小值所以函數y＝f(x)的單調減區間是(0,1)，單調增區間是(1，＋∞)．B級力氣提升練11．[2022·安徽]設函數f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.(1)爭辯f(x)在其定義域上的單調性；(2)當x∈[0,1]時，求f(x)取得最大值和最小值時的x的值．解析：(1)f(x)的定義域為(－∞，＋∞)，f′(x)＝1＋a－2x－3x2.令f′(x)＝0，得x1＝eq\f(－1－\r(4＋3a),3)，x2＝eq\f(－1＋\r(4＋3a),3)，x1＜x2.所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2)．當x＜x1或x＞x2時，f′(x)＜0；當x1＜x＜x2時，f′(x)＞0.故f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)內單調遞減，在(x1，x2)內單調遞增．(2)由于a＞0，所以x1＜0，x2＞0.①當a≥4時，x2≥1.由(1)知，f(x)在[0,1]上單調遞增．所以f(x)在x＝0和x＝1處分別取得最小值和最大值．②當0＜a＜4時，x2＜1.由(1)知，f(x)在[0，x2]上單調遞增，在[x2,1]上單調遞減．所以f(x)在x＝x2＝eq\f(－1＋\r(4＋3a),3)處取得最大值．又f(0)＝1，f(1)＝a，所以當0＜a＜1時，f(x)在x＝1處取得最小值；當a＝1時，f(x)在x＝0處和x＝1處同時取得最小值；當1＜a＜4時，f(x)在x＝0處取得最小值．12．[2022·山東]設函數f(x)＝eq\f(ex,x2)－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋lnx))(k為常數，e＝2.71828…是自然對數的底數)．(1)當k≤0時，求函數f(x)的單調區間；(2)若函數f(x)在(0,2)內存在兩個極值點，求k的取值范圍．解析：(1)函數y＝f(x)的定義域為(0，＋∞)．f′(x)＝eq\f(x2ex－2xex,x4)－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x2)＋\f(1,x)))＝eq\f(xex－2ex,x3)－eq\f(kx－2,x2)＝eq\f(x－2ex－kx,x3).由k≤0可得ex－kx>0，所以當x∈(0,2)時，f′(x)<0，函數y＝f(x)單調遞減，x∈(2，＋∞)時，f′(x)>0，函數y＝f(x)單調遞增．所以f(x)的單調遞減區間為(0,2)，單調遞增區間為(2，＋∞)．(2)由(1)知，k≤0時，函數f(x)在(0,2)內單調遞減，故f(x)在(0,2)內不存在極值點；當k>0時，設函數g(x)＝ex－kx，k∈(0，＋∞)．由于g′(x)＝ex－k＝ex－elnk，當0<k≤1時，當x∈(0,2)時，g′(x)＝ex－k>0，y＝g(x)單調遞增．故f(x)在(0,2)內不存在兩個極值點；當k>1時，得x∈(0，lnk)時，g′(k)<0，函數y＝g(x)單調遞減．x∈(lnk，＋∞)時，g′(x)>0，函數y＝g(x)單調遞增．所