第07講有理數的乘方

【人教版】

·模塊一乘方的意義

·模塊二有理數的混合運算

·模塊三課后作業

模塊一乘方的意義

有理數的乘方:

（1）求n個相同因數的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做冪.

（2）負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；正數的任何次冪都是正數；0的任何正整數次冪都是0.

（3）a2是重要的非負數，即a2≥0；若a2+|b|=0a=0,b=0.

【考點1有理數的乘方的意義】

【例1.1】（2023七年級·全國·課堂例題）算式6×6×?×6可以表示為（）

10個6

A．610B．6×10C．6+10D．106

【答案】A

【分析】根據乘方的表示形式解答．

【詳解】解：算式6×6×?×6可以表示為610．

10個6

故選：A．

【點睛】本題考查了乘方的定義，乘方的表示方法，底數、指數的定義，熟記乘方的定義是解題的關鍵．

【例1.2】（2023七年級·河北廊坊·階段練習）(?3)5表示的意義是（）

A．?5乘3B．5個?3相乘C．5個?3相加D．3個?5相乘

【答案】B

【分析】本題考查的是乘方的意義，n個相同的因數a相乘，記作??，則(?3)5的表示的意義是5個?3相

乘．

第1頁共26頁.

【詳解】解：(?3)5的表示的意義是5個?3相乘．

故選：B．

3333

【例1.3】（七年級全國課堂例題）把×××寫成乘方的形式為，讀

2023··4444

作．

4

【答案】33的次方或3的次冪

44444

【分析】根據有理數的乘方的定義解答．

44

33333333

【詳解】解：×××=，讀作的次方或的次冪，

4444444444

4

故答案為：3，3的次方或3的次冪．

44444

【點睛】本題考查了有理數的乘方，理解乘方是乘法的特例是解題的關鍵．

【變式1.1】（2023七年級·天津北辰·期中）對于算式(?3)4，正確的說法是（）

A．3是底數，4是指數B．3是底數，4是冪

C．﹣3是底數，4是冪D．﹣3是底數，4是指數

【答案】D

【分析】根據??n中底數是a，指數是n，進行判斷便可．

【詳解】解：在(?3)4中，?3是底數，4是指數，(?3)4是冪，

故選：D．

【點睛】本題考查了有理數乘方，熟記有理數乘方表達式中各部分名稱是解題的關鍵

【變式1.2】（2023七年級·陜西渭南·期中）冪?43中的底數是s，指數是t，則??2?的值為．

【答案】?2

【分析】本題主要考查了冪的定義．根據“??中，a稱為底數，n稱為指數”，即可求解．

【詳解】解：∵冪?43中的底數是s，指數是t，

∴?=4,?=3，

∴??2?=4?2×3=?2．

故答案為：?2

【變式1.3】（2023七年級·河南信陽·期末）求n個相同因數的積的運算，叫做乘方，事實上乘方的計算也

是轉化為乘法進行計算，將式子?53寫成乘法算式的形式為．

【答案】?5×5×5

【分析】利用有理數的乘方運算與乘法運算的互化．

第2頁共26頁.

【詳解】解：?53=?5×5×5．

故答案為：?5×5×5．

【點睛】本題考查了有理數的乘法與有理數的乘方，解題的關鍵是掌握有理數的乘法與有理數的乘方運算

法則．

【考點2有理數乘方的運算】

【例2.1】（2023·浙江杭州·二模）?33=（）

A．?9B．9C．?27D．27

【答案】C

【分析】本題考查了有理數的乘方運算，關鍵是能準確理解乘方運算的意義．根據乘方運算的法則，即得

答案．

【詳解】?33=?27．

故選C．

2

【例2.2】（2023七年級·遼寧營口·期末）在?(?2)，?32，?|?4|，?2，(?1)2024中，負數共有個．

5

【答案】3

【分析】本題考查了有理數的分類、絕對值及乘方，化簡各數后即可求解.

24

【詳解】解：∵?(?2)=2，?32=?9，?|?4|=?4，?2=?，(?1)2024=1，

55

∴負數共有3個

故答案為：3

【例2.3】2023七年級·浙江·專題練習）計算：

(1)(?1)2023=；

(2)(?0.2)2=；

2

1

=；

(3)?2

4

1

=．

(4)?12

【答案】(1)?1

(2)0.04

1

(3)4

81

(4)16

第3頁共26頁.

【分析】根據有理數的乘方運算計算即可．

【詳解】（1）解：(?1)2023=?1；

故答案為：?1；

（2）解：(?0.2)2=0.22=0.04；

故答案為：0.04；

22

111

（）解：==；

3?224

故答案為：1；

4

444

11381

（）解：===．

4?1212216

故答案為：81．

16

【點睛】本題考查了有理數的乘方運算，熟練掌握有理數的乘方運算法則是解題關鍵.

【變式2.1】（2023七年級·安徽蕪湖·期中）不超過(?2.1)2的最大整數是．

【答案】4

【分析】本題主要考查了有理數的乘方計算，計算出(?2.1)2的結果即可得到答案．

【詳解】解；∵(?2.1)2=4.41，

∴不超過(?2.1)2的最大整數是4，

故答案為：4．

【變式2.2】（2023七年級·四川德陽·階段練習）下列計算中正確的是（）

233

382426327

A．?2=?B．??=C．?=D．?=?

327393275125

【答案】D

【分析】本題主要考查了有理數的乘方計算，熟知相關計算法則是解題的關鍵．

38

【詳解】解：A、?2=?，原式計算錯誤，不符合題意；

33

2

24

、?=?，原式計算錯誤，不符合題意；

B?39

3

28

、?=?，原式計算錯誤，不符合題意；

C327

3

327

、?=?，原式計算正確，符合題意；

D5125

故選：D．

第4頁共26頁.

【變式2.3】（2023七年級·全國·課后作業）火眼金睛（尋找錯誤并糾正）

3

計算：4．

3

【陷阱】________．

【答案】見解析

【分析】利用有理數的乘方運算法則即可求解．

【詳解】沒有正確分清底數，導致出錯．

34×4×464

【正解】4==．

333

【點睛】本題考查了有理數的乘方，熟練掌握其運算法則是解題的關鍵．

【考點3利用計算器計算有理數的乘方】

【例3.1】（2023七年級·全國·課后作業）用計算器求25的值時，按鍵順序是()

A．B．

C．D．

【答案】B

【分析】先按底數2，再按xy鍵，接著按指數，最后按等號即可．

【詳解】解：在計算器中，先按2，再按xy鍵，接著按5，最后按=即可．

故答案為B．

【點睛】本題主要考查了利用計算器進行數的乘方，掌握運用計算器求冪的方法是正確解答本題的關鍵．

【例3.2】（2023七年級·全國·課后作業）利用計算器，按照下列步驟按鍵，顯示結果為()

A．?10B．?32C．?2.5D．?7

【答案】B

【分析】本題要求同學們能熟練應用計算器，會用科學記算器進行計算．

【詳解】解：由圖可得出，(?2)5=?32．

第5頁共26頁.

故選B．

【點睛】本題主要考查了學生用計算器計算求值，解題的關鍵是知道負數的奇次冪是負數．

【例3.3】（2023七年級·河北唐山·期中）通過計算器計算發現：112=121，1112=12321，11112

=1234321……，按照以上的規律計算11111112的結果是（）

A．123454321B．1234564321

C．1234567654321D．123456787654321

【答案】C

【分析】根據已知條件可以得到這樣的規律：對于由1組成的數字，當平方后最中間的數字是幾，這個數

字就是由幾個1組成．

【詳解】解：根據已知條件可以得到這樣的規律：11的平方是121，中間的數字是2，111的平方是

12321，中間的數字是3，……由此可以推斷出：對于由1組成的數字，當平方后最中間的數字是幾，這個

數字就是由幾個1組成；所以11111112的結果是1234567654321，

故選C．

【點睛】本題主要考查了觀察式子找規律，找到對于由1組成的數字，當平方后最中間的數字是幾，這個

數字就是由幾個1組成的規律是解題的關鍵．

【變式3.1】（2023七年級·山東煙臺·期中）若用課本上的計算器進行計算，按鍵順序如下，則計算結果是．

【答案】36

【分析】本題考查了計算器計算，根據題意，得(?6)2=36，解答即可．

【詳解】根據題意，得(?6)2=36，

故答案為：36．

【變式3.2】（2023·山東臨沂·一模）用型號為“大雁牌???570”的計算器計算(?2)10，按鍵順序正確的是

（）

A．((?)2)10=B．((?)2)×10=

C．(?)2??10=D．((?)2)??10=

【答案】D

【分析】本題考查了計算器，解答本題的關鍵是明確計算器的按鍵順序．

根據題意，寫出正確的按鍵順序，從而可以解答本題．

【詳解】解：由題意知，按鍵順序正確的是((?)2)??10，

第6頁共26頁.

故選：D．

【變式3.3】（2023七年級·全國·專題練習）用計算器計算：

（1）(?11)6；（2）167；（3）8.43；（4）(?5.6)3．

【答案】（1）1771561；（2）268435456；（3）592.704；（4）?175.616．

【分析】直接用計算器進行計算，即可求解．

【詳解】解：（1）(?11)6=1771561；

（2）167=268435456；

（3）8.43=592.704；

（4）(?5.6)3=?175.616．

【點睛】本題主要考查了有理數的乘方，熟練掌握計算器的功能，懂得操作，并注意有理數的乘方時的符

號問題是解題的關鍵．

【考點4冪的性質】

【例4.1】（2023七年級·全國·課后作業）任何一個有理數的偶次冪必是（）

A．負數B．零或正數C．正數D．零或負數

【答案】B

【分析】根據偶次方的非負性即可得出結論．

【詳解】解：任何一個有理數的偶次冪必是零或正數

故選B．

【點睛】此題考查的是有理數的乘方，掌握偶次方的非負性是解決此題的關鍵．

【例4.2】（2023七年級·陜西咸陽·期中）在(?5)4,(?5)5,?(?5)6,?|?(?5)7|中，負數有（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

【答案】C

【分析】根據乘方及絕對值確定各式的符號即可求解．

【詳解】(?5)4=54，是正數；

(?5)5=?55，是負數；

?(?5)6=?56，是負數；

?|?(?5)7|=?57，是負數．

故選：C

【點睛】本題考查的是有理數乘方的符號，掌握負數的偶次冪是正數，負數的奇次冪是負數是關鍵．

第7頁共26頁.

【例4.3】（2023七年級·江蘇南京·階段練習）已知?為正整數，計算(?1)2??(?1)2?+1的結果是（）

A．1B．-1C．0D．2

【答案】D

【分析】根據有理數乘方運算法則進行計算即可．

【詳解】解：(?1)2??(?1)2?+1=1+1=2，

故選：D．

【點睛】本題考查了有理數的乘方，熟練掌握有理數的乘方運算法則以及乘方的符號規律是解本題的關鍵．

【變式4.1】（2023七年級·河南漯河·階段練習）當整數?為時，(?1)?=?1；若?是正整數，則

(?1)?+(?1)?+1=．

【答案】奇數0

【分析】?1的奇次方為?1，?1的偶次方為1；再分類討論即可得到答案．

【詳解】解：當整數?為奇數時，(?1)?=?1；

當整數?為奇數時，則?+1為偶數，

∴(?1)?+(?1)?+1=?1+1=0，

當整數?為偶數時，則?+1為奇數，

(?1)?+(?1)?+1=1?1=0；

故答案為：奇數，0

【點睛】本題考查的是負1的奇次方與偶次方，熟記乘方的含義與乘方的符號確定方法是解本題的關鍵．

【變式4.2】（2023七年級·山東臨沂·階段練習）l米長的小棒，第1次截止一半，第2次截去剩下的一半，

如此下去，第5次后剩下的小棒長為（）米

．1．1．1．1

A12B32C64D128

【答案】B

【分析】根據題意列出算式，計算即可得到結果．

11

【詳解】解：根據題意知第次后剩下的小棒長為（）5＝，

5232

故選：B．

【點睛】此題考查了有理數的乘方，熟練掌握乘方的意義是解本題的關鍵．

【變式4.3】（2023七年級·山東淄博·階段練習）已知a＝110，b＝（﹣2）6，c＝（﹣3）5，則a，b，c的大

小關系為（）

第8頁共26頁.

A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜b＜aD．c＜a＜b

【答案】D

【分析】先根據有理數的乘方的運算化簡，然后再比較大小即可．

【詳解】解：∵a＝110＝1，b＝（﹣2）6＝26，c＝（﹣3）5＝﹣35，

∴c＜a＜b．

故選：D．

【點睛】本題主要考查了有理數乘方的運算，掌握有理數乘方運算的符號規律成為解答本題的關鍵．

【規律方法綜合練】

【題型1】（2023七年級·浙江杭州·期末）如果?2013+?2013=0，那么下列等式一定成立的是（）

A．(?+?)2013=0B．(???)2013=0C．(???)2013=0D．(|?|+|?|)2013=0

【答案】A

【分析】先判斷出a、b互為相反數，再根據互為相反數的兩個數的和等于0解答．

【詳解】解：∵a2013+b2013=0，

∴a、b互為相反數，

∴a+b=0，

∴（a+b）2013=0．

故選：A．

【點睛】本題考查了有理數的乘方，根據題意判斷出a、b互為相反數是解題的關鍵

【題型2】（2023七年級·全國·課后作業）（1）計算0.12,12,102,1002，觀察這些結果，底數的小數點向左

（右）移動一位時，平方數小數點有什么移動規律？

（2）計算0.13,13,103,1003．觀察這些結果，底數的小數點向左（右）移動一位時，立方數小數點有什么移

動規律？

（3）計算0.14,14,104,1004．觀察這些結果，底數的小數點向左（右）移動一位時，四次方數小數點有什么

移動規律？

【答案】（1）0.12=0.01,12=1,102=100,1002=10000．可以發現，底數的小數點向左（右）移動一位

時，平方數小數點向左（右）移動兩位．

（2）0.13=0.001,13=1,103=1000,1003=1000000．可以發現，底數的小數點向左（右）移動一位時，

立方數小數點向左（右）移動三位．

（3）0.14=0.0001,14=1,104=10000,1004=100000000．可以發現，底數的小數點向左（右）移動一位

第9頁共26頁.

時，四次方數小數點向左（右）移動四位．

【分析】（1）計算出平方數，觀察底數的小數點移動規律與平方數小數點移動的規律即可完成；

（2）計算出立方數，觀察底數的小數點移動規律與立方數小數點移動的規律即可完成；

（3）計算出四次方數，觀察底數的小數點移動規律與四次方數小數點移動的規律即可完成；

【詳解】（1）0.12=0.01,12=1,102=100,1002=10000，發現：當底數的小數點每向左（右）移動一位

時，平方數的小數點則向左（右）移動丙位；

（2）0.13=0.001,13=1,103=1000,1003=1000000．發現：當底數的小數點每向左（右）移動一位時，

立方數小數點向左（右）移動三位．

（3）0.14=0.0001,14=1,104=10000,1004=100000000．發現：當底數的小數點每向左（右）移動一位

時，四次方數小數點向左（右）移動四位．

【點睛】本題考查了乘方的計算，觀察與歸納能力，體現了由特殊到一般的數學思想．

【題型3】（2023七年級·全國·課堂例題）求出下列各組中兩個算式的值，找出兩個算式之間的關系．

33

11

（）×3與；

1222×2

33

11

（）×3與；

2?34?3×4

（3）(?1)4×24與(?1×2)4；

（4）(?5)2×42與(?5×4)2．

利用所得規律計算：(?0.25)2023×42024．

【答案】見解析

【分析】先分別求出各個式子，再根據結果即可總結出規律，然后根據規律即可得出答案．

3333

1111

【詳解】解：（）×3=1,=1,×3=．

1222×2222×2

3333

16416411

（）×3=?，=?，×3=．

2?3427?3×427?34?3×4

（3）(?1)4×24=16,(?1×2)4=16，(?1)4×24=(?1×2)4．

（4）(?5)2×42=400,(?5×4)2=400，(?5)2×42=(?5×4)2．

由上述可得，兩個數的相同次冪的積等于這兩個數乘積的相同次冪，即??·??＝(??)?(m為正整數)．

∴(?0.25)2023×42024=(?0.25)2023×42023×4=(?0.25×4)2023×4=?4．

【點睛】本題考查了有理數冪的計算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．

【拓廣探究創新練】

【題型1】（2023七年級·全國·專題練習）下列各數中，數值相等的有（）

第10頁共26頁.

216

①32與23；②?23與(?2)3；③?(?0.1)3與0.001；④?22與(?2)2；⑤?32與(?3)2；⑥4與；⑦(?1)11

525

與?1．

A．1個B．2個C．3個D．4個

【答案】C

【分析】根據有理數的乘方運算法則即可求出答案．

【詳解】解：①32=9，23=8，故①不符合題意，

②?23=(?2)3=?8，故②符合題意，

③?(?0.1)3=0.001，故③符合題意，

④?22=?4，(?2)2=4，故④不符合題意，

⑤?32=?9，(?3)2=9，故⑤不符合題意，

21616

⑥4=≠，故⑥不符合題意，

5525

⑦(?1)11=?1，故⑦符合題意，

綜上所述，符合題意的有三個．

故選：C．

【點睛】本題考查有理數的乘方，解題的關鍵是熟練運用有理數的乘方運算法則．

【題型2】（2023七年級·黑龍江齊齊哈爾·期中）如果n是正整數，那么?[1?(?1)?]的值（）

A．一定是零B．一定是正偶數C．一定是正奇數D．是零或正偶數

【答案】D

【分析】分為兩種情況當n是偶數時，當n是奇數時，求出即可．

【詳解】解：當n是偶數時，原式=?(1?1)=0，

當n是奇數時，原式=??(1+1)=2?，是正偶數．

故選：D．

【點睛】本題考查了有理數的乘方的應用，注意要進行分類討論是解決本題的關鍵．

【題型3】（2023七年級·河南開封·期末）式子：|?|，?+1，?2?1，?2，?2+1，(???)3的值一定為正數的

有（）

A．1個B．2個C．3個D．以上答案都不對

【答案】A

【分析】根據絕對值和偶次方的非負數性質，有理數的乘方的定義以及大于0的數是正數進行判斷即可．

第11頁共26頁.

【詳解】當?=0時，|?|=0，0不是正數．

當?≤?1時，?+1不是正數．

當?1≤?≤1時，?2?1≤0不是正數．

當?=0時，?2=0，0不是正數．

∵?2≥0

∴?2+1＞0是正數．

當???＜0時，(???)3＜0

∴一定為正數的有1個．

故本題選A．

【點睛】本題主要考查了正數和負數以及絕對值，掌握絕對值和偶次方的非負數性質是解答

模塊二有理數的混合運算

有理數的混合運算:

混合運算的順序：①先乘方，再乘除，最后加減；②同級運算，從左到右進行；③如有括號，先做括

號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行.

【考點1有理數的加、減、乘、除、乘方混合運算】

【例1.1】（2023七年級·山東聊城·期中）在數學課上，老師讓甲、乙，丙、丁四位同學分別做了一道有理

數運算題，你認為做對的同學是（）

甲：9?32÷8=0÷8=0

乙：24?(4×32)=24?4×6=0

3222

丙：÷=×=36×?12×=16

(36?12)2(36?12)333

2

丁：2÷×3=9÷1=9

(?3)3

A．甲B．乙C．丙D．丁

【答案】C

【分析】本題考查有理數混合運算，據甲乙丙丁的式子計算出正確的結果，從而解答本題即可．

963

【詳解】解：9?2÷8=9?9÷8=9?=，故甲的做法是錯誤的；

388

第12頁共26頁.

24?(4×32)=24?4×9=24?36=?12，故乙的做法是錯誤的；

3222

÷=×=36×?12×=24?8=16，故丙的做法正確；

(36?12)2(36?12)333

2381

2÷×3=9××3=，故丁的做法錯誤；

(?3)322

綜上分析，做的對的是丙同學．

故選：C．

【例1.2】（2023七年級·河北滄州·期中）右面是一個“數值轉換機”的示意圖．若?=4，則輸出結果為

（）

A．?80B．?75C．85D．?85

【答案】B

【分析】此題考查有理數的混合運算，根據計算程序列式計算即可，正確理解計算程序圖是解題的關鍵．

【詳解】解：由題意得42×(?5)+5=?80+5=?75

故選：B．

1

【例1.3】（七年級山東濰坊期中）如圖，把面積為的正方形進行分割，觀察其規律，可得算式+

2023··12

23478

11111

+++…++再加上（）后，結果就是．

222221

1111

A．B．C．D．

25262728

【答案】D

【分析】本題考查有理數的混合運算、規律性，解答本題的關鍵是明確題意，發現式子的特點，利用數形

結合的思想解答．

234??

111111

根據圖形可知+++…++=1

222222

【詳解】解：由圖可知，

第13頁共26頁.

234788

1111111

+++…++在加上后，結果就是

22222221

故選：D

【變式1.1】（2023七年級·山西朔州·階段練習）在式子“?23○(?1)2中”的“○”內填入下列運算符號，計算后

結果最大的是（）

A．+B．-C．×D．÷

【答案】A

【分析】

分別按各選項求出結果，然后比較即可．

【詳解】

解：∵?23=?8，(?1)2=1

∴-8+1=-7，-8-1=-9，-8×1=-8，-8÷1=-8，

∵-7＞-8=-8＞-9，

∴計算結果最大的是-7．

故選：A．

【點睛】本題主要考查了有理數的乘方和混合運算，掌握??表示n個a相乘是解題的關鍵．

2

49

【變式1.2】（七年級陜西商洛期末）計算：?3+×?(?3.2)÷0.4．

2023··334

【答案】?15

【分析】此題考查了有理數的運算，原式先計算乘方運算，再計算乘除運算，最后加減運算即可.

2

49

【詳解】解：?3+×?(?3.2)÷0.4

334

169

=?27+×+8

94

=?27+4+8

=?15

5

【變式1.3】（七年級廣東廣州開學考試）一段鐵絲，第一次剪下全長的，第二次剪下的長度與第一

2023··9

次剪下的長度的比是9:20，還剩7米，這段鐵絲全長（）

A．12米B．24米C．32米D．36米

【答案】D

【分析】本題考查了有理數混合運算的應用，正確理解第二次剪下的長度在全長的占比是解題關鍵．根據

第14頁共26頁.

559151

題意可知，第一次剪下全長的，第二次剪下全長的×=，則此時還剩下全長的1??，據此列式即可

9920494

得出答案．

【詳解】解：7÷559

1?9?9×20

51

=7÷1??

94

7

=7÷

36

=36（米）

即這段鐵絲全長36米，

故選：D．

【規律方法綜合練】

【題型1】（2023七年級·北京·期末）按如圖所示的程序進行計算，如果把第一次輸入的數是20，而結果不

大于100時，就把結果作為輸入的數再進行第二次運算，直到符合要求為止，請求出最后輸出的結果．

【答案】320

【分析】本題考查程序流程圖與有理數的計算．根據流程圖列出算式，進行計算即可．掌握的列出算式，

是解題的關鍵．

2

1111

【詳解】解：把20代入程序中得：20×÷=20×÷=?40，

|?2|??22?4

21

把?40代入程序中得：?40×1÷1=?40×÷1=80，

|?2|??22?4

2

1111

把80代入程序中得：80×÷=80×÷=?160，

|?2|??22?4

21

把?160代入程序中得：?160×1÷1=?160×÷1=320>100，

|?2|??22?4

則最后輸出的結果為320．

【題型2】（2023·四川達州·七年級期末）在我國古書《易經》中有“上古結繩而治”的記載，它指“結繩記事”

或“結繩記數”．如圖，一遠古牧人在從右到左依次排列的繩子上打結，滿6進1，用來記錄他所放牧的羊的

只數，由圖可知，他所放牧的羊的只數是（）

第15頁共26頁.

A．1234B．310C．60D．10

【答案】B

【分析】本題考查了有理數的運算，根據計數規則可知，從右邊第1位的計數單位為60，右邊第2位的計

數單位為61，右邊第3位的計數單位為62，右邊第4位的計數單位為63，……，依此類推，可求出結果．

【詳解】解：根據題意得：

1×63+2×62+3×61+4×60=310（只），

答：他所放牧的羊的只數是310只．

故選：B．

【題型3】（2023七年級·全國·課堂例題）觀察下面三行數：

第一行數：2,?4,8,?16,32,?64,?；

第二行數：0,?6,6,?18,30,?66,?；

第三行數：1,?2,4,?8,16,?32,?．

(1)第一行數按什么規律排列？

(2)第二行、第三行數與第一行數分別有什么關系？

(3)取每行數的第8個數，計算這三個數的和．

【答案】(1)第一行數是?(?2),?(?2)2，?(?2)3,?(?2)4,?

(2)第二行的每個位置上的數是第一行相應位置上的數減2得到的，第三行的每個位置上的數是第一行相應

位置上的數除以2得到的

(3)?642

【分析】（1）根據第一行數可知，后一個數是前一個數的?2倍，即可解答；

（2）根據兩行數之間對比即可得到關系；

（3）利用（1）（2）的規律列式計算即可．

【詳解】（1）解：第一行數是?(?2),?(?2)2，?(?2)3,?(?2)4,?．

（2）解：第二行的每個位置上的數是第一行相應位置上的數減2得到的，第三行的每個位置上的數是第一

行相應位置上的數除以2得到的．

第16頁共26頁.

（3）解：第一行的第8個數是?(?2)8=?256，故每行數的第8個數的和為?256+(?256?2)+(?256÷2)

=?256?258?128=?642．

【點睛】此題考查了有理數的規律運算，有理數的混合運算，正確掌握各數之間的關系并利用關系解決問

題是解題的關鍵．

【拓廣探究創新練】

【題型1】（2023七年級·新疆克孜勒蘇·期末）現定義兩種新運算“△”和“⊙”，對任意有理數a，b，規定：

?△?=?+??1，?⊙?=????2，例如：1△(?1)=1+(?1)?1=?1，1⊙(?1)=1×(?1)?12=?2，

那么(2)⊙[8△(3)]=．

【答案】16

【分析】本題主要考查定義新運算，有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．根據題意中的

新定義計算即可得到答案．

【詳解】解：∵?△?=?+??1，?⊙?=????2，

∴(2)⊙[8△(3)]=2⊙[8+3?1]

=2⊙10

=2×10?22

=20?4

=16．

故答案為：16．

【題型2】（2023七年級·山東聊城·期中）閱讀材料：求1+2+22+23+24+?+22013的值．

解：設?=1+2+22+23+24+?+22012+22013，將等式兩邊同時乘2得：

2?=2+22+23+24+25+?+22013+22014

將下式減去上式得2???=22014?1即?=22014?1

即1+2+22+23+24+?+22013=22014?1

請你仿照此法計算：

(1)1+2+22+23+24+?+22024

(2)1+3+32+33+34+?+3?（其中?為正整數）．

【答案】(1)22025?1

1?+1

(2)2(3?1)

第17頁共26頁.

【分析】本題考查的是探索運算規律題，根據已知材料中的方法，探索出運算規律是解決此題的關鍵．

（1）設?=1+2+22+23+24+?+22024，兩邊乘以2后得到關系式，與已知等式相減，變形即可求出

所求式子的值；

（2）設?=1+3+32+33+34+?+3?，兩邊乘以3后得到關系式，與已知等式相減，變形即可求出所

求式子的值．

【詳解】（1）解：設?=1+2+22+23+24+?+22024，

將等式兩邊同時乘2得：2?=2+22+23+24+?+22024+22025，

將下式減去上式得：2???=22025?1，即?=22025?1，

則1+2+22+23+24+?+22024=22025?1；

（2）解：設?=1+3+32+33+34+?+3?①，

兩邊同時乘3得：3?=3+32+33+34+?+3?+3?+1②，

1

得：3???=?+1?1，即2?=?+1?1，則?=?+1

②-①332(3?1)

1

則1+3+2+3+4+?+?=?+1．

33332(3?1)

【題型3】（2023七年級·浙江·專題練習）閱讀下列材料，并解決后面的問題．

材料：一般地，?個相同的因數?相乘：?·?...?記為??．如23=8，此時，3叫做以2為底8的對數，記為

?

?個

?

log28（即log28=3)．一般地，若?=?(?>0且?≠1，?>0)，則?叫做以?為底?的對數，記為log??（即

4

log??=?)．如3=81，則4叫做以3為底81的對數，記為log381（即log381=4)．

問題：

(1)計算以下各對數的值：log24=；log216=；log264=．

(2)通過觀察（1），請直接寫出log24、log216、log264之間滿足的等量關系是．

(3)請你求出log696+log681的值：

【答案】(1)2，4，6

(2)log24+log216=log264

(3)5

【分析】此題考查定義新運算，掌握運算的方法，找出計算的規律解決問題．

（1）根據對數的定義求解；

（2）認真觀察，不難找到規律：4×16=64，log24+log216=log264；

第18頁共26頁.

（3）利用（2）得出結論：log??+log??=log?(??)，進一步計算得出答案即可．

【詳解】（1）解：∵22=4，

∴log24=2，

∵24=16，

∴log216=4，

∵26=64，

∴log264=6；

（2）解：∵4×16=64，log24=2，log216=4，log264=6；

∴log24+log216=log264；

（3）解：log696+log681=log696×81=log67776；

∵65=7776，

∴log67776=5．

∴log696+log681=5．

模塊三課后作業

1．（2023七年級·安徽安慶·期末）下列說法正確的是（）

A．?28的底數是?2B．25表示5個2相加

3

C．(?3)3與?33意義相同D．?2的底數是2

3

【答案】D

【分析】本題主要考查了有理數的乘方．根據乘方的意義，進行判斷即可．

【詳解】解：A、∵?28的底數是2，∴此選項的說法錯誤，故不符合題意；

B、∵25表示5個2相乘，∴此選項的說法錯誤，故不符合題意；

C、∵(?3)3表示3個(?3)相乘，?33表示3個3相乘的相反數，∴它們表示的意義不同，故不符合題意；

3

D、∵?2的底數是2，∴此選項的說法正確，故此選項符合題意，

3

故選：D．

2．（2023七年級·全國·課堂例題）當?＜0時，下列式子：①?2023<0；②?2023=?(??)2023；③?2024=

(??)2024；④?2023=??2023中，成立的有（）

A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④

【答案】A

第19頁共26頁.

【分析】根據負數的奇次冪是負數，偶次冪是正數即可解答．

【詳解】解：當?＜0時，

?2023是負數，故①正確；

?(??)2023=?2023，(??)2023=??2023故②正確，④錯誤；

?2024=(??)2024，故③正確；

綜上所述，①②③正確．

故選：A．

【點睛】本題主要考查了有理數乘方的符號規律，掌握有理數乘方的符號規律：一個負數的奇次冪是負數，

一個負數的偶次冪是正數．

3．（2023七年級·浙江溫州·期中）小明的????文檔中有一個如圖1的實驗中學????，他想在這個????文

檔中用1000個這種????，設計出一幅如圖2樣式的圖案．他使用“復制?粘貼”（用鼠標選中????，右鍵點

擊“復制”，然后在本????文檔中“粘貼”)的方式完成，則他需要使用“復制?粘貼”的次數至少為（）

A．9次B．10次C．11次D．12次

【答案】B

【分析】本題考查了有理數的乘方，理解題意是解題的關鍵．根據復制粘貼呈2倍的速度增加，所以求2

的冪運算．

【詳解】解：∵210=1024>1000，29=512<1000，

故選：B

2

．（廣東梅州一模）計算：2×?4÷(?2)=（）

42023··(?3)3

A．?8B．8C．?4D．4

【答案】B

【分析】本題考查了含乘方的有理數運算，先計算乘方，再按照有理數運算順序計算即可．

2

【詳解】解：原式=9×+2=8

3

故選：B．

5．（2023七年級·湖南郴州·期末）按下列程序計算，如果輸入?1，則輸出的結果是（）

第20頁共26頁.

A．4B．5C．?8D．?4

【答案】A

【分析】本題考查了程序流程圖與有理數混合運算；

先根據程序流程圖列出算式，再根據有理數混合運算的運算順序和法則計算即可．

【詳解】解：輸入?1時，

可得(?1+3)×(?2)÷(?1)3

=2×(?2)÷(?1)

=?4÷(?1)

=4，

故選：A．

6．（2023七年級·上海·階段練習）計算：(?1)100?110+(?2)2+(?22)=．

【答案】0

【分析】本題主要考查了含乘方的有理數混合計算，先計算乘方，再計算加減法即可得到答案．

【詳解】解：(?1)100?110+(?2)2+(?22)

=1?1+4+(?4)

=1?1+4?4

=0，

故答案為：0．

7．（2023七年級·四川成都·期中）已知a，b滿足2?=?3=64，那么?+?=．

【答案】10

【分析】本題考查有理數的乘方等知識．利用有理數的乘方求出?，?的值，再代入計算即可求解．

【詳解】解：∵2?=?3=64，

∴?=6，?=4，

∴?+?=10．

故答案為：10．

3

．（七年級上海專題練習）底數是，指數是的冪寫成．

82023··52

2

【答案】3

5

第21頁共26頁.

【分析】本題考查了冪的概念，根據冪的書寫規則即可求解．注意分數為底時，需要把底數加括號．

2

【詳解】解：底數為3，指數為，寫成3，

525

2

故答案為：3．

5

9．（2023七年級·河北石家莊·期中）若（x+1）2+|y﹣2020|＝0，則2020﹣xy＝．

【答案】2019

【分析】直接利用絕對值和偶次方的性質得出x，y的值，代入計算即可得出答案．

【詳解】解：∵(x+1)2+|y-2020|=0，

∴x+1=0，y-2020=0，

解得：x=-1，y=2020，

所以2020-xy=2020-(-1)2020=2020-1=2019．

故答案為：2019．

【點睛】本題主要考查了非負數的性質，能夠正確得出x，y的值是解題的關鍵．

10．（2023七年級·上海黃浦·期中）若規定用[?]表示不超過?的最大的整數，如[3.27]=3，[?1.4]=?2，

3

計算：?+×3．

[4.6][?3]14[?0.5]

【答案】6

【分析】本題主要考查了新定義，含乘方的有理數混合計算，根據新定義得到?+3×3

[4.6][?3]14[?0.5]

=4?(?3)+1×(?0.125)，據此計算求解即可。

【詳解】解：∵規定用[?]表示不超過?的最大的整數，

∴?+3×3

[4.6][?3]14[?0.5]

=4?(?3)+1×(?0.125)

=4+3+1×(?1)

=7?1

=6，

故答案為：6．

11．（2023七年級·黑龍江哈爾濱·階段練習）計算：

(1)?12÷2?2×(?3)+(?1)2024

(2)(?3)2×5?(?2)3÷8

第22頁共26頁.

【答案】(1)1

(2)46

【分析】本題考查有理數的混合運算．

（1）先運算有理數的乘方，然后運算有理數的乘除，最后運算加減計算即可；

（2）先運算有理數的乘方，然后運算有理數的乘除，最后運算加減計算即可

【詳解】（1）解：?12÷2?2×(?3)+(?1)2024

=?6?(?6)+1

=?6+6+1

=1；

（2）(?3)2×5?(?2)3÷8

=9×5?(?8)÷8

=45?(?1)

=46

12．（2023七年級·全國·課后作業）判斷下列各式計算結果的正負：

（1）(?6)12；

（2）(?0.0033)9；

（3）?58；

11

（）2．

4?5

【答案】（1）正；（2）負；（3）負；（4）負

【分析】根據有理數乘方的符號規律解答即可．

【詳解】解：（1）(?6)12的指數是12，為偶數，根據負數的偶次冪是正數，可知(?6)12的結果為正；

（2）(?0.0033)9的指數是9，為奇數，根據負數的奇次冪是負數，可知(?0.0033)9的結果為負；

（3）?58表示的是58的相反數，根據正數的任何次冪都是正數，可知58的結果為正，所以?58的結果為負；

1111

（）2的指數是，為奇數，根據負數的奇次冪是負數，可知2的結果為負．

4?511?5

【點睛】本題主要考查了有理數乘方的符號規律，掌握負數的偶次冪為正、奇次冪為負成為解答本題的關

鍵．