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第三節格林公式及其應用一問題的提出二區域的連通性及分類三格林（Green）公式四格林（Green）公式的簡單應用五曲線積分與路徑的無關六二元函數的全微分求積七小結與思考判斷題2025/1/81一問題的提出

在一元函數的微積分中我們通過Newton-lebiniz公式可以把定積分和原函數聯系起來.在曲線積分中，我們是否有相似的聯系呢？下面的Green公式告訴我們，在曲線積分中，也有相似的聯系。即二重積分與曲線積分的聯系，這就是我們所要講授的Green公式。2025/1/82二區域連通性的分類

設D為平面區域,如果D內任一閉曲線所圍成的部分都屬于D,則稱D為平面單連通區域,否則稱為復連通區域.復連通區域單連通區域DD2025/1/83三格林公式定理12025/1/84邊界曲線L的正向:當觀察者沿邊界行走時,區域D總在他的左邊.證明(1)yxoabDcdABCE2025/1/86同理可證yxodDcCEAB2025/1/87證明(2)D兩式相加得2025/1/882025/1/89GDFCEAB證明(3)由(2)知2025/1/8102025/1/811xyoL1）簡化曲線積分四、應用AB

2025/1/8122025/1/8132）簡化二重積分xyo2025/1/8142025/1/815解2025/1/816xyoLyxo2025/1/817xyo(注意格林公式的條件)2025/1/818例4計算解:為了使用格林公式,添加輔助線段它與L

所圍其中L為上半從

O(0,0)到

A(4,0).圓周區域為D,

則3）計算平面面積2025/1/820例5橢圓所圍面積解：解2025/1/8222025/1/823Gyxo五曲線積分與路徑的無關BA如果在區域G內有2025/1/824定理2曲線積分與路徑無關的條件2025/1/825兩條件缺一不可有關定理的說明：2025/1/826六二元函數的全微分求積定理32025/1/8272025/1/828例7驗證是某個函數的全微分,并求出這個函數.

證:設則由定理2可知,存在函數

u(x,y)使。。說明:根據定理2,若在某區域內則2)求曲線積分時,可利用格林公式簡化計算,3)可用積分法求du=

Pdx+Qdy在域

D內的原函數:及動點或則原函數為若積分路徑不是閉曲線,可添加輔助線;取定點1)計算曲線積分時,可選擇方便的積分路徑;解2025/1/831解2025/1/8322025/1/833七小結與思考判斷題1）連通區域的概念;2）二重積分與曲線積分的關系3）格林公式的應用.——格林公式;2025/1/8344）與路徑無關的四個等價命題2025/1/835

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