系統穩定性的

2021/6/271系統穩定性的基本概念：如果一個系統受到擾動，偏離了原來的平衡狀態，而當擾動取消后，經過充分長的時間，這個系統又能以一定的精度逐漸恢復到原來的狀態，則稱系統是穩定的。否則，稱這個系統是不穩定的。2021/6/272穩定性判別方法：

1、勞斯穩定性判據

2、赫爾維茲穩定性判據

3、乃奎斯特穩定性判據

4、由伯德圖判斷系統的穩定性5、根軌跡法

6、李雅普諾夫穩定性方法2021/6/273

勞斯穩定性判據代數穩定性判據

赫爾維茲穩定性判據勞斯穩定性判據是一種代數判據方法。它是根據系統特征方程式來判斷特征根在S平面的位置，從而決定系統的穩定性.判斷依據：1、特征方程的各項系數都不等于0；

2、特征方程各項系數符號相同；

3、勞斯表的第一列是否均大于零。

2021/6/274sna0a2a4a6.....sn-1

a1a3a5a7.......sn-2

b1b2b4b6.......sn-3c0c2c4c6........

s2u1u2

s1v1

若某行第一個元素為0，則用一個趨于0的數ε代替s0w1

若第一列系數有負數，則第一列系數符號的改變次數等于在右半平面上根的個數。優點：不必求解方程，方便系統的穩定性的判斷。不但可以判別絕對穩定性還可以判別相對穩定性。應用領域：分析系統參數對穩定性的影響。

..........................................2021/6/275赫爾維茲穩定性判據先依據特征方程寫出Δ

a1a3a5.....0系統穩定的充分必要條件：

a0a2a4

.......0主行列式Δn及其對角線上各子行列

0a1a3.....0式Δ1，Δ2，Δ3，Δ4......Δn-1均具有正

Δ=0a0a2.....0值0000............

0........an-10

0........an-2an..................2021/6/276優點：規律簡單明確，使用方便缺點：對高階系統，計算行列式較復雜此外，勞斯穩定性判據和赫爾維茲穩定性判據還有一個共同的缺點就是：無法解決帶延遲環節的系統穩定性判定。2021/6/277乃奎斯特穩定性判據

乃奎斯特穩定性判據是根據閉環控制系統的開環頻率響應判斷閉環系統穩定性，本質上是一種圖解分析方法。閉環傳遞函數：開環傳遞函數：

2021/6/278

特征方程：若則零點零點零點極點極點極點相同相同零點零點2021/6/279

作圖方法：

1、寫出幅頻特性|G（jω）|和相頻特性G（jω）表達式。

2、求出ω=0和ω→∞時的G（jω）。

3、求乃氏圖與實軸虛軸的交點。

4、必要時畫幾點中間的，并勾勒大致曲線2021/6/27101、奈奎斯特穩定判據的基本形式表明，如果系統開環傳遞函數G(s)在s復數平面的虛軸jω上既無極點又無零點，那么有Z=P-NP是開環傳遞函數在右半s平面上的極點數。N是當角頻率由ω=0變化到ω=+∞時G（jω）的軌跡沿逆時針方向圍繞實軸上點(-1，j0)的次數。如果Z=0，則閉環控制系統穩定；Z≠0，則閉環控制系統不穩定。2021/6/27112、當開環傳遞函數G(s)在s復數平面的虛軸上存在極點或零點時當遇到位于虛軸上G(s)的極點（圖中用×表示）時，要用半徑很小的半圓從右側繞過。Z=P-2N2021/6/2712帶有延遲環節時的系統穩定。幅頻特性

相頻特性2021/6/2713優點：1、開環頻率響應容易通過計算或實驗途徑定出，所以它在應用上非常方便和直觀。

2、能解決代數穩定判據不能解決的比如含延遲環節的系統穩定性問題。

3、能定量指出系統的穩定儲備，即系統的相對穩定性定量指標，進一步提高和改善系統動態性能。2021/6/2714由伯德圖判斷系統的穩定性與乃奎斯特穩定性判據類似，該方法是利用開環系統的伯德圖來判別系統的穩定性，同樣也是能夠用實驗來獲得，因此也得到廣泛的應用。伯德圖是系統頻率響應的一種圖示方法，由幅值圖和相角圖組成，兩者都按頻率的對數分度繪制判斷方法：在開環狀態下，特征方程有P個根在右半平面內。此時，在L（ω）≥0的范圍內，相頻特性曲線?（ω）在-π線上正、負穿越次數只差為P/2次，則閉環系統是穩定的。分別用N+和N-表示正穿越次數和負穿越次數,則N=N+-N-。判據的結論是Z=P－2N，且Z=0時閉環系統穩定，Z≠0時閉環系統不穩定。由于頻率響應的幅值對數圖和相角圖易于繪制，因此對數頻率響應穩定判據應用更廣。2021/6/2715優點：1、可以將幅值相乘轉化為幅值相加，便于繪制由多個環節串聯組成的系統的對數頻率特性圖。

2、可采用漸近線近似作圖方法繪制對數幅頻圖，簡單方便。

3、有效擴展了頻率范圍，尤其是低頻段。（指數增長）

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控制系統的穩定性，由其閉環極點唯一確定，系統暫態響應和穩態響應的基本特性與系統的閉環零、極點在Ｓ平面上分布的位置有關。決定系統基本特性的是系統特征方程的根，如果搞清楚這些根在Ｓ平面上的分布與系統參數之間的關系，那就掌握了系統的基本特性。為此目的，Ｗ．Ｒ．伊文思在１９４８年提出了根軌跡法，令開環函數的一個參數——開環增益Ｋ（或另一個感興趣的參數）從０變化到∞，與此對應，特征方程的根，便在Ｓ平面上描出一條軌跡，稱這條軌跡為根軌跡。根軌跡法是研究自動控制系統的一種有效方法，它已發展成為經典控制理論中最基本的方法之一。根軌跡法2021/6/2717

根軌跡的基本概念一．舉例說明根軌跡的概念

特征方程

的根為

，

2021/6/2718

令開環增益Ｋ從０變化到∞，用解析方法求不同Ｋ所對應的特征根的值，將這些值標在Ｓ平面上，并連成光滑的粗實線，這就是該系統的根軌跡。箭頭表示隨著Ｋ值的增加，根軌跡的變化趨勢。從系統的根軌跡圖，可以獲得下述信息:１.穩定性：因為根軌跡全部位于左半Ｓ平面，故閉環系統對所有的Ｋ值都是穩定的。２.穩態性能：因為開環傳函有一個位于坐標原點的極點，所以是I型系統，階躍作用下的穩態誤差為0。K=0.25K=0K=0××K∞K∞-1jωσ當K=0時，S1=0，S2=-12021/6/2719繪制根軌跡的基本規則

繪制根軌跡的基本規則實際上是系統根軌跡的一些基本性質，掌握了這些基本規則，將能幫助我們更準確、更迅速的繪制根軌跡。一．根軌跡的對稱性實際系統的特征方程的系數是實數，其特征根為實數或共軛復數，因此，根軌跡對稱于實軸。二．根軌跡的起點和終點根軌跡的起點對應于時特征根在Ｓ平面上的分布位置，而根軌跡的終點則對應于時，特征根在Ｓ平面上的分布位置。2021/6/2720幅值條件改寫當，必有Ｓ＝，即起點是開環極點。當，必有Ｓ＝，即終點是開環零點。但在控制系統中，總有n>m，所以根軌跡從n個開環極點處起始，到m個開環零點處終止，剩下的n－m條根軌跡將趨于無窮遠處。舉例如題，，起點：０，－１，無零點，n=２，m=0，n－m=2，有兩條根軌跡→∞K=0.25K=0K=0××K∞K∞-1jωσ2021/6/2721三．根軌跡的分支數根軌跡由若干分支構成，分支數與開環極點數相同。四．實軸上的根軌跡

在實軸上存在根軌跡的條件是，其右邊開環零點和開環極點數目之和為奇數。2021/6/2722五．根軌跡的漸近線１．根軌跡中（n－m）條趨向無窮遠處的分支的漸近線的傾角為…，（n-m-1)當時，求得的漸近線傾角最小，增大，傾角值將重復出現，而獨立的漸近線只有（n－m）條．2021/6/2723２.漸近線與實軸的交點漸近線的交點總在實軸上，即必為實數．在計算時，考慮到共軛復數極點、零點的虛部總是相互抵消，只須把開環零、極點的實部代入即可．2021/6/2724例：求根軌跡解：①在Ｓ平面中確定開環零、極點的位置。

×××-1-2σjω②確定實軸上的根軌跡。③n=3,m=0,應有三個分支，并且都趨向無窮遠處。④確定漸近線的位置．-0.423K1=6K1=6-60°60°2021/6/2725李雅普諾夫第一法李雅普諾夫穩定性方法李雅普諾夫第二法李雅普諾夫第一法是通過求解系統微分方程，然后根據解的性質來判定系統的穩定性，其基本思路與經典控制理論一致。對于線性定常系統來說

平衡狀態漸進穩定的充要條件就是矩陣A所有特征值均具有負實部，這里所說的是系統的狀態穩定性，而對于輸出穩定性來說，其穩定的充要條件是其傳遞函數的極點全部位于s的左半平面。2021/6/2726

該方法能解決線性定常和非線性定常系統的穩定性分析，但不能延伸至時變系統的分析。且只能解決非線性不是很嚴重的系統，將其線性化處理，取其近似的線性方程來判斷穩定性。2021/6/2727例：設系統的狀態空間表達式為：試分析系統的狀態穩定性與輸出穩定性。故系統不是漸進穩定的。再由其傳遞函數可見傳函的極點在-1處位于左半平面，故系統輸出穩定。2021/6/2728李雅普諾夫第二法李雅普諾夫第二法是從能量觀點進行穩定性分析，當一個系統被激勵后，其儲存的能量隨著時間的推移逐漸衰弱，到達平衡狀態時，能量將得到最小值，那么這個平衡狀態是漸進穩定的。反之，如果系統不斷從外界吸收能量，儲能越來越大，那么這個平衡狀態就是不穩定的，如果系統的儲能既不增長也不消耗，那么這個平衡狀態就是李雅普諾夫意義下的穩定。對于給定的一個系統，如果能找到一個正定的標量函數V(x)，根據該函數導數來確定能量隨時間的變化。標量函數的符號性質：設V(x)是向量x的標量函數，且在x=0處，恒有V(0)=0，那么在所有定義域中的任何非零向量x，若V(x)>0，則V(x)正定；若V(x)≥0，則V(x)半正定。若V(x)<0，則V(x)負定；若V(x)≤0，則V(x)半負定；若V(x)>0或V(x)<0，則V(x)不定

2021/6/2729對于二次型標量函數；

二次型標量函數可寫為其中，P為實對稱矩陣。此時，必然存在正交矩陣T，通過變換，使之化為：2021/6/2730此稱為二次型函數的標準型，?i為P的特征值，則V(x)正定的充要條件是P的特征值?i均大于0。若V(x)正定，則P為正定矩陣，記為P>0;若V(x)負定，則P負定矩陣，記為P<0;若V(x)半正定，則P半正定矩陣，記為P≥0;若V(x)半負定，則P半負定矩陣，記為P≤0;2021/6/2731希爾維斯特判據

設實對稱陣為其各階順序主子式，即矩陣P是否正定的充要條件是：2021/6/2732

若，則P

正定；若，則P

負定；若，則P

半正定；

若，則P

半負定；2021/6/2733

李雅普諾夫第二方法可用于任意階的系統，運用這一方法可以不必求解系統狀態方程而直接判定穩定性。但由于使用此方法時要尋找一個正定的函數V（x），并且此時V（x）的導數是負定的，那么才能說明系統穩定。所以，使用該方法的局限性就是很難找完所有的V（x）。因此，只能用該方法證明系統穩定，而不能證明系統不穩定。2021/6/2734例設非線性系統為試分析穩定性.由,得是其唯一的平衡點.

構造是正定的.對關于t求導,得2021/6/2735代入狀態方程得→負定

→為一李雅普諾夫函數,