第八章平面解析幾何考

情

探

究考題考點考向關鍵能力考查要求核心素養2023新課標Ⅰ，6；2023新課標Ⅱ，15直線與圓、圓與圓的位置關系直線與圓相切、相交運算求解基礎性數學運算直觀想象2023新課標Ⅰ、Ⅱ，5橢圓的幾何性質橢圓的焦點、離心率運算求解基礎性數學運算考題考點考向關鍵能力考查要求核心素養2023新課標Ⅰ，16雙曲線的幾何性質求雙曲線的離心率運算求解綜合性數學運算2023新課標Ⅰ，22圓錐曲線中的軌跡方程問題求軌跡方程運算求解邏輯思維綜合性數學運算直觀想象考題考點考向關鍵能力考查要求核心素養2023新課標Ⅱ，21圓錐曲線中的定點、定值問題證明點在定直線上運算求解邏輯思維綜合性數學運算直觀想象考題考點考向關鍵能力考查要求核心素養2022新高考Ⅰ，14；2022新高考Ⅱ，15；2021新高考Ⅰ，11；2021新高考Ⅱ，11直線與圓、圓與圓的位置關系求切線方程、求參數范圍、判定直線與圓的位置關系運算求解綜合性數學運算考題考點考向關鍵能力考查要求核心素養2022新高考Ⅱ，10、16直線與圓錐曲線的位置關系求直線的斜率、方程，求拋物線的準線運算求解綜合性數學運算數學抽象2021新高考Ⅱ，20圓錐曲線中的證明與探究性問題證明問題運算求解邏輯思維綜合性直觀想象數學運算【命題規律與備考策略】本章內容命題形式多樣，在選擇題、填空題中主要考查圓錐曲線的定義、方程和幾何性質，解答題中主要考查直線、圓的方程及位置關系；直線與圓錐曲線的位置關系，涉及弦長、弦中點、定點、定值和取值范圍等問題，常與函數、不等式等知識綜合考查．對于雙曲線的有關性質考查多集中在雙曲線的漸近線和離心率上，關于拋物線的有關性質考查多側重于拋物線定義在求解與距離相關的最值問題中的轉化．結合本章的命題特點，復習過程中需注意以下幾點：①求解直線與圓的問題時，要注意圓的性質的應用，常采用幾何法求解，同時要注意與其他知識的交匯問題；②求解圓錐曲線方程時，需關注待定系數法與定義法的應用；③求解有關弦中點問題時，需關注點差法和根與系數的關系的應用；④求解定值、定點問題時，需注意求解思路與轉化方法．第一講直線的傾斜角、斜率與直線的方程知識梳理·雙基自測名師講壇·素養提升考點突破·互動探究提能訓練練案[48]知識梳理·雙基自測知

識

梳

理知識點一直線的傾斜角1．定義：當直線l與x軸相交時，我們取x軸作為基準，把x軸________與直線l________方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．當直線l與x軸平行或重合時，規定它的傾斜角為________.2．傾斜角的取值范圍為______________________.正向向上0°[0°，180°)知識點二直線的斜率1．定義：一條直線的傾斜角α的__________叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝______________，傾斜角是90°的直線斜率不存在．2．過兩點的直線的斜率公式經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝__________.正切值tanα3．直線的方向向量與斜率的關系(1，k)知識點三直線方程的五種形式y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b兩點式截距式過原點的A2＋B2≠0歸

納

拓

展1．直線的傾斜角α和斜率k之間的對應關系：α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0且α越大，k就越大不存在k<0且α越大，k就越大口訣：斜率變化分兩段，直角便是分界線；小正大負皆遞增，分類討論記心中．2．特殊直線的方程(1)過點P1(x1，y1)垂直于x軸的直線方程為x＝x1；(2)過點P1(x1，y1)垂直于y軸的直線方程為y＝y1；(3)過原點的直線的方程為x＝my.3．謹記以下幾點(1)“截距”是直線與坐標軸交點的坐標值，它可正，可負，也可以是零，而“距離”是一個非負數．求與截距有關的直線方程時應注意過原點的特殊情況是否滿足題意．(2)當直線與x軸不垂直時，可設直線的方程為y＝kx＋b；當不確定直線的斜率是否存在時，可設直線的方程為x＝my＋b.(3)A，B，C三點共線?kAB＝kAC(或kAB＝kBC，或kAC＝kBC)．(4)直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一個方向向量a＝(－B，A)．雙

基

自

測題組一走出誤區1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)坐標平面內的任何一條直線均有傾斜角與斜率．(

)(2)直線的傾斜角越大，其斜率就越大．(

)(3)斜率相等的兩直線的傾斜角一定相等．(

)(4)經過定點A(0，b)的直線都可以用方程y＝kx＋b表示．(

)(6)經過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(

)××√××√題組二走進教材B3．(選擇性必修1P67T7)過點P(2,3)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為__________________________________.3x－2y＝0或x＋y－5＝0題組三走向高考4．(2022·北京高考真題)若直線2x＋y－1＝0是圓(x－a)2＋y2＝1的一條對稱軸，則a＝(

)AD考點突破·互動探究直線的傾斜角與斜率——自主練透1.(2024·重慶重點中學月考)設直線l的方程x＋ycosθ＋2＝0(θ∈R)，則直線的傾斜角α的取值范圍是(

)DB3．已知曲線f(x)＝lnx的切線經過原點，則此切線的斜率為(

)C解法二(數形結合法)：在同一坐標系中作出曲線f(x)＝lnx及曲線f(x)＝lnx經過原點的切線，如圖所示，數形結合可知，切線的斜率為正，且小于1，故選C.4．若正方形一條對角線所在直線的斜率為2，則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為____________.[解析]

正方形OABC中，對角線OB所在直線的斜率為2，建立如圖直角坐標系，名師點撥：1.求傾斜角的取值范圍的一般步驟：①求出斜率k＝tanα的取值范圍，但需注意斜率不存在的情況；②利用正切函數的單調性，借助圖象或單位圓，數形結合確定傾斜角α的取值范圍．【變式訓練】A．(0,2] B．(0,4)C．[2,4) D．(0,2)∪(2,4)B2．(2024·河南創新發展聯盟聯考)過點P(1,1)作直線l，若直線l與連接A(2,3)，B(3，－1)兩點的線段總有交點，則直線l的斜率的取值范圍為(

)A直線的方程——師生共研2．已知三角形的三個頂點A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，則BC邊上中線所在的直線方程為______________________.x＋13y＋5＝03．與直線3x－4y－5＝0關于y軸對稱的直線的方程為______________________.3x＋4y＋5＝04．(多選題)(2024·陜西部分學校聯考)直線l經過點P(3，－2)，且在兩坐標軸上的截距的絕對值相等，則直線l的方程可能是(

)A．3x＋2y＝0 B．2x＋3y＝0C．x－y－5＝0 D．x＋y－1＝0BCD[引申]本例4中若去掉“絕對值”，則應選________.BD名師點撥：1．求解直線方程的方法(1)直接法——根據已知條件，選擇適當的直線方程形式，直接寫出直線方程．(2)待定系數法——①設所求直線方程的某種形式；②由條件建立所求參數的方程(組)；③解這個方程(組)求出參數；④把參數的值代入所設直線方程．2．謹防3個失誤(1)選用點斜式和斜截式時，注意討論斜率是否存在．(2)選用截距式時，注意討論直線是否過原點，截距是否存在、是否為0.(3)由一般式Ax＋By＋C＝0確定直線的斜率時，要注意討論B是否為0.求直線方程時，如果沒有特別要求，求出的直線方程應化為一般式Ax＋By＋C＝0，且A>0.【變式訓練】1．(2024·江西豐城中學月考)經過點P(1,2)，且在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍的直線l的方程是_______________________________.2x－y＝0和x＋2y－5＝0x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0直線方程的應用——多維探究已知直線l過點M(2,1)，且與x軸，y軸的正半軸分別相交于A，B兩點，O為坐標原點．求：(1)當△AOB面積最小時，直線l的方程；(2)當在兩坐標軸上截距之和取得最小值時，直線l的方程；(3)當|MA|·|MB|取最小值時，直線l的方程；(4)當|MA|2＋|MB|2取得最小值時，直線l的方程．名師點撥：求解與直線方程有關的最值問題，考查函數思想，即利用直線方程中x，y的關系，將問題轉化為關于x或y的函數，借助函數性質求解．或利用直線過已知點，則點的坐標適合直線方程，借助基本不等式求解(注意取最值時等號成立的條件)．【變式訓練】直線l過點M(1,2)，且分別與x，y軸正半軸交于A、B兩點，O為原點．求|OA|＋2|OB|的最小值及此時直線l的方程．名師講壇·素養提升定點問題1.(2022·浙江模擬改編)已知直線l：kx－y＋1＋3k＝0(k∈R)．(1)直線l過定點________________.(2)若直線l不過第一象限，則k的取值范圍為_______________.(3)若直線l交x軸負半軸于A，交y軸正半軸于B，則S△AOB最小時直線l的方程為____________________.(－3,1)x－3y＋6＝02．(多選題)(2024·江西豐城中學月考)已知點A(－2，－1)，B(2,2)，直線l：2ax－2y＋3a－3＝0上存在點P滿足|PA|＋|PB|＝5，則直線l的傾斜角可能為(

)BD名師點撥：確定方程含參數的直線所過定點的方法1．將直線方程寫成點斜式y－y0＝f(λ)(x－x0)，從而確定定點(x0，y0)．2