2024-2025學年重慶市梁平區高三上學期11月月考數學檢測試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.一質點A沿直線運動，其位移單位：與時間單位：之間的關系為，則質點A在時的瞬時速度為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據題意，求出函數的導數，將代入計算可得答案．【詳解】因為，所以時，，即質點A在時的瞬時速度為.故選：C2.已知命題p：，，命題q：，，則（）A.p和q都是真命題 B.和q都是真命題C.p和都是真命題 D.和都是真命題【正確答案】B【分析】先判斷出命題，的真假，再結合命題的否定的概念可得結論．【詳解】對于p而言，，故p是假命題，是真命題.對于q而言，，，故q是真命題，是假命題.綜上，和q都是真命題.故選：B.3.已知直線與，若，則，之間的距離是（）A B. C. D.【正確答案】C【分析】利用兩直線平行可得，即可根據平行線間距離公式求解.【詳解】由于，故，解得，故與，故兩直線間距離為，故選：C4.若成等差數列；成等比數列，則等于A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用等差數列以及等比數列的性質求出等差數列的公差，等比數列的公比，然后計算求解即可．【詳解】若1，a1，a2，4成等差數列，4＝1+3d，d＝1，∴a1﹣a2＝﹣1．又1，b1，b2，b3，4成等比數列，b22＝1×4，解得b2＝2，b2＝﹣2舍去（等比數列奇數項的符號相同）．∴故答案為A．本題考查等比數列的通項公式，是基礎的計算題，對于等比等差數列的小題，常用到的方法，其一是化為基本量即首項和公比或者公差，其二是觀察各項間的腳碼關系，即利用數列的基本性質.5.現從環保公益演講團的6名教師中選出3名，分別到三所學校參加公益演講活動，則甲、乙2名教師不能到學校，且丙教師不能到學校的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】結合排列組合知識，以及古典概型概率公式即可求得解【詳解】6名教師選出3人分別到三所學校的方法共有種.甲、乙2名教師不能到學校，且丙教師不能到學校的：第一種情況：若丙去校，有種選法；第二種情況，若丙不去校，則校有種選法，校有種選法，校有種選法，共有種，所以一共有種.所以由古典概型可得，所求概率.故選：D.6.已知銳角，角的對邊分別，且，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】利用正弦定理化簡已知條件，由此求得的值，進而求得B的大小.再利用正弦定理和兩角差的正弦公式，求得的表達式，進而求得的取值范圍.【詳解】由題設知，，由正弦定理得，即,又，所以，所以，得，所以，又，即，又銳角，所以，所以，所以，即，所以的取值范圍是.故選：A7.已知是直線上一點，M，N分別是圓和上的動點，則的最小值是（）A.7 B.8 C.9 D.10【正確答案】D【分析】先由兩圓的標準方程，求出圓心和半徑，然后判斷兩圓與直線的位置關系，求出圓心關于直線的對稱點，則當，，三點共線且經過兩圓圓心時，取最小值，求解即可．【詳解】圓，則圓心，圓，則圓心，兩圓心在直線的同側.又圓心到直線的距離，圓心到直線l的距離，則兩圓在直線l的同側且與直線相離，如圖所示，設圓心關于直線的對稱點為，則，解得，所以，，當且僅當三點共線時等號成立；即的最小值為．故選：D.8.北宋科學家沈括在《夢溪筆談》中記載了“隙積術”，提出長方臺形垛積的一般求和公式.如圖，由大小相同的小球堆成的一個長方臺形垛積的第一層有個小球，第二層有個小球，第三層有個小球……依此類推，最底層有個小球，共有層，由“隙積術”可得這些小球的總個數為若由小球堆成的某個長方臺形垛積共8層，小球總個數為240，則該垛積的第一層的小球個數為（）A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】B【分析】轉化題給條件為，再由皆為正整數分類討論即可求解.【詳解】由題意知，，于是得最底層小球的數量為，即，.從而有，整理得，，，，，由于皆為正整數，所以（i）當時，，當時，，（iii）當時，，（iv）當時，只有符合題意，即的值為2.故選：B.關鍵點點睛：本題主要考查新文化背景下的數列問題，確定是解決本題的關鍵.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的的6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列對二項式展開式的說法正確的是：（）.A.第3項的系數為40 B.第4項的二項式系數為10 C.不含常數項 D.系數和為32【正確答案】BC【分析】寫成展開式的通項，利用通項判斷A、B、C；令判斷D.【詳解】二項式展開式的通項為，，所以第3項的系數為，故A錯誤；第4項的二項式系數為，故B正確；令，解得，又，所以展開式不含常數項，故C正確；令可得系數和為，故D錯誤.故選：BC10.已知等差數列和的前n項和分別為和，且，，則下列結論正確的有（）A.數列是遞增數列 B.C.使為整數的正整數n的個數為0 D.的最小值為【正確答案】ACD【分析】化簡已知等式由函數的單調性可得A正確；取反例結合等差數列的求和公式可得B錯誤；化簡已知等式可得C正確；結合等差數列的求和公式判斷為遞增數列，再討論的取值可得D正確；【詳解】對于A，，所以數列是遞增數列，故A正確；對于B，若，則，，所以，故B錯誤；對于C，由可知無整數，故C正確；對于D，因為和是等差數列，且前n項和分別為和，所以，所以遞增，所以最小值為時，為，故D正確；故選：ACD.11.純音的數學模型是函數，但我們平時聽到的樂音不止是一個音在響，而是許多個音的結合，稱為復合音.復合音的產生是因為發聲體在全段振動，產生頻率為的基音的同時，其各部分，如二分之一?三分之一?四分之一部分也在振動，產生的頻率恰好是全段振動頻率的倍數，如等.這些音叫諧音，因為其振幅較小，我們一般不易單獨聽出來，所以我們聽到的聲音函數是.記，則下列結論中正確的是（）A.為的一條對稱軸 B.的最小正周期為C.的最大值為 D.關于點中心對稱【正確答案】BCD【分析】根據可判斷選項A；根據可判斷選項B；利用導數研究函數的最值的方法及三角恒等變換即可判斷選項C；根據可判斷選項D.【詳解】因為，，所以，則不為的一條對稱軸，故選項A不正確；因為，所以，則的周期為，而的最小正周期為2π，故的最小正周期為2π，故選項B正確；因為所以又因為所以的周期為.故只考慮函數在上的最大值即可.令，得：或或或；令，得：或者或；所以函數在，，和上單調遞增；在，和上單調遞減.又因為，，，所以的最大值為，故選項C正確；因為，所以，則關于點中心對稱，故選項D正確.故選：BCD三、填空題；本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知是單調遞增的等比數列，，則公比q的值是__________．【正確答案】2【分析】根據等比數列的定義與性質求解.【詳解】由等比數列性質知，聯立，解得或，因為是單調遞增的等比數列，所以，即．故213.已知，為正實數，且滿足，則的最小值為__________．【正確答案】【分析】構造代數式，利用基本不等式即可得到最小值.【詳解】，∵，且，為正實數，∴，當且僅當時，即時，取“=”，∴，則.故14.定義一種運算，若函數，則使不等式成立的的取值范圍是__________．【正確答案】【分析】根據新定義，求得，根據不等式成立，化簡得到即，設，根據函數的單調性和定義域，即可求解.【詳解】根據定義的一種運算，可得，又由，即，即設，可得函數為單調的遞減函數，且，所以，可得，即，解得，又由，解得，綜上可得，實數的取值范圍是.故答案.本題考查了函數的新定義的計算與應用，其中解答中涉及到指數函數，對數函數的圖象與性質的綜合應用，著重考查分析問題和解答問題的能力.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數．（1）求函數的單調遞增區間；（2）若在中，，求面積的最大值．【正確答案】（1）；（2）．【分析】（1）首先化簡的表達式成為的形式，從而求出單調增區間；（2）通過面積公式把變量統一到上，然后通過二次函數的知識求出答案即可．【詳解】（1）由可得，所以函數的單調遞增區間為．（2）因為所以（當時取等號）．16.已知為等差數列，為等比數列，，，，.（1）求和的通項公式；（2）求數列的前n項和.【正確答案】（1），（2），【分析】（1）由等差等比數列項之間的關系建立等式，求得公比和公差的值，從而寫出通項公式；（2）等差等比數列乘除得到的新數列利用錯位相減即可得到新數列的前n項和.【小問1詳解】設等差數列的公差為d，等比數列的公比為q.由，，可得，所以由，，又，可得，解得，從而的通項公式為.【小問2詳解】設數列的前n項和為.因為，所以，，兩式相減得，，即，17.某人工智能研究實驗室開發出一款全新聊天機器人，它能夠通過學習和理解人類的語言來進行對話．聊天機器人的開發主要采用（人類反饋強化學習）技術，在測試它時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則它的回答被采納的概率為80%，當出現語法錯誤時，它的回答被采納的概率為40%．（1）在某次測試中輸入了8個問題，聊天機器人的回答有5個被采納，現從這8個問題中抽取4個，以X表示抽取的問題中回答被采納的問題個數，求X的分布列和數學期望；（2）設輸入的問題出現語法錯誤的概率為p，若聊天機器人的回答被采納的概率為70%，求p的值．【正確答案】（1）分布列見解析，數學期望為（2）【分析】（1）由題知X的所有取值為1，2，3，4，求出對應的概率，可得其分布列與數學期望；（2）利用全概率公式表示出回答被采納的概率，結合條件代入可得關于的方程，解方程即可.【小問1詳解】由題可知X的所有取值為1，2，3，4，，，，，故X的分布列為：X1234P則．【小問2詳解】記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件A，記“輸入的問題有語法錯誤”為事件B，記“回答被采納”為事件C，由已知得，，，，PB=p，PA=1?p所以由全概率公式得，解得．18.已知函數.（1）當時，設，求Fx在處的切線方程；（2）當時，求單調區間；（3）若曲線y=fx與直線有且僅有兩個交點，求的取值范圍.【正確答案】（1）（2）增區間為，減區間為（3）【分析】（1）當時，求出函數Fx的解析式，利用導數的幾何意義可得出所求切線的方程；（2）求導后，根據f′（3）將問題轉化為方程有且僅有兩個不等實根，構造函數，結合導數知識可作出Fx的圖象，進而得到，結合單調性可得結果.【小問1詳解】解：當時，，其中，，則，所以，，，所以，Fx在處的切線方程為.【小問2詳解】解：當時，，該函數的定義域為0,+∞，且，由f′x<0，可得，解得；由f′x>0，可得，解得所以，當時，函數的增區間為，減區間為.【小問3詳解】解：由題意知：且，與有且僅有兩個交點，方程有且僅有兩個不等實根，即方程有且僅有兩個不等實根，即方程有且僅有兩個不等實根，令，則Fx定義域為0,+∞，，當時，；當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，，當時，；當時，；可得Fx令，則，有且僅有兩個不同實數根的充要條件為，即，實數的取值范圍為.關鍵點點睛：本題根據曲線與直線交點個數求解參數范圍的關鍵是能夠首先將問題轉化為方程根的個數問題，進而采用同構的邏輯，通過構造函數的方式進一步將問題轉化為同一函數不同函數值大小關系的比較問題.19.已知半圓，圓，作圓與半圓，圓，軸均相切，點，且．（1）求的周長；（2）證明：為等比數列；（3）證明：對任意正整數．【正確答案】（1）2（2）證明見解析（3）證明見解析【分析】（1）根據的定義以及相切的性質即可求解；（2）由題意得遞推表達式，進一步根據等比數列的定義驗算即可證明；（3）由分析可知只需證明即可，而可以用基本不等式證