大學(xué)考試的數(shù)學(xué)試卷一、選擇題

1.下列各數(shù)中，有理數(shù)是：（）

A.$\sqrt{3}$

B.$\pi$

C.$\frac{5}{7}$

D.$0.1010010001…$

2.設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$，則$f(-1)$的值為：（）

A.$0$

B.$-1$

C.$2$

D.$3$

3.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)為$a_1$，公差為$d$，則$a_5+a_7=$：（）

A.$2a_1+6d$

B.$2a_1+7d$

C.$2a_1+8d$

D.$2a_1+9d$

4.若$x^2-2x+1=0$，則$x$的值為：（）

A.$1$

B.$2$

C.$1$或$2$

D.無(wú)法確定

5.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x}{x+1}$，則$f(1)$的值為：（）

A.$1$

B.$\frac{1}{2}$

C.$\frac{2}{3}$

D.$\frac{3}{4}$

6.若$a,b,c$是等差數(shù)列，且$a+b+c=12$，$a^2+b^2+c^2=36$，則$ab+bc+ca$的值為：（）

A.$6$

B.$9$

C.$12$

D.$18$

7.設(shè)函數(shù)$f(x)=\log_2(x+1)$，則$f(3)$的值為：（）

A.$1$

B.$2$

C.$3$

D.$4$

8.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)為$a_1$，公比為$q$，則$a_4\cdota_6=$：（）

A.$a_1^2\cdotq^4$

B.$a_1^2\cdotq^5$

C.$a_1^3\cdotq^4$

D.$a_1^3\cdotq^5$

9.若$a^2+b^2=25$，$a+b=5$，則$ab$的值為：（）

A.$5$

B.$10$

C.$15$

D.$20$

10.設(shè)函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2-1}$，則$f(-2)$的值為：（）

A.$1$

B.$2$

C.$3$

D.$4$

二、判斷題

1.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，任何有理數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)。（）

2.函數(shù)$y=\frac{1}{x}$在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的。（）

3.等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$可以用于計(jì)算任意等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和。（）

4.函數(shù)$y=x^2$的圖像是關(guān)于$y$軸對(duì)稱的。（）

5.等比數(shù)列的公比$q$滿足$q\neq1$時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)會(huì)無(wú)限增大或無(wú)限減小。（）

三、填空題

1.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)$a_1=3$，公差$d=2$，則第$10$項(xiàng)$a_{10}=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$

2.函數(shù)$f(x)=2x^2-3x+1$的頂點(diǎn)坐標(biāo)為$\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_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四、簡(jiǎn)答題

1.簡(jiǎn)述一元二次方程的求根公式及其應(yīng)用。

2.如何判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列？

3.請(qǐng)解釋函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性的概念，并舉例說(shuō)明。

4.簡(jiǎn)述函數(shù)圖像的平移和伸縮變換。

5.舉例說(shuō)明如何使用數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式求解實(shí)際問(wèn)題。

五、計(jì)算題

1.計(jì)算下列積分：$\int(3x^2-2x+1)\,dx$。

2.解一元二次方程$x^2-5x+6=0$，并求出其根。

3.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$10$項(xiàng)和為$55$，求首項(xiàng)$a_1$和公差$d$。

4.設(shè)函數(shù)$f(x)=2x^3-3x^2+x+1$，求$f'(x)$。

5.計(jì)算極限$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$。

六、案例分析題

1.案例背景：某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其成本函數(shù)為$C(x)=500+20x$，其中$x$為生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量。售價(jià)函數(shù)為$P(x)=100-0.5x$，市場(chǎng)需求函數(shù)為$D(x)=300-2x$。

案例分析：

（1）求該公司的利潤(rùn)函數(shù)$L(x)$。

（2）求使公司利潤(rùn)最大化的生產(chǎn)數(shù)量$x$，并計(jì)算最大利潤(rùn)。

2.案例背景：某城市計(jì)劃在一條街道上安裝路燈，每盞路燈的安裝成本為$150$元，維護(hù)成本為每年$20$元。街道長(zhǎng)度為$1$公里，每$10$米安裝一盞路燈。

案例分析：

（1）若該城市希望至少保證街道上的光照強(qiáng)度達(dá)到每平方米$100$流明，每盞路燈發(fā)出的光照強(qiáng)度為$1000$流明，求需要安裝多少盞路燈。

（2）若每盞路燈的維護(hù)成本降至每年$10$元，求新的路燈安裝數(shù)量。

七、應(yīng)用題

1.應(yīng)用題：某班級(jí)有$30$名學(xué)生，其中$18$名學(xué)生參加了數(shù)學(xué)競(jìng)賽，$15$名學(xué)生參加了物理競(jìng)賽，$8$名學(xué)生同時(shí)參加了數(shù)學(xué)和物理競(jìng)賽。求：

（1）只參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的學(xué)生人數(shù)。

（2）只參加物理競(jìng)賽的學(xué)生人數(shù)。

（3）至少參加了一門競(jìng)賽的學(xué)生人數(shù)。

2.應(yīng)用題：一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為$5$米、$4$米和$3$米。求：

（1）長(zhǎng)方體的體積。

（2）長(zhǎng)方體的表面積。

（3）如果將長(zhǎng)方體的每個(gè)面都涂上油漆，需要多少油漆？

3.應(yīng)用題：一家工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量與生產(chǎn)成本之間的關(guān)系如下：

-生產(chǎn)$100$個(gè)產(chǎn)品時(shí)的總成本為$2000$元。

-生產(chǎn)$200$個(gè)產(chǎn)品時(shí)的總成本為$3600$元。

求：

（1）該工廠的生產(chǎn)成本函數(shù)$C(x)$。

（2）若要生產(chǎn)$300$個(gè)產(chǎn)品，預(yù)計(jì)需要多少成本？

4.應(yīng)用題：某商店進(jìn)行促銷活動(dòng)，對(duì)商品進(jìn)行打折銷售。已知原價(jià)為$200$元的商品，打折后的價(jià)格為$160$元。求：

（1）該商品的折扣率。

（2）若顧客購(gòu)買$5$件該商品，實(shí)際需要支付多少元？

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題

1.C.$\frac{5}{7}$

2.A.$0$

3.A.$2a_1+6d$

4.A.$1$

5.B.$\frac{1}{2}$

6.B.$9$

7.A.$1$

8.B.$a_1^2\cdotq^5$

9.A.$5$

10.B.$2$

二、判斷題

1.√

2.×

3.√

4.√

5.√

三、填空題

1.$a_{10}=3+(10-1)\cdot2=21$

2.函數(shù)$f(x)=2x^2-3x+1$的頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(\frac{3}{4},-\frac{1}{8})$

3.等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$

4.函數(shù)$y=x^2$的圖像是關(guān)于$y$軸對(duì)稱的

5.等比數(shù)列的公比$q$滿足$q\neq1$時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)會(huì)無(wú)限增大或無(wú)限減小

四、簡(jiǎn)答題

1.一元二次方程的求根公式為$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，它可以直接應(yīng)用于求解形如$ax^2+bx+c=0$的一元二次方程。

2.等差數(shù)列的特點(diǎn)是相鄰兩項(xiàng)之差為常數(shù)，即$a_{n+1}-a_n=d$，而等比數(shù)列的特點(diǎn)是相鄰兩項(xiàng)之比為常數(shù)，即$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$。

3.函數(shù)的連續(xù)性是指函數(shù)在某點(diǎn)的極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值，即$\lim_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)$。可導(dǎo)性是指函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在，即導(dǎo)數(shù)的極限存在。

4.函數(shù)圖像的平移變換是指將函數(shù)圖像沿坐標(biāo)軸方向移動(dòng)，如$f(x)\tof(x-h)+k$表示沿$x$軸方向平移$h$個(gè)單位，沿$y$軸方向平移$k$個(gè)單位。伸縮變換是指改變函數(shù)圖像的寬度或高度，如$f(x)\tok\cdotf(x)$表示沿$y$軸方向伸縮，$f(x)\tof(kx)$表示沿$x$軸方向伸縮。

5.使用數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式求解實(shí)際問(wèn)題，首先要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)列模型，然后利用數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式計(jì)算前$n$項(xiàng)的和，最后根據(jù)問(wèn)題的要求求解所需的量。

五、計(jì)算題

1.$\int(3x^2-2x+1)\,dx=x^3