8.4.1平面

人教A版（2019）必修第二冊(cè)素養(yǎng)目標(biāo)1.了解平面及平面的表示法（重點(diǎn)）2.會(huì)用平面的基本性質(zhì)證明點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、點(diǎn)線共面三個(gè)典型問(wèn)題，提升邏輯推理素養(yǎng)（重點(diǎn)）3.熟悉符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換，提升邏輯推理素養(yǎng)（難點(diǎn)）新課導(dǎo)入思考一下：觀察下面這兩幅圖片，它們屬于什么？它們有什么特點(diǎn)？它們叫做平面新課學(xué)習(xí)平面的概念幾何里所說(shuō)的"平面"就是從這樣的一些物體中抽象出來(lái)的.類似于直線向兩端無(wú)限延伸,平面是向四周無(wú)限延展的.平面的特征：1.無(wú)限延展;2.不計(jì)大小;3.不計(jì)厚薄新課學(xué)習(xí)平面的圖形表示1.圖形表示與畫(huà)出直線的一部分來(lái)表示直線一樣，我們也可以畫(huà)出平面的一部分來(lái)表示平面.我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面.如圖，當(dāng)平面水平放置時(shí)，常把平行四邊形的一邊畫(huà)成橫向；當(dāng)平面豎直放置時(shí)，常把平行四邊形的一邊畫(huà)成豎向.α豎直βα橫向新課學(xué)習(xí)拓展：平面的圖形表示的幾點(diǎn)注意（1）當(dāng)平面水平放置時(shí)，常把平行四邊形的一邊畫(huà)成橫向，（通常將平行四邊形的銳角化成45°，且使橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的2倍）；（2）當(dāng)平面豎直放置時(shí)，通常將平行四邊形的一邊畫(huà)成豎向.（3）在畫(huà)兩個(gè)相交平面時(shí)，如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋，那么被遮擋部分一般用虛線畫(huà)出或者不畫(huà).新課學(xué)習(xí)2.字母表示αβ平面ABCD或者平面ɑ新課學(xué)習(xí)思考一下：我們知道,兩點(diǎn)可以確定一條直線,那么幾點(diǎn)可以確定一個(gè)平面基本事實(shí)1：過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.αCAB基本事實(shí)1的符號(hào)表示：A,B,C三點(diǎn)不共線

有且只有一個(gè)平面α，使A,B,C∈α基本事實(shí)1給出了確定一個(gè)平面的依據(jù)基本事實(shí)1可以簡(jiǎn)單說(shuō)成不共線的三點(diǎn)，確定一個(gè)平面點(diǎn)A在直線l上,記作A∈l;點(diǎn)B在直線l外,記作B?l.點(diǎn)A在平面α內(nèi),記作A∈α；點(diǎn)P在平面α外,記作P?α.新課學(xué)習(xí)思考一下：如果直線l與平面α有一個(gè)公共點(diǎn)P,直線l是否在平面α內(nèi)如果直線l與平面α有兩個(gè)公共點(diǎn)呢？基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi).αlAB基本事實(shí)2可以判斷直線是否在平面內(nèi)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線，平面可以看成是直線的集合.新課學(xué)習(xí)基本事實(shí)2的符號(hào)表示：直線l上所有點(diǎn)都在平面α內(nèi)，就說(shuō)直線l在平面α內(nèi)，記作l?α；直線l不在平面α內(nèi)，記作l

?α新課學(xué)習(xí)思考一下：根據(jù)基本事實(shí)1和基本事實(shí)2，思考直線與平面的有什么關(guān)系？基本事實(shí)2表明，可以用直線的"直"刻畫(huà)平面的"平"，用直線的"無(wú)限延伸"刻畫(huà)平面的"無(wú)限延展".如圖,由基本事實(shí)1,給定不共線三點(diǎn)A,B,C,它們可以確定一個(gè)平面ABC;連接

AB,BC,CA,由基本事實(shí)2,這三條直線都在平面ABC內(nèi),進(jìn)而連接這三條直線上任意兩點(diǎn)所得直線也都在平面ABC內(nèi),所有這些直線可以編織成一個(gè)"直線網(wǎng)",這個(gè)"直線網(wǎng)"可以鋪滿平面ABC.組成這個(gè)"直線網(wǎng)"的直線的"直"和向各個(gè)方向無(wú)限延伸,說(shuō)明了平面的"平"和"無(wú)限延展".新課學(xué)習(xí)思考一下：如圖,把三角尺的一個(gè)角立在課桌面上,三角尺所在平面與課桌面所在平面是否只相交于一點(diǎn)B為什么？想象三角尺所在的無(wú)限延展的平面，用它去“穿透”課桌面.可以想象，兩個(gè)平面相交于一條直線.教室里相鄰的墻面在地面的墻角處有一個(gè)公共點(diǎn)，這兩個(gè)墻面相交于過(guò)這個(gè)點(diǎn)的一條直線.新課學(xué)習(xí)基本事實(shí)3說(shuō)明如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面一定相交于過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線.基本事實(shí)3的符號(hào)表示為：基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.lPαβ無(wú)特殊說(shuō)明，本章中的兩個(gè)平面均指兩個(gè)不重合的平面.新課學(xué)習(xí)利用基本事實(shí)1和基本事實(shí)2，再結(jié)合“兩點(diǎn)確定一條直線”，得到確定一個(gè)平面的方法推論1經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.αaABCααbabaP推論2經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.推論3經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.新課學(xué)習(xí)如圖,設(shè)點(diǎn)A

是直線

a外一點(diǎn),在直線a上任取兩點(diǎn)B和C,則由基本事實(shí)1,經(jīng)過(guò)A,B,C

三點(diǎn)確定一個(gè)平面α.推論1的證明：再由基本事實(shí)2，直線a也在平面α內(nèi),因此平面α經(jīng)過(guò)直線a和點(diǎn)A,即一條直線和這條直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面.αaABC新課學(xué)習(xí)推論2的證明：設(shè)

a∩b=P，

在直線a，b上分別取不同于點(diǎn)P的兩點(diǎn)

A，B，則由基本事實(shí)1,經(jīng)過(guò)A，B，P

三點(diǎn)確定一個(gè)平面α，再由基本事實(shí)2，A∈α，P∈α，A∈α，P∈α，

所以直線a也在平面α

內(nèi)，同理直線b也在平面α

內(nèi).即經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.新課學(xué)習(xí)推論3的證明：設(shè)a//b,在直線a上取兩點(diǎn)A,B,在直線b上取兩點(diǎn)C,D,則A,B,C,D中任意三點(diǎn)不共線，由基本事實(shí)1可知過(guò)點(diǎn)A,C,D有且只有一個(gè)平面α,過(guò)點(diǎn)B,C,D有且只有一個(gè)平面β.假設(shè)兩平面α和β不重合，則B?α,在α內(nèi)過(guò)A作與CD平行的直線AE,則AB,AE都與CD平行、與"過(guò)直線外一點(diǎn)與此直線平行的直線有且只有一條"矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤，平面α與β重合，即α與β是同一個(gè)平面,即兩條平行的直線確定一個(gè)平面.新課學(xué)習(xí)思考一下：這幾個(gè)推論在生活中有什么應(yīng)用？用兩根細(xì)繩沿桌子四條腿的對(duì)角拉直，如果這兩糧細(xì)繩相交，說(shuō)明桌子四條腿的底端在同一個(gè)平面內(nèi)，否則就不在同一個(gè)平面內(nèi)，其依據(jù)就是推論2.不共線的三點(diǎn)，一條直線和這條直線外一點(diǎn)，兩條相交直線，兩條平行直線，都能唯一確定一個(gè)平面，這些結(jié)論在后續(xù)研究直線和平面之間平