第08講垂徑定理【知識梳理】一．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．（2）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。普?：弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧．推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。箯蕉ɡ淼膽么箯蕉ɡ淼膽煤軓V泛，常見的有：（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理和勾股定理相結合，構造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題．這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數方法解決幾何問題即幾何代數解的數學思想方法一定要掌握．【考點剖析】一．垂徑定理（共9小題）1．（2023?荊州模擬）如圖，在平面直角坐標系中，⊙A與y軸相切于原點O，平行于x軸的直線交⊙A于M、N兩點，若點M的坐標是（﹣4，﹣2），則點N的坐標為（）A．（1，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1.5，﹣2） D．（1.5，﹣2）2．（2023?西湖區校級模擬）如圖，AB是半徑為4的⊙O的直徑，P是圓上異于A，B的任意一點，∠APB的平分線交⊙O于點C，連接AC和BC，△ABC的中位線所在的直線與⊙O相交于點E、F，則EF的長是（）A． B． C．3 D．3．（2022秋?杭州期末）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點D，連接AO并延長，交⊙O于點E，連接BE，DE．若DE＝3DO，，則△ODE的面積為（）A．4 B． C． D．4．（2023?杭州模擬）如圖，在⊙O的內接四邊形ABCD中，AC⊥BD，AB＝8，CD＝2，則⊙O的直徑為（）A．9 B． C． D．125．（2023?衢州一模）如圖，⊙O的直徑CD垂直弦AB于點E，且OE＝2cm，DE＝7cm，則AB的長為（）A．4cm B．8cm C．cm D．2cm6．（2022秋?杭州期末）如圖，OA＝OB，AB交⊙O于點C，D，OE是半徑，且OE⊥AB于點F．（1）求證：AC＝BD．（2）若CD＝8，EF＝2，求⊙O的半徑．7．（2023?桐鄉市一模）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，若BE＝CD＝8，則⊙O的半徑的長是（）A．5 B．4 C．3 D．28．（2023?天臺縣一模）如圖，AB是半圓O的直徑，P是AB上的動點，CP⊥AB交半圓于點C，已知AB＝2，則OP+PC的最大值是．9．（2023?杭州一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＜AD，以點A為圓心，線段AD的長為半徑畫弧，與BC邊交于點E，連接AE，過點D作DF⊥AE于點F．（1）求證：DF＝AB．（2）連接BF，若BE＝6，CE＝3，求線段BF的長．二．垂徑定理的應用（共12小題）10．（2023?武義縣一模）如圖，一個隧道的橫截面，它的形狀是以點O為圓心的圓的一部分，M是⊙O中弦CD的中點，EM經過圓心O交⊙O于點E．若CD＝6，EM＝9，則⊙O的半徑為（）A．4 B．5 C．6 D．711．（2023?杭州一模）為了測量一個鐵球的直徑，將該鐵球放入工件槽內，測得的有關數據如圖所示（單位：cm），則該鐵球的直徑為（）A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm12．（2023?金華模擬）往直徑為52cm的圓柱形容器內裝入一些水以后，截面如圖，若水面寬AB＝48cm，則水的最大深度為cm．13．（2022秋?濱江區期末）如圖是一個管道的橫截面，圓心O到水面AB的距離OD是3，水面寬AB＝6．（1）求這個管道橫截面的半徑．（2）求∠AOB的度數．14．（2023?鹿城區校級三模）如圖為一個指紋鎖的部分設計圖，尺寸如圖所示，求AB所在圓的半徑為（）A．50mm B．50.5mm C．51mm D．51.5mm15．（2023?沂南縣二模）如圖是美妝小鎮某品牌的香水瓶．從正面看上去它可以近似看作⊙O割去兩個弓形后余下的部分與矩形ABCD組合而成的圖形（點B、C在⊙O上），其中BC∥EF；已知⊙O的半徑為2.5cm，BC＝1.4cm，AB＝2.6cm，EF＝4.8cm，則香水瓶的高度h是（）A．5.6cm B．5.7cm C．5.8cm D．5.9cm16．（2023春?樂清市月考）如圖1，是某隧道的入口，它的截面如圖2所示，是由和矩形ABCD組成，且點B，?C也在所在的圓上，已知AB＝4m，M是BC的中點，此時隧道的最高點P離地面BC的距離MP＝8m，則該道路的路面寬BC＝m；在上，離地面相同高度的兩點E，F裝有兩排照明燈，若點E是的中點，則這兩排照明燈離地面的高度是m．17．（2023?長興縣一模）石拱橋是中國傳統橋梁四大基本形式之一，它的主橋拱是圓弧形．如圖，已知某公園石拱橋的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，那么橋拱所在圓的半徑OA＝米．18．（2023?松陽縣二模）課堂上，師生一起探究用圓柱形管子的內徑去測量球的半徑．嘉嘉經過思考找到了測量方法：如圖，把球置于圓柱形玻璃瓶上，測得瓶高CD＝12cm，底面內徑BC＝8cm，球的最高點E到瓶底的距離為20cm，則球的半徑為cm．?19．（2023?南潯區一模）一根排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑OB＝5cm，水面寬AB＝8cm，則截面圓心O到水面的距離為cm．20．（2023?瑞安市模擬）如圖，某公園有一月牙形水池，水池邊緣有A，B，C，D，E五盞裝飾燈．為了估測該水池的大小，觀測員在A，D兩點處發現點A，E，C和D，E，B均在同一直線上，沿AD方向走到F點，發現∠AFC＝90°．測得AD＝9.6米，AE＝DE＝8米，DF＝2.4米，則所在圓的半徑為米，所在圓的半徑為米．21．（2022秋?溫州期末）根據素材解決問題．設計貨船通過圓形拱橋的方案素材1圖1中有一座圓拱石橋，圖2是其圓形橋拱的示意圖，測得水面寬AB＝16m，拱頂離水面的距離CD＝4m．素材2如圖3，一艘貨船露出水面部分的橫截面為矩形EFGH，測得EF＝3m，EH＝10m．因水深足夠，貨船可以根據需要運載貨物．據調查，船身下降的高度y（米）與貨船增加的載重量x（噸）滿足函數關系式．問題解決任務1確定橋拱半徑求圓形橋拱的半徑任務2擬定設計方案根據圖3狀態，貨船能否通過圓形拱橋？若能，最多還能卸載多少噸貨物？若不能，至少要增加多少噸貨物才能通過？

【過關檢測】一、單選題1．（2023·浙江衢州·統考一模）如圖，的直徑垂直弦于點E，且，，則的長為（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江金華·統考一模）如圖，小明分別以點為圓心，大于線段長度一半的長為半徑作弧，相交于點，作直線分別交弦和劣弧于點．小明量得．則劣弧所在圓的半徑長為（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江金華·統考一模）一個隧道的橫截面如圖所示，它的形狀是以點O為圓心的圓的一部分，M是中弦的中點，連接，并延長交于點E，若，隧道的高，則的半徑為（

）A．8 B．7 C．6 D．54．（2023秋·浙江紹興·九年級統考期末）如圖為一座拱形橋示意圖，橋身AB（弦AB）長度為8，半徑OC垂直AB于點D，，則橋拱高CD為（

）A．3 B．2.5 C．2 D．1.55．（2023·浙江·一模）如圖，在水平放置的圓柱形排水管的截面中，圓的半徑為5，弓形部分水面寬度，則該截面中水的最大深度是（

）

A．5 B．4 C．3 D．26．（2023春·浙江杭州·九年級?？茧A段練習）如圖，已知是的直徑，點C是弧的中點，點D在的延長線上，連接交⊙O于點E，若，則（）A．20° B．2° C．25° D．30°7．（2023秋·浙江臺州·九年級統考期末）如圖，在正方形網格中，一條圓弧經過三點，那么這條圓弧所在圓的圓心是（

）．A．點 B．點 C．點 D．點8．（2023秋·浙江·九年級期中）如圖，是以為直徑的半圓上一點，連接，，分別以，為邊向外作正方形，，，，弧，弧的中點分別是、、、，若，，則（

）A． B． C．11 D．159．（2021秋·九年級?？计谥校〢B和CD是⊙O的兩條平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半徑為5，則AB與CD間的距離為（）A．1或7 B．7 C．1 D．3或410．（2023春·浙江臺州·九年級臺州市書生中學校考期中）如圖這是我市某跨海大橋正側面的照片，大橋的主橋拱為圓弧型，橋面長為800米，且與水面平行，小王用計算機根據照片對大橋進行了模擬分析，在橋正下方的水面上取一點P，在橋面上取點C，作射線交弧（主橋拱）于點D，右邊畫出了與關于長的函數圖象，下列對此橋的判斷不合理的是（）A．橋拱的最高點與橋面的實際距離約為210米B．橋拱正下方的橋面的實際長度約為500米C．拍攝照片時，橋面離水面的實際高度約為110米D．橋面上段的實際長度約200米二、填空題11．（2022秋·浙江麗水·九年級校聯考期中）已知的半徑為，弦，且，則弦和之間的距離為_______．12．（2022秋·浙江寧波·九年級校聯考期中）五水共治辦公室在一次巡查時測量一排水管的排水情況，如圖，水平放置的圓柱形排水管的截面為，半徑是，有水部分弓形的高為，則______．13．（2022秋·浙江杭州·九年級校考期中）如圖，⊙O的半徑為5，弦，B是的中點，連接，則的長為_____．14．（2022秋·浙江杭州·九年級校考階段練習）如圖，矩形ABCD與圓心在AB上的☉O交于點G，B，F，E，GB=5，EF=4，那么AD=______．15．（2023·浙江紹興·統考一模）已知半徑為5的圓O中有一條長度為8的弦，分別以A，B為圓心，長度大于4為半徑作圓弧交于點M，N，連接，點C為直線與圓O的交點，點D為直線與弦的交點，則的長度為_______．16．（2021·浙江·九年級自主招生）如圖，在中，，以該三角形的三條邊為邊向形外作正方形，正方形的頂點E，F，G，M，N都在同一個圓上．記該圓面積為，面積為，則的值是_________．17．（2022·浙江·九年級專題練習）如圖，已知AB是半圓O的直徑，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，則CD與AB之間的距離是_____．18．（2020秋·浙江·九年級期中）在半徑為5cm的⊙O中，弦AB∥CD，且AB=6cm，CD=8cm，則AB與CD間距離為____三、解答題19．（2022秋·浙江麗水·九年級校聯考期中）我們在學習了《浙教版數學九年級上冊》探究活動，“已知：如圖為一座拱橋的示意圖，當水面寬為時，橋洞頂部離水面已知橋洞的拱形是拋物線”，現以水平方向為軸，若小明同學以為頂點求出了函數表達式是；探究一：(1)若小紅同學以為頂點求出了函數表達式是__________．(2)在（1）條件下，求出該拋物線在水面中的倒影所在拋物線函數表達式為____________．(3)一艘寬為米，高出水面米的貨船，能否從橋下通過？探究二：(4)若已知橋洞的拱形是圓的一部分，當水面寬為時，橋洞頂部離水面，該圓半徑為__________．20．（2020·浙江杭州·模擬預測）如圖，A，B，C，D在上，經過圓心O的線段于點F，與交于點E，已知半徑為5．（1）若，，求的長；（2）若，且，求弦的長；21．（2023·浙江金華·統考中考真題）如圖，點在第一象限內，與軸相切于點，與軸相交于點．連接，過點作于點．

(1)求證：四邊形為矩形．(2)已知的半徑為4，，求弦的長．22．（2022秋·浙江杭州·九年級校聯考階段練習）如圖，有一座圓弧形拱橋，它的跨度為，拱高為．(1)請用尺規作圖，作出圓弧所在圓的圓心O，并計算圓的半徑；(2)當洪水泛濫到跨度只有時，就要采取緊急措施，若某次洪水中，水面離拱頂只有，即時，試通過計算