第1頁（共1頁）2025年初中數學復習之小題狂練450題（解答題）：反比例函數（10題）一．解答題（共10小題）1．（2024?蒸湘區校級模擬）如圖，反比例函數y=mx的圖象與一次函數y＝kx+b的圖象交于A（2，5），B（n，（1）求反比例函數和一次函數的關系式．（2）根據圖象直接寫出不等式kx+b-mx（3）若動點P在x軸上，求PA+PB的最小值．2．（2024?駐馬店模擬）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數y=kx(x＞0)的圖象與直線OA交于點A（8，4），過點A作AB（1）求k的值；（2）請用無刻度的直尺和圓規作出線段AO的垂直平分線；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）（3）（2）中所作的垂直平分線與AB交于點C，與x軸交于點D，連接OC、AD，求證：四邊形OCAD是菱形．3．（2024?湖北模擬）如圖，直線l：y＝x+2的與曲線y=kx交于點A（1，n），（1）求不等式x+2＞（2）直線x＝a（a＞0）分別與l，雙曲線交于C，D兩點（點C與點D不重合），若AC＝AD，求a的值．4．（2024?榕江縣校級二模）如圖，一次函數y1＝kx+b的圖象與反比例函數y2=mx的圖象交于點A（﹣2，﹣5），C（5，n），交y軸于點B，交（1）求反比例函數和一次函數的解析式；（2）連接OA，OC，求△AOC的面積．5．（2024?禮縣模擬）如圖，反比例函數y=kx(x＜0)與一次函數y＝﹣2x+m的圖象交于點A（﹣1，4），BC⊥y軸于點D，分別交反比例函數與一次函數的圖象（1）求反比例函數與一次函數的解析式；（2）當OD＝1時，求線段BC的長．6．（2024?匯川區三模）如圖，在平面直角坐標系中，△OAB是等腰直角三角形，OB＝4．反比例函數y=kx(x＞0)的圖象分別與OA，AB交于點C（2（1）求反比例函數的表達式和點D的坐標；（2）若一次函數y＝mx與反比例函數y=kx(x＞0)的圖象相交于點M，當點M在反比例函數圖象上C，D之間的部分時（點M可與點C7．（2024?東營）如圖，一次函數y＝mx+n（m≠0）的圖象與反比例函數y=kx（k≠0）的圖象交于點A（﹣3，a），B（1，3），且一次函數與x軸，y軸分別交于點C，（1）求反比例函數和一次函數的表達式；（2）根據圖象直接寫出不等式mx+n＞k（3）在第三象限的反比例函數圖象上有一點P，使得S△OCP＝4S△OBD，求點P的坐標．8．（2024?夏邑縣校級一模）如圖1是某新款茶吧機，開始加熱時，水溫每分鐘上升20℃，加熱到100℃時，停止加熱，水溫開始下降，此時水溫y（℃）是通電時間x（min）的反比例函數．若在水溫為20℃時開始加熱，水溫y與通電時間x之間的函數關系如圖2所示．（1）將水從20℃加熱到100℃需要min．（2）在水溫下降的過程中，求水溫y關于通電時間x的函數表達式．（3）加熱一次，水溫不低于40℃的時間有多長？9．（2024?武都區校級二模）如圖，一次函數y1＝mx+n與反比例函數y2=kx（x＞0）的圖象分別交于點A（a，4）和點B（8，1），與坐標軸分別交于點C和點（1）求一次函數與反比例函數的表達式；（2）在x軸上是否存在點P，使△COD與△ADP相似，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．10．（2024?山東）列表法、表達式法、圖象法是三種表示函數的方法，它們從不同角度反映了自變量與函數值之間的對應關系．下表是函數y＝2x+b與y=kx-7a12x+ba1kx7（1）求a、b的值，并補全表格；（2）結合表格，當y＝2x+b的圖象在y=kx的圖象上方時，直接寫出

2025年初中數學復習之小題狂練450題（解答題）：反比例函數（10題）參考答案與試題解析一．解答題（共10小題）1．（2024?蒸湘區校級模擬）如圖，反比例函數y=mx的圖象與一次函數y＝kx+b的圖象交于A（2，5），B（n，（1）求反比例函數和一次函數的關系式．（2）根據圖象直接寫出不等式kx+b-mx（3）若動點P在x軸上，求PA+PB的最小值．【考點】反比例函數與一次函數的交點問題．【專題】一次函數及其應用；反比例函數及其應用；運算能力；推理能力．【答案】（1）反比例函數的解析式為y=10x，一次函數解析式為y（2）x＜0或2＜x＜10；（3）10．【分析】（1）先將點A坐標代入反比例函數解析式可求出m的值，再將點B坐標代入所得反比例函數解析式可求出n的值，最后將A，B兩點坐標代入一次函數解析式即可．（2）利用數形結合的數學思想即可解決問題．（3）作出點B關于x軸的對稱點，利用軸對稱的性質及兩點之間線段最短即可解決問題．【解答】解：（1）將點A（2，5）坐標代入y=mm＝2×5＝10，所以反比例函數的解析式為y=10將點B（n，1）坐標代入y=10n＝10，所以點B的坐標為（10，1）．將A，B兩點坐標代入y＝kx+b得，2k+b=510k+b=1解得k=-所以一次函數解析式為y=-（2）由函數圖象可知，當x＜0或2＜x＜10時，一次函數的圖象在反比例函數圖象的上方，即kx+b＞m所以不等式kx+b-mx＞0得解集為：x＜0或2（3）過點B作x軸的對稱點B′，連接AB′，PB，根據兩點之間線段最短可知，當點P在AB′與x軸的交點處時，AP+PB′取得最小值，即PA+PB取得最小值．因為點B的坐標為（10，1），所以點B′的坐標為（10，﹣1），則AB′=(10-2所以PA+PB的最小值為10．【點評】本題主要考查了反比例函數與一次函數的交點問題，熟知反比例函數及一次函數的圖象與性質是解題的關鍵．2．（2024?駐馬店模擬）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數y=kx(x＞0)的圖象與直線OA交于點A（8，4），過點A作AB（1）求k的值；（2）請用無刻度的直尺和圓規作出線段AO的垂直平分線；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）（3）（2）中所作的垂直平分線與AB交于點C，與x軸交于點D，連接OC、AD，求證：四邊形OCAD是菱形．【考點】反比例函數綜合題．【專題】反比例函數及其應用；三角形；圖形的全等；運算能力；推理能力．【答案】（1）k＝32；（2）見解析；（3）證明見解析．【分析】（1）把點A坐標代入反比例函數中求出即可．（2）分別以點O，A為圓心，以大于12OA的長為半徑畫弧，兩弧相交于M，N兩點，作直線（3）由作圖易知：OC＝AC，OD＝AD，證明得到OC＝OD，從而證出OC＝AC＝AD＝OD結論．【解答】解：（1）∵點A（8，4）在反比例函數y=kx(x∴k＝4×8＝32；（2）如圖，分別以點O，A為圓心，以大于12OA的長為半徑畫弧，兩弧分別相交于M，N兩點，作直線MN即為線段（3）證明：設垂直平分線與OA交于點E，由作圖易知：OC＝AC，OD＝AD，∴∠COA＝∠CAO，∵AB⊥y軸于點B，∴AB∥OD，∴∠CAO＝∠AOD，∴∠COA＝∠AOD，又∵OE＝OE，∠CEO＝∠DEO＝90°，∴△OCE≌△ODE（ASA），∴OC＝OD，∴OC＝AC＝AD＝OD，∴四邊形OCAD是菱形．【點評】本題考查反比例函數綜合，全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是掌握相關知識的靈活運用．3．（2024?湖北模擬）如圖，直線l：y＝x+2的與曲線y=kx交于點A（1，n），（1）求不等式x+2＞（2）直線x＝a（a＞0）分別與l，雙曲線交于C，D兩點（點C與點D不重合），若AC＝AD，求a的值．【考點】反比例函數與一次函數的交點問題．【專題】反比例函數及其應用；應用意識．【答案】（1）﹣3＜x＜0或x＞1；（2）a＝3．【分析】（1）先把A（1，n）代入y＝x+2，求解得A（1，3），再把A（1，3）代入y=kx，求解得y=3x，聯立解析式，解方程組求得點B的坐標，然后觀察（2）過點A作AE⊥CD于E，根據等腰三角形的性質得點E是CD，利用中點坐標公式即可求解．【解答】解：（1）把A（1，n）代入y＝x+2，得n＝1+2＝3，∴A（1，3）把A（1，3）代入y=k3=k1，解得：k＝y=3聯立y=3xy=x+2，解得：x∴B（﹣3，﹣1）由圖象可得：不等式x+2＞kx的解集﹣3＜x＜0或x（2）如圖，過點A作AE⊥CD于E，∵AC＝AD，AE⊥CD∴CE＝DE，E（a，3），當x＝a時，則y＝x+2＝a+2，∴C（a，a+2）y=3∴D(a，∴a+2+解得：a1＝1，a2＝3，∵點C與點D不重合∴a＝1不符合題意，舍去，∴a＝3．【點評】本題考查一次函數與反比例函數交點問題，等腰三角形的性質，中點坐標，利用數形結合，用圖象法求解是解題的關鍵．4．（2024?榕江縣校級二模）如圖，一次函數y1＝kx+b的圖象與反比例函數y2=mx的圖象交于點A（﹣2，﹣5），C（5，n），交y軸于點B，交（1）求反比例函數和一次函數的解析式；（2）連接OA，OC，求△AOC的面積．【考點】反比例函數與一次函數的交點問題．【專題】一次函數及其應用；反比例函數及其應用；運算能力．【答案】（1）一次函數解析式為y1＝x﹣3，反比例函數解析式為y2（2）212【分析】（1）先將點A坐標代入反比例函數解析式，求出反比例函數解析式，進而可求出點C坐標，再用待定系數法即可求出一次函數解析式．（2）求出點D的坐標，將△AOC的面積轉化為△COD與△AOD的面積之和即可解決問題．【解答】解：（1）將點A坐標代入反比例函數解析式得，m＝﹣2×（﹣5）＝10，所以反比例函數解析式為y2將點C坐標代入反比例函數解析式得，n＝2，所以點C的坐標為（5，2），將A，C兩點坐標代入一次函數解析式得，-2k+b=解得k=1b=-3所以一次函數解析式為y1＝x﹣3．（2）將y＝0代入一次函數解析式得，x＝3，所以點D的坐標為（3，0），所以S△AOC＝S△COD+S△AOD=1【點評】本題主要考查了反比例函數與一次函數的交點問題，熟知反比例函數及一次函數的圖象和性質是解題的關鍵．5．（2024?禮縣模擬）如圖，反比例函數y=kx(x＜0)與一次函數y＝﹣2x+m的圖象交于點A（﹣1，4），BC⊥y軸于點D，分別交反比例函數與一次函數的圖象（1）求反比例函數與一次函數的解析式；（2）當OD＝1時，求線段BC的長．【考點】反比例函數與一次函數的交點問題．【專題】一次函數及其應用；反比例函數及其應用；運算能力．【答案】見試題解答內容【分析】（1）利用待定系數法即可求解；（2）由題意可知B、C的縱坐標為1，即可求得B（﹣4，1），C（12，1【解答】解：（1）∵反比例函數y=kx(x＜0)與一次函數y＝﹣2x+m的圖象交于點A∴4=k-1，4＝﹣2×（﹣1）+∴k＝﹣4，m＝2，∴反比例函數為y=-4x，一次函數為y＝﹣2（2）∵BC⊥y軸于點D，∴BC∥x軸，∵OD＝1，∴B、C的縱坐標為1，把y＝1代入y=-4x，得x把y＝1代入y＝﹣2x+2，得x=1∴B（﹣4，1），C（12，1∴BC=12+4=【點評】本題是反比例函數與一次函數的交點問題，待定系數法求函數的解析式，一次函數圖象上點的坐標特征，反比例函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握待定系數法是解題的關鍵．6．（2024?匯川區三模）如圖，在平面直角坐標系中，△OAB是等腰直角三角形，OB＝4．反比例函數y=kx(x＞0)的圖象分別與OA，AB交于點C（2（1）求反比例函數的表達式和點D的坐標；（2）若一次函數y＝mx與反比例函數y=kx(x＞0)的圖象相交于點M，當點M在反比例函數圖象上C，D之間的部分時（點M可與點C【考點】反比例函數與一次函數的交點問題．【專題】反比例函數及其應用；應用意識．【答案】（1）y=4x；（4，（2）14【分析】（1）利用待定系數法解得反比例函數的表達式；結合題意可知D的橫坐標為4，進而計算點D的坐標；（2）分別計算當一次函數y＝mx的圖象經過點C，D時m的值，即可獲得答案．【解答】解：（1）∵反比例函數y=kx(x＞0)的圖象經過點C∴k＝2×2＝4，∴反比例函數的解析式為y=4∵△OAB是等腰直角三角形，OB＝4，且AB與反比例函數y=kx(x＞0)∴D的橫坐標為4，對于反比例函數y=4x，當x＝4時，y＝∴點D的坐標為（4，1）；（2）把D（4，1）代入y＝mx得，m=1把E（2，2）代入y＝mx得，m＝1，∴m的取值范圍是14【點評】本題主要考查了求反比例函數解析式、反比例函數圖象上點的坐標特征、反比例函數與一次函數綜合應用等知識，運用熟練掌握反比例函數的圖象與性質是解題關鍵．7．（2024?東營）如圖，一次函數y＝mx+n（m≠0）的圖象與反比例函數y=kx（k≠0）的圖象交于點A（﹣3，a），B（1，3），且一次函數與x軸，y軸分別交于點C，（1）求反比例函數和一次函數的表達式；（2）根據圖象直接寫出不等式mx+n＞k（3）在第三象限的反比例函數圖象上有一點P，使得S△OCP＝4S△OBD，求點P的坐標．【考點】反比例函數與一次函數的交點問題．【專題】一次函數及其應用；反比例函數及其應用；運算能力．【答案】（1）一次函數解析式為y＝x+2；反比例函數解析式為y=3x；（2）﹣3＜x＜0或x＞1；（3）點P（-3【分析】（1）待定系數法求出兩個函數解析式即可；（2）根據函數圖象及交點坐標直接寫出不等式的解集即可；（3）根據一次函數解析式先求出點C、D坐標，再設點P大坐標為（m，3m）利用三角形面積公式計算出m值即可得到點P【解答】解：（1）∵一次函數y＝mx+n（m≠0）的圖象與反比例函數y=kx的圖象交于點A（﹣3，a），B（1，∴k＝1×3＝﹣3×a，∴k＝3，a＝﹣1，∴反比例函數解析式為y=3一次函數y＝mx+n圖象過A（﹣3，﹣1），B（1，3），-3m+n=-1一次函數解析式為y＝x+2；（2）由圖象可知，不等式mx+n＞kx的解集為：﹣3＜x＜0或x＞（3）在一次函數y＝x+2中，當x＝0時，y＝2；當y＝0時，x＝﹣2，∴C（﹣2，0），D（0，2）∴S△OBD=12∴S△OCP＝4S△OBD＝4，設點P大坐標為（m，3m∴12×2×解得m=-∴點P（-34，﹣【點評】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，交點坐標滿足兩個函數解析式是關鍵．8．（2024?夏邑縣校級一模）如圖1是某新款茶吧機，開始加熱時，水溫每分鐘上升20℃，加熱到100℃時，停止加熱，水溫開始下降，此時水溫y（℃）是通電時間x（min）的反比例函數．若在水溫為20℃時開始加熱，水溫y與通電時間x之間的函數關系如圖2所示．（1）將水從20℃加熱到100℃需要4min．（2）在水溫下降的過程中，求水溫y關于通電時間x的函數表達式．（3）加熱一次，水溫不低于40℃的時間有多長？【考點】反比例函數的應用．【專題】反比例函數及其應用；應用意識．【答案】（1）4；（2）水溫下降過程中，y與x的函數關系式是y=400（3）一個加熱周期內水溫不低于40℃的時間為9min．【分析】（1）根據水溫升高的速度，即可求出水溫從20℃加熱到100℃所需的時間；（2）設水溫下降過程中，y與x的函數關系式為y=k（3）分別求出在加熱過程和降溫過程中水溫為40攝氏度時的時間，再相減即可判斷．【解答】解：（1）∵開機加熱時每分鐘上升20℃，∴水溫從20℃加熱到100℃，所需時間為100-2020=4（故答案為：4；（2）設水溫下降過程中，y與x的函數關系式為y=k由題意得，點（4，100）在反比例函數y=kx的∴k4=解得：k＝400，∴水溫下降過程中，y與x的函數關系式是y=400（3）在加熱過程中，水溫為40℃時，20x+20＝40，解得：x＝1，在降溫過程中，水溫為40℃時，40=400解得：x＝10，∵10﹣1＝9，∴一個加熱周期內水溫不低于40℃的時間為9min．【點評】本題主要考查反比例函數和一次函數的應用、用待定系數法求反比例函數解析數，解題關鍵在于讀懂圖象，靈活運用所學知識解決問題．9．（2024?武都區校級二模）如圖，一次函數y1＝mx+n與反比例函數y2=kx（x＞0）的圖象分別交于點A（a，4）和點B（8，1），與坐標軸分別交于點C和點（1）求一次函數與反比例函數的表達式；（2）在x軸上是否存在點P，使△COD與△ADP相似，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【考點】反比例函數綜合題．【專題】代數幾何綜合題；分類討論；數據分析觀念．【答案】見試題解答內容【分析】（1）用待定系數法即可求解；（2）分△COD∽△APD、△COD∽△PAD兩種情況，建立比例關系求解即可．【解答】解：（1）把B（8，1）代入反比例函數y2得k＝8，∴反比例函數的表達式為y2∵點A（a，4）在y2=∴a＝2，即A（2，4），把A（2，4），B（8，1）兩點代入y1＝mx+n得4=2m+n1=8m+n，解得m=所以一次函數的表達式為y1（2）存在，理由：由（1）得一次函數的表達式為y1當x＝0時，y＝5，∴C（0，5）．即OC＝5．當y＝0時，x＝10，∴D點坐標為（10，0），即OD＝10．∴CD=55∵A（2，4），∴AD=45設P點坐標為（b，0），由題意知，點P在點D左側，則PD＝10﹣b，由∠CDO＝∠ADP可得：①當△COD∽△APD時，則ADCD∴45解得b＝2．故點P坐標為（2，0）；②當△COD∽△PAD時，則ADOD∴45解得b＝0，即點P的坐標為（0，0）．因此，點P的坐標為（2，0）或（0，0）時，△COD與△ADP相似．【點評】本題考查的是反比例函數綜合運用，涉及到一次函數的性質、三角形相似等，其中（2），要注意分類求解，避免遺漏．10．（2024?山東）列表法、表達式法、圖象法是三種表示函數的方法，它們從不同角度反映了自變量與函數值之間的對應關系．下表是函數y＝2x+b與y=kx-7a12x+ba17kx﹣2-727（1）求a、b的值，并補全表格；（2）結合表格，當y＝2x+b的圖象在y=kx的圖象上方時，直接寫出【考點】反比例函數圖象上點的坐標特征；一次函數的圖象；一次函數的性質；一次函數圖象上點的坐標特征；反比例函數的性質．【專題】一次函數及其應用；反比例函數及其應用；運算能力；推理能力．【答案】（1）a=-2b=5，補全表格見解析；7；﹣2（2）x的取值范圍為-72＜x＜【分析】（1）根據表格信息建立方程組求解a，b的值，再求解k的值，再補全表格即可；（2）由表格信息可得兩個函數的交點坐標，再結合函數圖象可得答案．【解答】解：（1）當x=-72時，2x+b＝a，即﹣7+b當x＝a時，2x+b＝1，即2a+b＝1，∴a-解得：a=-∴一次函數為y＝2x+5，當x＝1時，y＝7，∵當x＝1時，y=kx=7，即k∴反比例函數為：y=7當x=-72當y＝1時，x＝a＝﹣2，當x＝﹣2時，y=-補全表格如下：x-7﹣212x+b﹣217kx﹣2-77故答案為：7；﹣2；-7（2）由表格信息可得：兩個函數的交點坐標分別為(-72，-2)∴當y＝2x+b的圖象在y=kx的圖象上方時，x的取值范圍為-72＜【點評】本題考查的是一次函數與反比例函數的綜合，利用圖象法寫自變量的取值范圍，解答本題的關鍵是熟練掌握一次函數與反比例函數的性質．

考點卡片1．一次函數的圖象（1）一次函數的圖象的畫法：經過兩點（0，b）、（-bk，0）或（1，k+b）作直線y＝kx+注意：①使用兩點法畫一次函數的圖象，不一定就選擇上面的兩點，而要根據具體情況，所選取的點的橫、縱坐標盡量取整數，以便于描點準確．②一次函數的圖象是與坐標軸不平行的一條直線（正比例函數是過原點的直線），但直線不一定是一次函數的圖象．如x＝a，y＝b分別是與y軸，x軸平行的直線，就不是一次函數的圖象．（2）一次函數圖象之間的位置關系：直線y＝kx+b，可以看做由直線y＝kx平移|b|個單位而得到．當b＞0時，向上平移；b＜0時，向下平移．注意：①如果兩條直線平行，則其比例系數相等；反之亦然；②將直線平移，其規律是：上加下減，左加右減；③兩條直線相交，其交點