高級中學名校試卷PAGEPAGE1海南省2025屆高三上學期學業水平診斷數學試題（一）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意得：集合，所以.故選：B.2.若復數滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，所以.故選：D3.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C.4.中國歷代書畫家喜歡在紙扇的扇面上題字繪畫，某扇面為如圖所示的扇環，記的長為，的長為，若，則扇環的圓心角的弧度數為（）A.3 B.2 C. D.【答案】A【解析】如圖，設扇環所在圓的圓心為，圓心角為，則，所以，得，又，所以.故選：A5.已知且，若函數與在上的單調性相同，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知在上只能是單調遞增，所以在上單調遞增，所以得.又單調遞增，所以.綜上得.故選：C6.如圖是函數的大致圖象，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由圖可知，是的極小值點，由已知得，令，得，得，經驗證符合題意，所以，由，，可得，解得.故選：D7.若函數在區間上存在零點，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】若，則當時，，則恒成立，不符合題意.若，函數和函數都是偶函數，且都在上單調遞減，在上單調遞增，所以為偶函數，且在上單調遞減，在上單調遞增，要使在上存在零點，只需，即，所以.故選：.8.若函數的圖象關于點對稱，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為的圖象關于點對稱，所以函數為奇函數，則，即，且為奇函數，所以，得，所以，故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.自然常數是數學中非常重要的一個常數，17世紀人們在研究經濟學中的復利問題時發現了這個數，后來眾多數學家對自然常數進行了深入的研究，其字母表示來自數學家歐拉的名字.已知函數，則下列命題為真命題的是（）A.，B.，C.，，D.，，【答案】ABD【解析】對于A，，故A正確；對于B，當時，，故B正確；對于C,D，，，，要使選項中所述等式成立，需，當，時，該式不一定成立，當，時，該式成立，故C錯誤，D正確.故選:ABD.10.已知，，若，，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】因為，所以，所以，又因為，，所以，即，所以，所以，所以，，且.故B，C正確，A，D錯誤.故選：BC11.已知，若函數的圖象在點1,f1處的切線與軸平行，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】，由題意知.對于A，因為，，所以，所以，故A正確；對于B，同理，所以，故B錯誤；對于C，若，，，則，故C錯誤；對于D，由，得，由，得，所以，故D正確.故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知實數，滿足，則的最小值為________.【答案】【解析】因為，所以，當且僅當時取等號，即的最小值為.13.已知函數的導函數為，若，為的導函數，則__________.【答案】【解析】，所以.14.記函數在區間上的最大值為，最小值為，則_________.【答案】【解析】設，則，當，時，（不恒為零），所以是減函數，所以設，則，當時，，單調遞增，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數的部分圖象如圖所示，點，（1）求的解析式；（2）將的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長為原來的2倍，再將所得圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，求在區間上的最值.解：（1）由圖象知.因為的圖象過點，所以，又，所以，所以.又的圖象過點，由“五點作圖法”可得，所以.所以.（2）由題意知，當時，，所以，則，所以在區間上的最小值為，最大值為1.16.已知函數.（1）求的圖象在點處的切線與坐標軸圍成的封閉圖形的面積；（2）設函數，若在定義域內單調遞減，求實數的取值范圍.解：（1）由題意得，則.又因為，所以的圖象在點處的切線為，與兩個坐標軸的交點分別為和，所求的封閉圖形的面積為.（2）的定義域為0,+∞，因為在定義域內單調遞減，所以，即，所以.設，則.當時，h'x>0，hx單調遞增，當時，h'所以，所以的取值范圍是.17.甲、乙兩位跑步愛好者堅持每天晨跑，上周的7天中，他們各有5天晨跑路程超過.（1）從上周任選3天，設這3天中甲晨跑路程超過的天數為，求的分布列和數學期望.（2）用上周7天甲、乙晨跑路程的頻率分布估計他們各自每天晨跑路程的概率分布，且他們每天晨跑的路程互不影響.設“下個月的某3天中，甲晨跑路程超過的天數比乙晨跑路程超過的天數恰好多2”為事件，求.參考數據：.解：(1)由題意知的所有可能取值為1，2，3，且，.所以的分布列為123.（2）設下個月的某3天中，甲晨跑路程超過的天數為，乙晨跑路程超過的天數為，則，均服從二項分布則.18.已知直線與拋物線交于，兩點（為坐標原點），且，動直線過點.（1）求的方程；（2）求點關于的對稱點的軌跡方程；（3）若與交于，兩點（均異于點），直線，分別與直線交于點，，證明：.解：（1）由題意，可設點，.由，得，解得，所以，將其坐標代入拋物線的方程得，解得，所以的方程為.（2）因為點，關于對稱，過點，所以.當繞點旋轉時，線段也繞點旋轉，所以點的軌跡是以為圓心，4為半徑的圓，故點的軌跡方程為.（3）設，，，，直線的方程為.由題可知直線不過點，則.聯立得消去，整理得，恒成立，則，，直線的方程為，即.令，得，則，同理可得，所以，因此.19.記數列的前項和為，已知.（1）證明：為等比數列；（2）任意給定，求滿足的數對的個數；（3）若，證明：當時，.解：（1）當時，，得.當時，，兩式相減得，得，整理可得，所以是首項為，公比為2的等比數列.（2）由(1)可知.所以，等價于.若，則，不符合題意；若，則，也不符合題意；若，因為，所以，所以當時，，，，，均滿足題意.綜上，符合題意的有個.（3）.設，則，當時，，單調遞減，當時，單調遞增，故當時，，即，得，所以，同理，，即，得.綜上，.所以，，，，，以上個式子相加得：，即，即.海南省2025屆高三上學期學業水平診斷數學試題（一）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意得：集合，所以.故選：B.2.若復數滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，所以.故選：D3.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C.4.中國歷代書畫家喜歡在紙扇的扇面上題字繪畫，某扇面為如圖所示的扇環，記的長為，的長為，若，則扇環的圓心角的弧度數為（）A.3 B.2 C. D.【答案】A【解析】如圖，設扇環所在圓的圓心為，圓心角為，則，所以，得，又，所以.故選：A5.已知且，若函數與在上的單調性相同，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知在上只能是單調遞增，所以在上單調遞增，所以得.又單調遞增，所以.綜上得.故選：C6.如圖是函數的大致圖象，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由圖可知，是的極小值點，由已知得，令，得，得，經驗證符合題意，所以，由，，可得，解得.故選：D7.若函數在區間上存在零點，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】若，則當時，，則恒成立，不符合題意.若，函數和函數都是偶函數，且都在上單調遞減，在上單調遞增，所以為偶函數，且在上單調遞減，在上單調遞增，要使在上存在零點，只需，即，所以.故選：.8.若函數的圖象關于點對稱，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為的圖象關于點對稱，所以函數為奇函數，則，即，且為奇函數，所以，得，所以，故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.自然常數是數學中非常重要的一個常數，17世紀人們在研究經濟學中的復利問題時發現了這個數，后來眾多數學家對自然常數進行了深入的研究，其字母表示來自數學家歐拉的名字.已知函數，則下列命題為真命題的是（）A.，B.，C.，，D.，，【答案】ABD【解析】對于A，，故A正確；對于B，當時，，故B正確；對于C,D，，，，要使選項中所述等式成立，需，當，時，該式不一定成立，當，時，該式成立，故C錯誤，D正確.故選:ABD.10.已知，，若，，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】因為，所以，所以，又因為，，所以，即，所以，所以，所以，，且.故B，C正確，A，D錯誤.故選：BC11.已知，若函數的圖象在點1,f1處的切線與軸平行，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】，由題意知.對于A，因為，，所以，所以，故A正確；對于B，同理，所以，故B錯誤；對于C，若，，，則，故C錯誤；對于D，由，得，由，得，所以，故D正確.故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知實數，滿足，則的最小值為________.【答案】【解析】因為，所以，當且僅當時取等號，即的最小值為.13.已知函數的導函數為，若，為的導函數，則__________.【答案】【解析】，所以.14.記函數在區間上的最大值為，最小值為，則_________.【答案】【解析】設，則，當，時，（不恒為零），所以是減函數，所以設，則，當時，，單調遞增，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數的部分圖象如圖所示，點，（1）求的解析式；（2）將的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長為原來的2倍，再將所得圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，求在區間上的最值.解：（1）由圖象知.因為的圖象過點，所以，又，所以，所以.又的圖象過點，由“五點作圖法”可得，所以.所以.（2）由題意知，當時，，所以，則，所以在區間上的最小值為，最大值為1.16.已知函數.（1）求的圖象在點處的切線與坐標軸圍成的封閉圖形的面積；（2）設函數，若在定義域內單調遞減，求實數的取值范圍.解：（1）由題意得，則.又因為，所以的圖象在點處的切線為，與兩個坐標軸的交點分別為和，所求的封閉圖形的面積為.（2）的定義域為0,+∞，因為在定義域內單調遞減，所以，即，所以.設，則.當時，h'x>0，hx單調遞增，當時，h'所以，所以的取值范圍是.17.甲、乙兩位跑步愛好者堅持每天晨跑，上周的7天中，他們各有5天晨跑路程超過.（1）從上周任選3天，設這3天中甲晨跑路程超過的天數為，求的分布列和數學期望.（2）用上周7天甲、乙晨跑路程的頻率分布估計他們各自每天晨跑路程的概率分布，且他們每天晨跑的路程互不影響.設“下個月的某3天中，甲晨跑路程超過的天數比乙晨跑路程超過的天數恰好多2”為事件，求.參考數據：.解：(1)由題意知的所有可能取值為1，2，3，且，.所以的分布列為123.（2）設下個月的某3天中，甲晨跑路程超過的天數為，乙晨跑路程超過的天數為，則，均服從二項分布則.18.已知直線與拋物線交于，兩點（為坐標原點），且，動直線過點.（1）求的方程；（2）求點關于的對稱點的軌跡方程；（3）若與交于，兩點（均異于點），直線，分別與直線交于點，，證明：.解：（1）由題意，可設點，.由，得，解得，所以，將其坐標代入拋物線的方程得，解得，所以的方程為.（2）因為點，關于對稱，過點，所以.當繞點旋轉時，線段也繞點旋轉，所以點的軌跡是以為圓心，4為半徑的圓，故點的軌跡方程為.（3）設，，，，直線的方程為.由題可知直線不過點，則.聯立得消去，整理得，恒成立，則，