試題PAGE1試題2024-2025學年第一學期九年級數學開學考試卷一、選擇題（共8小題，每小題3分，共24分）1．在平行四邊形、菱形、矩形、正方形、圓中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的圖形個數為（）A．1 B．2 C．3 D．42．下列方程中一定是一元二次方程的是（）A． B．B． D．3．關于x的一元二次方程的一個根是0，則a的值為（）A． B．1 C．1或 D．4．如圖，在矩形ABCD中，點A的坐標是，點C的坐標是，則BD的長是（）A． B．5 C． D．5．關于x的方程有實數根，則k的取值范圍是（）A． B．且 C． D．且6．下列說法中，正確的是（）A．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形；B．對角線相等的四邊形是矩形；C．有一組鄰邊相等的矩形是正方形；D．對角線互相垂直的四邊形是菱形．7．如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，且．若，則（）A．108° B．36° C．72° D．129°8．在平面直角坐標系中，正方形、、、…按如圖所示的方式放在其中點在y軸上，點，，，，，、…在x軸上，已知正方形的邊長為，，則正方形的邊長是（）A． B． C． D．二、填空題（共5小題，每小題3分，共15分）9．因式分解______．10．將一元二次方程化為一般形式是______．11．若關于x的一元二次方程沒有實數根，則實數m取值范圍是______．12．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，作交BA的延長線于點E，連接OE，若，，則菱形ABCD的面積為______．13．如圖，在矩形ABCD中，，，E是邊BC上一動點，F是對角線BD上一動點，且，則的最小值為______．三、解答題（共7大題，共61分）14．（8分）解方程（1） （2）．15．（5分）先化簡代數式，再從，2，0三個數中選一個恰當的數作為a的值代入求值．16．（8分）先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題：同學們，我們把學習新的數學知識的時候，經常利用“化歸”的數學思想方法解決問題，首先，我們把像這樣，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式．通過以前的學習，我們已經認識了一元一次不等式、一元一次不等式組并掌握了它們的解法、同學們，你們能類比一元一次不等式（組）的解法求出一元二次不等式的解集嗎？例題：解一元二次不等式分析：為了解決這個問題，我們需要將一元二次不等式“化歸”到一元一次不等式（組），通過平方差公式的逆用，我們可以把寫成的形式，從而將轉化為，然后再利用兩數相乘的符號性質將一元二次不等式轉化成一元一次不等式（組），從而解決問題．解：可化為，由有理數的乘法法則“兩數相乘，同號得正”，得①②，解不等式組①，，解不等式組②，，即一元二次不等式的解集為或拓展應用：（1）求一元二次不等式的解集．（2）求分式不等式的解集______．（3）求一元二次不等式的解集______．17．（8分）．如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD交于點O，且，．（1）求證：四邊形OCED是菱形；（2）若，，求菱形OCED的面積______．18．（10分）綜合與實踐：根據以下素材，探索完成任務．如何確定拍照打卡板素材一設計師小聰為某商場設計拍照打卡板（如圖1），圖2為其平面設計圖．該打卡板是軸對稱圖形，由矩形DEFG和等腰三角形ABC組成，且點B，F，G，C四點共線，其中，點A到BC的距離為1.2m，，．素材二因考慮牢固耐用，小聰打算選用甲、乙兩種材料分別制作矩形DEFG與等腰三角形ABC（兩種圖形無縫隙拼接），且甲種材料的費用為85元/，乙種材料的采用為100元/．問題解決任務一推理最大高度小聰說：“如果我設計的方案中BC的長與C，兩點間的距離相等，那么最高點B到地面的距離就是線段DG的長．”他的說法正確嗎？請判斷并說明理由．任務二探究等腰三角形ABC面積假設CG長度為x米，等腰三角形ABC的面積S．求S關于x的函數表達式．任務三確定拍照打卡板小聰發現他設計的方案中，制作拍照打卡板費用不超過180元，請你確定CG長度的最大值．（直接寫出結果）19．（10分）數學課上，李老師提出問題：如圖1，在正方形ABCD中，點E是邊BC的中點，，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．求證：．（不需要證明）．圖1經過思考，小聰展示了一種正確的解題思路：如圖5，取AB的中點H，連接HE，則，則為等腰直角三角形，這時只需證與全等即可，在此基礎上，同學們進行了進一步的探究：圖5（1）小穎提出：如圖2，如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（不含點B，C）的任意一點”，其他條件不變，那么結論“”仍然成立，你認為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程，如果不正確，請說明理由：圖2（2）小華提出：如圖3，如果點E是邊BC延長線上的任意一點，其他條件不變，那么結論“”是否成立？______（填“是”或“否”）；（3）小麗提出：如圖4，在平面直角坐標系xOy中，點O與點B重合，正方形的邊長為1，當E為BC邊上（不含點B，C）的某一點時，，點F恰好落在直線上，請直接寫出此時點E的坐標______以及的面積______．圖3 圖420．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，把矩形OABC沿對角線AC所在直線折疊，點B落在點D處，DC與y軸相交于點E，矩形OABC的邊OC，OA的長是關于x的一元二次方程的兩個根，且．（1）線段______