高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省鹽城市四校2023-2024學年高一上學期1月期末聯考數學試題一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，又，所以.故選：C.2.若且，則的終邊所在象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】因為，則的終邊在第三、四象限或軸負半軸上，因為，則的終邊在第一、三象限，因此，的終邊所在象限為第三象限.故選：C.3.已知，則“”是“且”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】，若，則的大小無法確定，不能得出且，故充分性不成立，若且，則，故必要性成立，“”是“且”的必要而不充分條件.故選：B.4.科學家以里氏震級來度量地震的強度，若設I為地震時所散發出來的相對能量程度，則里氏震級可定義為.2021年6月22日下午甲市發生里氏3.1級地震，2020年9月2日乙市發生里氏4.3級地震，則乙市地震所散發出來的能量與甲市地震所散發出來的能量的比值為（）A.2 B.10 C.100 D.10000【答案】C【解析】設乙市地震所散發出來的能量為，甲市地震所散發出來的能量為，則，，兩式作差得，故，則.故選：C.5.函數的部分圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，，所以是奇函數，圖象關于原點對稱，由此排除AC選項；當時，，排除B選項，所以D選項正確.故選：D.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意，，∴，，解得：，∴，∴解得：，∴.故選：A.7.已知，，，則的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，則只需比較的大小關系，，，而，所以，所以，所以，所以，所以.故選：C.8.已知函數是奇函數，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于是奇函數，，即，所以①，由②，可知，若，則②的解集為與是奇函數矛盾，所以由①得，其中，此時，②的解集滿足奇函數定義域的要求，所以，當且僅當時等號成立.故選：A.二、多選題(本題共4小題，每小題5分.在每小題給出的選項中，至少有兩項符合題目要求，全部選對得5分，都分選對得2分，有選錯的得0分.)9.下列不等式中成立的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BD【解析】對于A，當時，，故A錯誤；對于B，因為，則，，所以，即，故B正確；對于C，取，滿足，但，故C錯誤；對于D，因為，所以，所以，即，故D正確；故選：BD.10.下列命題是真命題的有（）A.函數的值域為B.的定義域為C.函數的零點所在的區間是D.對于命題，使得，則，均有【答案】AC【解析】A選項，，令，則的開口向下，對稱軸為，所以當時，取得最大值為；當時，取得最小值為，所以的值域為，A選項正確；B選項，對于函數，由，得，解得，所以的定義域為，B選項錯誤；C選項，在上單調遞增，，所以函數的零點所在的區間是，C選項正確；D選項，命題，使得，其否定是，均有，D選項錯誤.故選：AC.11.已知函數部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.函數的圖象關于直線對稱B.函數的圖象關于點對稱C.函數在的值域為D.將函數的圖象向右平移個單位，所得函數為【答案】ACD【解析】由圖可知，又，所以，所以，又函數圖象最低點為，所以，即，所以，解得，由題意，所以只能，所以，由A選項分析可知，但，從而函數的圖象關于直線對稱，故A選項正確；但，從而函數的圖象不關于對稱，故B選項錯誤；當時，，而函數在上單調遞增，在上單調遞減，，所以函數在的值域為，故C選項正確；若將函數的圖象向右平移個單位，則得到的新的函數解析式為，故D選項正確.故選：ACD.12.已知方程與的根分別為，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】AD選項，由題意得，，可變形為，又，令，則，又在上單調遞增，故，由可得，，A選項錯誤，D正確；B選項，由于，，結合在上單調遞增，由零點存在性定理得，B錯誤；C選項，由AD選項可知，，由B選項得，故，故，C正確.故選：CD.三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分.)13.已知冪函數的圖象過點，則______．【答案】【解析】不妨設冪函數表達式為，由題意有，解得，所以冪函數表達式為，所以.故答案為：.14.已知，且，則______．【答案】【解析】由于，所以，而，所以，所以.故答案為：.15.數學中處處存在著美，機械學家萊洛發現的萊洛三角形就給人以對稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC，再分別以點A、B、C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角（如圖所示）．若萊洛三角形的周長為，則其面積是______．【答案】【解析】由條件可知，弧長，等邊三角形的邊長，則以點A、B、C為圓心，圓弧所對的扇形面積為，中間等邊的面積，所以萊洛三角形的面積是.故答案為：.16.若方程有且僅有個實數根，則實數的值為____.【答案】【解析】方程有且僅有個實數根，函數與的圖象有且僅有個公共點，函數的開口向上，對稱軸為直線，當時，函數取得最小值為，是函數的一條對稱軸，將代入有，由，得，解得或，當時，兩個函數分別為，，如下圖所示，兩個函數圖象不止一個公共點，不符合題意，舍去，當時，兩個函數分別為，，其中，所以兩個函數有唯一公共點，符合題意，綜上所述，的值為.故答案為：.四、解答題(本題共6小題，共70分，第17題10分，18-22題每題12分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知集合，.（1）分別求，；（2）已知，若，求實數的取值范圍.解：（1）由解得，所以，所以，.（2）由于，且不是空集，所以解得.18.化簡下面兩個題：（1）已知角終邊上一點，求的值；（2）已知，求的值.解：（1）角終邊上一點，所以，所以.（2）由得，所以.19.函數的最小正周期是，且當時，取得最大值.（1）求函數的解析式及單調遞增區間；（2）存在，使得成立，求實數的取值范圍解：（1）的最小正周期為，所以，當時，取得最大值，所以，且，所以，所以，由解得，所以單調遞增區間為：，.（2）若，則，所以在區間上，當時，取得最小值為，依題意，存在，使得成立，所以.20.科技創新在經濟發展中的作用日益凸顯.某科技公司為實現萬元的投資收益目標，準備制定一個激勵研發人員的獎勵方案：當投資收益達到萬元時，按投資收益進行獎勵，要求獎金(單位：萬元)隨投資收益(單位：萬元)的增加而增加，獎金總數不低于萬元，且獎金總數不超過投資收益的.（1）現有三個獎勵函數模型：①②③.試分析這三個函數模型是否符合公司要求.（2）根據中符合公司要求的函數模型，要使獎金達到萬元，公司的投資收益至少為多少萬元？解：（1）由題意，符合公司要求的函數在上單調遞增，且對任意恒有且，①對于函數在上單調遞增，當時不符合要求；②對于函數在上單調遞減，不符合要求；③對于函數在上單調遞增，且當時，因為而所以當時恒成立，因此為符合公司要求的函數模型.（2）由得所以所以公司的投資收益至少為萬元.21.己知函數，為實數．（1）當時，求的值域；（2）設，若對任意的，總存在，使得成立，求m的取值范圍．解：（1）當時，，令，則在區間上單調遞增，，所以的值域為.（2）對于函數，，所以在區間上的值域為，最小值為，對于函數，令，則的開口向上，對稱軸為，當時，函數在上單調遞增，，要使“對任意的，總存在，使得成立”，則，當時，函數在處取得最小值，即，不符合題意，當時，函數函數在上單調遞減，，要使“對任意的，總存在，使得成立”，則，與矛盾，不符合，綜上所述，.22.已知是函數的零點，．（1）求實數的值；（2）若方程有三個不同的實數解，求實數的取值范圍．解：（1）∵是函數的零點，∴，解之得.（2）由（1）得，則，則方程，可化為，∵，∴兩邊同乘得：，則此方程有三個不同的實數解，令則，則，解得或，當時，，得；當時，，則此方程有兩個不同的實數解，則，解之得，則實數的取值范圍為．江蘇省鹽城市四校2023-2024學年高一上學期1月期末聯考數學試題一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，又，所以.故選：C.2.若且，則的終邊所在象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】因為，則的終邊在第三、四象限或軸負半軸上，因為，則的終邊在第一、三象限，因此，的終邊所在象限為第三象限.故選：C.3.已知，則“”是“且”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】，若，則的大小無法確定，不能得出且，故充分性不成立，若且，則，故必要性成立，“”是“且”的必要而不充分條件.故選：B.4.科學家以里氏震級來度量地震的強度，若設I為地震時所散發出來的相對能量程度，則里氏震級可定義為.2021年6月22日下午甲市發生里氏3.1級地震，2020年9月2日乙市發生里氏4.3級地震，則乙市地震所散發出來的能量與甲市地震所散發出來的能量的比值為（）A.2 B.10 C.100 D.10000【答案】C【解析】設乙市地震所散發出來的能量為，甲市地震所散發出來的能量為，則，，兩式作差得，故，則.故選：C.5.函數的部分圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，，所以是奇函數，圖象關于原點對稱，由此排除AC選項；當時，，排除B選項，所以D選項正確.故選：D.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意，，∴，，解得：，∴，∴解得：，∴.故選：A.7.已知，，，則的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，則只需比較的大小關系，，，而，所以，所以，所以，所以，所以.故選：C.8.已知函數是奇函數，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于是奇函數，，即，所以①，由②，可知，若，則②的解集為與是奇函數矛盾，所以由①得，其中，此時，②的解集滿足奇函數定義域的要求，所以，當且僅當時等號成立.故選：A.二、多選題(本題共4小題，每小題5分.在每小題給出的選項中，至少有兩項符合題目要求，全部選對得5分，都分選對得2分，有選錯的得0分.)9.下列不等式中成立的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BD【解析】對于A，當時，，故A錯誤；對于B，因為，則，，所以，即，故B正確；對于C，取，滿足，但，故C錯誤；對于D，因為，所以，所以，即，故D正確；故選：BD.10.下列命題是真命題的有（）A.函數的值域為B.的定義域為C.函數的零點所在的區間是D.對于命題，使得，則，均有【答案】AC【解析】A選項，，令，則的開口向下，對稱軸為，所以當時，取得最大值為；當時，取得最小值為，所以的值域為，A選項正確；B選項，對于函數，由，得，解得，所以的定義域為，B選項錯誤；C選項，在上單調遞增，，所以函數的零點所在的區間是，C選項正確；D選項，命題，使得，其否定是，均有，D選項錯誤.故選：AC.11.已知函數部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.函數的圖象關于直線對稱B.函數的圖象關于點對稱C.函數在的值域為D.將函數的圖象向右平移個單位，所得函數為【答案】ACD【解析】由圖可知，又，所以，所以，又函數圖象最低點為，所以，即，所以，解得，由題意，所以只能，所以，由A選項分析可知，但，從而函數的圖象關于直線對稱，故A選項正確；但，從而函數的圖象不關于對稱，故B選項錯誤；當時，，而函數在上單調遞增，在上單調遞減，，所以函數在的值域為，故C選項正確；若將函數的圖象向右平移個單位，則得到的新的函數解析式為，故D選項正確.故選：ACD.12.已知方程與的根分別為，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】AD選項，由題意得，，可變形為，又，令，則，又在上單調遞增，故，由可得，，A選項錯誤，D正確；B選項，由于，，結合在上單調遞增，由零點存在性定理得，B錯誤；C選項，由AD選項可知，，由B選項得，故，故，C正確.故選：CD.三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分.)13.已知冪函數的圖象過點，則______．【答案】【解析】不妨設冪函數表達式為，由題意有，解得，所以冪函數表達式為，所以.故答案為：.14.已知，且，則______．【答案】【解析】由于，所以，而，所以，所以.故答案為：.15.數學中處處存在著美，機械學家萊洛發現的萊洛三角形就給人以對稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC，再分別以點A、B、C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角（如圖所示）．若萊洛三角形的周長為，則其面積是______．【答案】【解析】由條件可知，弧長，等邊三角形的邊長，則以點A、B、C為圓心，圓弧所對的扇形面積為，中間等邊的面積，所以萊洛三角形的面積是.故答案為：.16.若方程有且僅有個實數根，則實數的值為____.【答案】【解析】方程有且僅有個實數根，函數與的圖象有且僅有個公共點，函數的開口向上，對稱軸為直線，當時，函數取得最小值為，是函數的一條對稱軸，將代入有，由，得，解得或，當時，兩個函數分別為，，如下圖所示，兩個函數圖象不止一個公共點，不符合題意，舍去，當時，兩個函數分別為，，其中，所以兩個函數有唯一公共點，符合題意，綜上所述，的值為.故答案為：.四、解答題(本題共6小題，共70分，第17題10分，18-22題每題12分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知集合，.（1）分別求，；（2）已知，若，求實數的取值范圍.解：（1）由解得，所以，所以，.（2）由于，且不是空集，所以解得.18.化簡下面兩個題：（1）已知角終邊上一點，求的值；（2）已知，求的值.解：（1）角終邊上一點，所以，所以.（2）由得，所以.19.函數的最小正周期是，且當時，取得最大值.（1）求函數的解析式及單調遞增區間；（2）存在，使得成立，求實數的取值范圍解：（1）的最小正周期為，所以，當時，取得最大值，所以，且，所以，所以，由解得，所以單調遞增區間為：，.（2）若，則，所以在區間上，當時，取得最小值為，依題意，存在，使得成立，所以.20.科技創新在經濟發展中的作用日益凸顯.某科技公司為實現萬元的投資收益目標，