第五章頻率響應法5.1頻率特性

5.2典型環節的頻率特性

5.3控制系統開環頻率特性曲線的繪制

5.4頻域穩定性判據

5.5穩定裕度

5.6閉環系統的頻域性能指標

5.7頻率特性的試驗確定方法

小結習題5.1頻率特性

對于圖5-1所示的電路,當ui(t)是正弦信號時,我們已知uo(t)也是同頻率的正弦信號,簡單推導如下:

設ui(t)=Usinωt,則其拉氏變換為而RC電路的傳遞函數為(5.1)式中,τ=RC。則有(5.2)對式(5.2)進行拉氏反變換,可得(5.3)式中,φ=-arctgωτ。

式(5.3)的等號右邊,第一項是輸出的暫態分量,第二項是輸出的穩態分量。當時間t→∞時,暫態分量趨于零,所以上述電路的穩態響應可以表示為(5.4)若把輸出的穩態響應和輸入正弦信號用復數表示,可以得到:(5.5)式中,圖5-1RC電路

G(jω)是上述電路的穩態響應與輸入正弦信號的復數比,稱為頻率特性。對比式(5.1)和式(5.5)可見,將傳遞函數中的s以jω代替,即得頻率特性。A(ω)是輸出信號的幅值與輸入信號幅值之比,稱為幅頻特性。φ(ω)是輸出信號的相角與輸入信號的相角之差,稱為相頻特性。上述RC電路的幅頻和相頻特性如圖5-2所示。圖5-2RC電路的幅頻和相頻特性上述結論可推廣到穩定的線性定常系統,設其傳遞函數為(5.6)式中N(s)和D(s)分別為分子、分母多項式,C(s)和R(s)分別為輸出信號和輸入信號的拉氏變換,p1,p2,…,pn為傳遞函數的極點,對于穩定系統,它們都具有負實部。當輸入信號為正弦信號時,(5.7)若系統無重極點,則上式可寫為對上式作拉氏反變換,可得

若系統穩定,則pi都具有負實部,當t→∞時,上式中的最后一項暫態分量將衰減至零。這時,系統的穩態響應為(5.8)(5.9)(5.10)求出待定系數b1,b2,并代入上式可得比較式(5.11)與式(5.5)得(5.11)(5.12)式(5.11)表明,對于穩定的線性定常系統,由正弦輸入產生的輸出穩態分量仍是與輸入同頻率的正弦函數,而幅值和相角的變化是頻率ω的函數,且與系統數學模型相關。通常把(5.13)稱為系統的頻率特性。它反映了在正弦輸入信號作用下,系統的穩態響應與輸入正弦信號之間的關系。系統穩態輸出信號與輸入正弦信號的幅值比|G(jω)|稱為幅頻特性,系統穩態輸出信號與輸入正弦信號的相移φ(ω)稱為相頻特性。線性定常系統的傳遞函數為零初始條件下,輸出和輸入的拉氏變換之比上式的反變換式為式中σ位于G(s)的收斂域。若系統穩定,則σ可以取為零。如果r(t)的傅氏變換存在,令s=jω,則有所以,

上式表明,系統的頻率特性為輸出信號的傅氏變換與輸入信號的傅氏變換之比,而這正是頻率特性的物理意義。在工程分析和設計中,通常把線性系統的頻率特性畫成曲線,再運用圖解法進行研究。常用的頻率特性曲線有奈氏圖和伯德圖。(5.14)式(5.13)中的G(jω)分為實部和虛部,即X(ω)稱為實頻特性,Y(ω)稱為虛頻特性。在G(jω)平面上,以橫坐標表示X(ω),縱坐標表示jY(ω),這種采用極坐標系的頻率特性圖稱為極坐標圖或幅相曲線,又稱奈奎斯特圖。若將頻率特性表示為復指數形式,則為復平面上的向量,而向量的長度為頻率特性的幅值,向量與實軸正方向的夾角等于頻率特性的相位。由于幅頻特性為ω的偶函數,相頻特性為ω的奇函數,則ω從零變化到正無窮大和從零變化到負無窮大的幅相曲線關于實軸對稱,因此一般只繪制ω從零變化到正無窮大的幅相曲線。在奈氏圖中,頻率ω為參變量,一般用小箭頭表示ω增大時幅相曲線的變化方向。上述RC電路的奈氏圖如圖5-3所示,圖中G(jω)的軌跡為一半圓。圖5-3RC電路的奈氏圖

在工程實際中,常常將頻率特性畫成對數坐標圖形式,這種對數頻率特性曲線又稱伯德圖,由對數幅頻特性和對數相頻特性組成。伯德圖的橫坐標按lgω分度,即對數分度,單位為弧度/秒(rad/s),對數幅頻曲線的縱坐標按線性分度,單位是分貝(dB)。對數相頻曲線的縱坐標按φ(ω)線性分度,單位是度(°)。由此構成的坐標系稱為半對數坐標系。

對數分度和線性分度如圖5-4所示。在線性分度中,當變量增大或減小1時,坐標間距離變化一個單位長度;而在對數分度中,當變量增大或減小10倍時,稱為10倍頻程(dec),坐標間距離變化一個單位長度。設對數分度中的單位長度為L,ω0為參考點,則當ω以ω0為起點,在10倍頻程內變化時,坐標點相對于ω0的距離為表5-1中的第二行數值乘以L。圖5-4對數分度和線性分度表5-110倍頻程內的對數分度

對數頻率特性采用ω的對數分度實現了橫坐標的非線性壓縮,便于在較大頻率范圍反映頻率特性的變化情況。對數幅頻特性采用20lgA(ω),則將幅值的乘除運算化為加減運算,可以簡化曲線的繪制過程。令τ=1,則用MATLAB畫出上述RC電路的伯德圖如圖5-5所示，其程序如下：

bode(［1］,［11］)圖5-5RC電路的伯德圖5.2典型環節的頻率特性1.比例環節

比例環節的頻率特性為G(jω)=K

(5.15)顯然,它與頻率無關。相應的幅頻特性和相頻特性為對數幅頻特性和相頻特性為(5.17)圖5-6比例環節的奈氏圖圖5-7比例環節的伯德圖2.積分環節

積分環節的頻率特性為(5.18)其幅頻特性和相頻特性為(5.19)由式(5.19)可見,它的幅頻特性與角頻率ω成反比,而相頻特性恒為-90°。對數幅頻特性和相頻特性為(5.20)圖5-8積分環節的奈氏圖圖5-9積分環節的伯德圖

3.微分環節微分環節的頻率特性為(5.21)其幅頻特性和相頻特性為(5.22)由式(5.22)可見,微分環節的幅頻特性等于角頻率ω,而相頻特性恒為90°。對數幅頻特性和相頻特性為(5.23)圖5-10微分環節的奈氏圖圖5-11微分環節的伯德圖4.慣性環節慣性環節的頻率特性為(5.24)它的幅頻特性和相頻特性為(5.25)式(5.24)寫成實部和虛部形式,即則有即

所以,慣性環節的奈氏圖是圓心在(0.5,0),半徑為0.5的半圓(見圖5-12)。對數幅頻特性和相頻特性為(5.26)圖5-12慣性環節的奈氏圖圖5-13慣性環節的伯德圖

當ωT=1時,ω=1/T稱為交接頻率,或叫轉折頻率、轉角頻率。慣性環節對數幅頻特性曲線的繪制方法如下:先找到ω=1/T,L(ω)=0dB的點,從該點向左作水平直線,向右作斜率為-20dB/dec的直線。在低頻段和高頻段,精確的對數幅頻特性曲線與漸近線幾乎重合。在ω=1/T附近,可以選幾個點,把由式(5.26)算出的精確的L(ω)值標在圖上,用曲線板光滑地連接起來,就得精確的對數幅頻特性曲線。漸近線和精確曲線在交接頻率附近的誤差列于表5-2中。表5-2慣性環節對數幅頻特性曲線漸近線和精確曲線的誤差由表可知,在交接頻率處誤差達到最大值:一般來說,這些誤差并不影響系統的分析與設計。在低頻段,ω很小,Ωt<<1,φ(ω)=0°;在高頻段,ω很大,ωT>>1,φ(ω)=-90°。所以,φ(ω)=0°和φ(ω)=-90°是曲線φ(ω)的兩條漸近線,在交接頻率處有表5-3慣性環節對數相頻特性曲線角度值

慣性環節對數相頻特性曲線是一條中心點對稱的曲線,這可以證明如下:取兩個關于ω=1/T對稱的頻率ω1=α/T和ω2=1/(αT),則有因此有這表明φ(ω)是關于ω=1/T,φ(ω)=-45°這一點中心對稱的。用MATLAB畫出的慣性環節的伯德圖如圖5-14所示(T=1)。圖5-14MATLAB繪制的慣性環節的伯德圖5.一階微分環節一階微分環節的頻率特性為(5.27)幅頻特性和相頻特性為(5.28)對數幅頻特性和相頻特性為(5.29)圖5-15一階微分環節的奈氏圖圖5-16一階微分環節的伯德圖6.二階振蕩環節二階慣性環節的頻率特性為(5.30)它的幅頻特性和相頻特性為(5.31)對數幅頻特性和相頻特性為(5.32)由式(5.31)得(ωT≤1)(ωT＞1)所以有(ω=0)(ω→+∞)圖5-17二階振蕩環節的奈氏圖

畫二階振蕩環節的伯德圖時分析如下：在低頻段,ω很小,ωT<<1,L(ω)=0dB；在高頻段,ω很大,ωT>>1,L(ω)=-20lg(ωT)2=-40lg(ωT)dB。其對數幅頻特性曲線可用上述低頻段和高頻段的兩條直線組成的折線近似表示,如圖5-18的漸近線所示。這兩條線相交處的交接頻率ω=1/T,稱為振蕩環節的無阻尼自然振蕩頻率。在交接頻率附近,對數幅頻特性與漸近線存在一定的誤差,其值取決于阻尼比ζ的值,阻尼比越小,則誤差越大,如表5-4所示。當ζ＜0.707時,在對數幅頻特性上出現峰值。根據表5-5可繪制出不同阻尼比的相頻特性曲線。二階振蕩環節的伯德圖如圖5-18所示。表5-4二階振蕩環節對數幅頻特性曲線漸近線和精確曲線的誤差(dB)表5-5二階振蕩環節對數相頻特性曲線角度值圖5-18二階振蕩環節的伯德圖7.遲后環節遲后環節的頻率特性為(5.33)幅頻特性和相頻特性為(5.34)可見,其奈氏圖是一個以坐標原點為中心,半徑為1的圓。對數幅頻特性和相頻特性為(5.35)圖5-19遲后環節的奈氏圖圖5-20遲后環節的伯德圖5.3控制系統開環頻率特性曲線的繪制5.3.1開環頻率特性奈氏圖的繪制以后我們將會看到,在繪制奈氏圖時有時并不需要繪制得十分準確,而只需要繪出奈氏圖的大致形狀和幾個關鍵點的準確位置就可以了。因此,由以上典型環節奈氏圖的繪制,大致可將奈氏圖的一般作圖方法歸納如下:(1)寫出A(ω)和φ(ω)的表達式;(2)分別求出ω=0和ω=+∞時的G(jω);(3)求奈氏圖與實軸的交點,交點可利用G(jω)的虛部Im［G(jω)］=0的關系式求出,也可利用∠G(jω)=n·180°(其中n為整數)求出;(4)如果有必要,可求奈氏圖與虛軸的交點,交點可利用G(jω)的實部Re［G(jω)］=0的關系式求出,也可利用∠G(jω)=n·90°(其中n為正整數)求出;(5)必要時畫出奈氏圖中間幾點;(6)勾畫出大致曲線。【例5-1】

試繪制下列開環傳遞函數的奈氏圖:解該環節開環頻率特性為ω=0,A(ω)=10,φ(ω)=0°,即奈氏圖的起點為(10,j0)；ω=+∞,A(ω)=0,φ(ω)=-180°,即奈氏圖的終點為(0,j0)。顯然,ω從0變化到+∞,A(ω)單調遞減,而φ(ω)則從0°到-180°但不超過-180°。

奈氏圖與實軸的交點可由φ(ω)=0°得到,即為(10,j0);奈氏圖與虛軸的交點可由φ(ω)=270°(即-90°)得到,即得1-0.1ω2=0,ω2=10,則故奈氏圖與虛軸的交點為(0,-j2.87)。其奈氏圖如圖5-21所示。用MATLAB繪制的奈氏圖如圖5-22所示。注意,一般手繪的奈氏圖,其頻率范圍是0~+∞,而MATLAB繪制奈氏圖時,則是從-∞~+∞。MATLAB繪制程序如下：

nyquist(［10］,conv(［11］,［0.11］))圖5-21例5-1的奈氏圖圖5-22MATLAB繪制例5-1的奈氏圖【例5-2】已知系統的開環傳遞函數為試繪制其奈氏圖。

解該傳遞函數的幅頻特性和相頻特性分別為因此有ω=0,A(ω)=1,φ(ω)=0°和ω=+∞,A(ω)=0,φ(ω)=-∞。即奈氏圖的起點為(1,j0),終點為(0,j0),隨著ω的增大,曲線距離原點越來越近,相角越來越負,奈氏圖與實軸和虛軸有無窮多個交點。系統的奈氏圖如圖5-23所示。圖5-23例5-2的奈氏圖【例5-3】

設系統的開環傳遞函數為試繪制其奈氏圖。

解該傳遞函數的幅頻特性和相頻特性分別為所以有ω=0+,A(ω)=+∞,φ(ω)=-90°-Δ為正的很小量,故起點在第Ⅲ象限;ω=+∞,A(ω)=0,φ(ω)=-270°+Δ,故在第Ⅱ象限趨向終點(0,j0)。

因為相角從-90°變化到-270°,所以必有與負實軸的交點。由φ(ω)=-180°得即

上式兩邊取正切,得2ω=1/ω,即ω=0.707,此時A(ω)=0.67。因此,奈氏圖與實軸的交點為(-0.67,j0)。系統的奈氏圖如圖5-24所示。用MATLAB繪制(-1,j0)點附近的奈氏圖如圖5-25所示，其程序如下：

nyquist(［1］,conv(conv(［10］,［11］),［21］))【例5-3】中系統型次即開環傳遞函數中積分環節個數ν=1,若分別取ν=2,3和4,則根據積分環節的相角,將圖5-24曲線分別繞原點旋轉－90°,－180°和－270°即可得相應的奈氏圖,如圖5-26所示。

圖5-24例5-3的奈氏圖圖5-25MATLAB繪制例5-3的奈氏圖圖5-26ν=1,2,3,4時的奈氏圖【例5-4】

設系統的開環傳遞函數為其中K=0.1,T=1,T1=0.2,T2=0.5。試繪制系統的奈氏圖。

解該傳遞函數的幅頻特性和相頻特性分別為

根據系統的幅頻特性和相頻特性有:ω=0+,A(ω)=+∞，φ(ω)=-90°+Δ,故奈氏圖起點在第Ⅳ象限;ω=+∞,A(ω)=0,φ(ω)=-180°+Δ,故系統奈氏圖在第Ⅲ象限趨向終點(0,j0)。因為相角范圍為－90°~－180°,所以必有與負虛軸的交點。由φ(ω)=－90°得-90°+arctgω-arctg0.2ω-arctg0.5ω=-90°即arctgω=arctg0.2ω+arctg0.5ω上式兩邊取正切,得ω2=3,即ω=1.732,此時A(ω)=0.0825。所以,奈氏圖與虛軸的交點為(0,-j0.0825)。系統奈氏圖如圖5-27所示。圖5-27例5-4的奈氏圖5.3.2開環頻率特性伯德圖的繪制控制系統一般總是由若干環節組成的,設其開環傳遞函數為G(s)=G1(s)G2(s)…Gn(s)系統的開環頻率特性為或(5.36)則系統的開環對數頻率特性為(5.37)其中,Li(ω)=20lgAi(ω),(i=1,2,…,n)。可見,系統開環對數幅頻特性和相頻特性分別由各個環節的對數幅頻特性和相頻特性相加得到。【例5-5】

繪制開環傳遞函數為的零型系統的伯德圖。解系統開環對數幅頻特性和相頻特性分別為圖5-28例5-5的伯德圖

實際上,在熟悉了對數幅頻特性的性質后,不必先一一畫出各環節的特性,然后相加,而可以采用更簡便的方法。由上例可見,零型系統開環對數幅頻特性的低頻段為20lgK的水平線,隨著ω的增加,每遇到一個交接頻率,對數幅頻特性就改變一次斜率。【例5-6

】

設Ⅰ型系統的開環傳遞函數為試繪制系統的伯德圖。

解系統開環對數幅頻特性和相頻特性分別為不難看出,此系統對數幅頻特性的低頻段斜率為－20dB/dec,它(或者其延長線)在ω=1處與L1(ω)=20lgK的水平線相交。在交接頻率ω=1/T處,幅頻特性的斜率由－20dB/dec變為－40dB/dec,系統的伯德圖如圖5-29所示。圖5-29例5-6的伯德圖

通過以上分析,可以看出系統開環對數幅頻特性有如下特點:低頻段的斜率為－20νdB/dec,ν為開環系統中所包含的串聯積分環節的數目。低頻段(若存在小于1的交接頻率時則為其延長線)在ω＝1處的對數幅值為20lgK。在典型環節的交接頻率處,對數幅頻特性漸近線的斜率要發生變化,變化的情況取決于典型環節的類型。如遇到G(s)＝(1+Ts)±1的環節,交接頻率處斜率改變±20dB/dec;如遇二階振蕩環節 ,在交接頻率處斜率就要改變－40dB/dec,等等。

綜上所述,可以將繪制對數幅頻特性的步驟歸納如下:(1)將開環頻率特性分解,寫成典型環節相乘的形式;(2)求出各典型環節的交接頻率,將其從小到大排列為ω1,ω2,ω3,…

并標注在ω軸上;(3)繪制低頻漸近線(ω1左邊的部分),這是一條斜率為-20νdB/dec的直線,它或它的延長線應通過(1,20lgK)點;(4)隨著ω的增加,每遇到一個典型環節的交接頻率,就按上述方法改變一次斜率;(5)必要時可利用漸近線和精確曲線的誤差表,對交接頻率附近的曲線進行修正,以求得更精確的曲線。對數相頻特性可以由各個典型環節的相頻特性相加而得,也可以利用相頻特性函數φ(ω)直接計算。【例5-7】

已知系統的開環傳遞函數為試繪制系統的伯德圖。

解將開環傳遞函數寫成如下典型環節乘積形式:

可見,此系統由一個比例環節、一個積分環節、一個慣性環節、一個一階微分環節和一個二階振蕩環節組成,且ω1=1.414,ω2=2,ω3=3。20lgK=20lg7.5=17.5。阻尼比ζ=0.354。在確定了各個環節的交接頻率和20lgK的值以后,可按下列步驟繪制系統的伯德圖:(1)通過點(1,17.5)畫一條斜率為－20dB/dec的直線,它就是低頻段的漸近線;(2)在ω1=1.414處,將漸近線的斜率從－20dB/dec改為－60dB/dec,這是考慮振蕩環節的作用;(3)由于一階慣性環節的影響,從ω2=2起,漸近線斜率應減少20dB/dec,即從原來的－60dB/dec變為－80dB/dec;(4)在ω3=3處,漸近線的斜率改變20dB/dec,形成斜率為－60dB/dec的線段,這是由于一階微分環節的作用;(5)根據相頻特性φ(ω),求出若干點的相頻特性曲線角度值,如表5-6所示,將各點光滑連接,可以繪制系統的相頻特性。開環系統的伯德圖如圖5-30所示(虛線為漸近線)。繪制程序如下：

bode(［1030］,conv(conv(［10］,［12］),［112］))表5-6例5-7系統對數相頻特性曲線角度值圖5-30例5-7的伯德圖5.3.3最小相位系統在以上幾個例子中,系統傳遞函數的極點和零點都位于s平面的左半部,這種傳遞函數稱為最小相位傳遞函數;否則,稱為非最小相位傳遞函數。具有最小相位傳遞函數的系統,稱為最小相位系統;而具有非最小相位傳遞函數的系統,則稱為非最小相位系統。對于幅頻特性相同的系統,最小相位系統的相位遲后是最小的,而非最小相位系統的相位遲后則必定大于前者。當單回路系統中只包含比例、積分、微分、慣性和振蕩環節時,系統一定是最小相位系統。如果在系統中存在遲后環節或者不穩定的環節(包括不穩定的內環回路)時,系統就成為非最小相位系統。

對于最小相位系統,對數幅頻特性與相頻特性之間存在著唯一的對應關系。根據系統的對數幅頻特性,可以唯一地確定相應的相頻特性和傳遞函數,反之亦然。但是,對于非最小相位系統,就不存在上述的這種關系。實用的大多數系統為最小相位系統,為了簡化工作量,對于最小相位系統的伯德圖,可以只畫幅頻特性。例如有一最小相位系統,其頻率特性為另有一非最小相位系統,其頻率特性如下:(T2＞T1＞0)

從圖5-31不難看出,這兩個系統的對數幅頻特性是完全相同的,而相頻特性卻根本不同。前一系統的相角φ1(ω)變化范圍很小,而后一系統的相角φ2(ω)隨著角頻率ω的增加卻從0°變到趨于-180°。繪制程序如下：

bode(［11］,［1001］)holdonbode(［-11］,［1001］)圖5-31最小相位系統和非最小相位系統的伯德圖【例5-8】繪制開環傳遞函數為的伯德圖。解系統的幅頻特性和相頻特性分別為

可見,此系統的幅頻特性與慣性環節相同,而其相頻特性卻比慣性環節多了一項-τω。顯然,它的遲后相角增加很快。開環系統的伯德圖如圖5-32所示。圖5-32例5-8的伯德圖5.4頻域穩定性判據5.4.1映射定理

設有一復變函數為s為復變量,以s復平面上的s＝σ+jω表示。F(s)為復變函數,記F(s)＝U+jV。(5.38)

設對于s平面上除了有限奇點之外的任一點s,復變函數F(s)為解析函數,那么,對于s平面上的每一解析點,在F(s)平面上必定有一個對應的映射點。因此,如果在s平面畫一條封閉曲線,并使其不通過F(s)的任一奇點,則在F(s)平面上必有一條對應的映射曲線,如圖5-33所示。若在s平面上的封閉曲線是沿著順時針方向運動的,則在F(s)平面上的映射曲線的運動方向可能是順時針的,也可能是逆時針的,這取決于F(s)函數的特性。我們感興趣的不是映射曲線的形狀,而是它包圍坐標原點的次數和運動方向,因為這兩者與系統的穩定性密切相關。圖5-33s平面與F(s)平面的映射關系根據式(5.38),復變函數F(s)的相角可表示為(5.39)

假定在s平面上的封閉曲線包圍了F(s)的一個零點z1,而其他零極點都位于封閉曲線之外,則當s沿著s平面上的封閉曲線順時針方向移動一周時,向量(s－z1)的相角變化-2π弧度,而其他各相量的相角變化為零。這意味著在F(s)平面上的映射曲線沿順時針方向圍繞著原點旋轉一周,也就是向量F(s)的相角變化了-2π弧度,如圖5-34所示。若s平面上的封閉曲線包圍著F(s)的Z個零點,則在F(s)平面上的映射曲線將按順時針方向圍繞著坐標原點旋轉Z周。圖5-34封閉曲線包圍z1時的映射情況

用類似分析方法可以推論,若s平面上的封閉曲線包圍了F(s)的P個極點,則當s沿著s平面上的封閉曲線順時針移動一周時,在F(s)平面上的映射曲線將按逆時針方向圍繞著原點旋轉P周。綜上所述,映射定理可以歸納如下:

映射定理設s平面上的封閉曲線包圍了復變函數F(s)的P個極點和Z個零點,并且此曲線不經過F(s)的任一零點和極點,則當復變量s沿封閉曲線順時針方向移動時,在F(s)平面上的映射曲線按逆時針方向包圍坐標原點P-Z周。5.4.2奈奎斯特穩定判據

設系統的開環傳遞函數為m≤n

此系統的特征方程為圖5-35奈氏回線

由上式可見,復變函數F(s)的零點為系統特征方程的根(閉環極點)s1、s2、…、sn,而F(s)的極點則為系統的開環極點p1、p2、…、pn。閉環系統穩定的充分和必要條件是,特征方程的根,即F(s)的零點,都位于s平面的左半部。為了判斷閉環系統的穩定性,需要檢驗F(s)是否有位于s平面右半部的零點。為此可以選擇一條包圍整個s平面右半部的按順時針方向運動的封閉曲線,通常稱為奈奎斯特回線,簡稱奈氏回線,如圖5-35所示。奈氏回線由兩部分組成,一部分是沿著虛軸由下向上移動的直線段C1,在此線段上s＝jω,ω由－∞變到＋∞；另一部分是半徑為無窮大的半圓C2。如此定義的封閉曲線肯定包圍了F(s)的位于s平面右半部的所有零點和極點。

設復變函數F(s)在s平面的右半部有Z個零點和P個極點。根據映射定理,當s沿著s平面上的奈氏回線移動一周時,在F(s)平面上的映射曲線CF=1＋G(s)H(s)將按逆時針方向圍繞坐標原點旋轉N=P－Z周。由于閉環系統穩定的充要條件是,F(s)在s平面右半部無零點,即Z＝0。因此可得以下的穩定判據。

奈奎斯特穩定判據如果在s平面上,s沿著奈氏回線順時針方向移動一周時,在F(s)平面上的映射曲線CF圍繞坐標原點按逆時針方向旋轉N=P周,則系統是穩定的。根據系統閉環特征方程有

G(s)H(s)=F(s)-1 (5.41)這意味著F(s)的映射曲線CF圍繞原點運動的情況,相當于G(s)H(s)的封閉曲線CGH圍繞著(－1,j0)點的運動情況,如圖5-36所示。圖5-36奈氏曲線映射在F(s)平面和G(s)H(s)平面上

繪制映射曲線CGH的方法是:令s＝jω代入G(s)H(s),得到開環頻率特性G(jω)H(jω),按前面介紹的方法畫出奈氏圖,再畫出其對稱于實軸的、ω從0變到－∞的那部分曲線。至于映射曲線上對應于 的部分,由于在實際物理系統中m≤n,當n＞m時G(s)H(s)趨近于零,n＝m時G(s)H(s)為實常數。因此,只要繪制出ω從－∞變化到＋∞的開環頻率特性,就構成了完整的映射曲線CGH。

綜上所述,可將奈氏判據表述如下:閉環控制系統穩定的充分和必要條件是,當ω從－∞變化到＋∞時,系統的開環頻率特性G(jω)H(jω)按逆時針方向包圍(－1,j0)點P周,P為位于s平面右半部的開環極點數目。顯然,若開環系統穩定,即位于s平面右半部的開環極點數P＝0,則閉環系統穩定的充分和必要條件是:系統的開環頻率特性G(jω)H(jω)不包圍(－1,j0)點。【例5-9】

已知開環傳遞函數為試繪制(1)K=5,(2)K=10時的奈氏圖,并判斷系統的穩定性。

解

(1)當K=5時,開環幅頻特性和相頻特性分別為

從而有ω=0+時,A(ω)=5,φ(ω)=0°;ω=+∞時,A(ω)=0,φ(ω)=-270°+Δ,故奈氏圖在第Ⅱ象限趨向終點(0,j0)。因為相角范圍為0°~－270°,所以必有與負實軸的交點。當ω=1.8時,φ(ω)=-177°,A(ω)=0.66;當ω=1.9時,φ(ω)=－181°,A(ω)=0.59。所以,當ω=ω1,1.8＜ω1＜1.9時,φ(ω)=－180°,A(ω)=A1,0.59＜A1

＜0.66,因此與實軸的交點在(－1,j0)點的右側。奈氏圖如圖5-37所示。因為s平面右半部的開環極點數P＝0,且奈氏曲線不包圍(－1,j0)點,即N=0,則Z＝P－N=0,所以系統穩定。(2)當K=10時,奈氏圖形狀與(1)相同,只是以坐標原點為中心,向外“膨脹”而已。“膨脹”的倍數為10/5=2,故與實軸的交點的橫坐標在(－0.59×2,－0.66×2)之間,即交點在(－1,j0)點的左側。因為s

平面右半部的開環極點數P＝0,且奈氏曲線順時針包圍(－1,j0)點2次,即N=－2,則Z＝P－N=2,所以系統不穩定,有兩個閉環極點在s平面右半部。用MATLAB繪制的奈氏圖如圖5-38所示，其程序如下：

nyquist(［5］,conv(conv(［10.5］,［11］),［12］))圖5-37例5-9的奈氏圖圖5-38MATLAB繪制例5-9的奈氏圖5.4.3虛軸上有開環極點時的奈氏判據虛軸上有開環極點的情況通常出現在系統中有串聯積分環節的時候,即在s平面的坐標原點有開環極點。這時不能直接應用圖5-35所示的奈氏回線,因為映射定理要求此回線不經過F(s)的奇點。為了在這種情況下應用奈氏判據,可以選擇圖5-39所示的奈氏回線,它與圖5-35中奈氏回線的區別僅在于,此回線經過以坐標原點為圓心,以無窮小量ε為半徑的,在s平面右半部的小半圓,繞過了開環極點所在的原點。當ε→0時,此小半圓的面積也趨近于零。因此,F(s)的位于s平面右半部的零點和極點均被此奈氏回線包圍在內，而將位于坐標原點處的開環極點劃到了左半部。這樣處理是為了適應奈氏判據的要求,因為應用奈氏判據時必須首先明確位于s平面右半部和左半部的開環極點的數目。圖5-39虛軸上有極點的奈氏回線當s沿著上述小半圓移動時,有

當ω從0-沿小半圓變到0+時,s按逆時針方向旋轉了180°,G(s)H(s)在其平面上的映射為ν為系統中串聯的積分環節數目。

由以上分析可見,當s沿著小半圓從ω=0-變化到ω=0+時,θ角從－90°經0°變化到＋90°,這時在G(s)H(s)平面上的映射曲線將沿著半徑為無窮大的圓弧按順時針方向從90ν°經過0°轉到－90ν°。【例5-10】

繪制開環傳遞函數為的奈氏圖,并判斷系統的穩定性。解開環幅頻特性和相頻特性分別為

從而有ω=0+時,A(ω)=∞,φ(ω)=-90°-Δ,Δ為正的很小量,故起點在第Ⅲ象限;ω=+∞時,A(ω)=0,φ(ω)=-270°+Δ,故在第Ⅱ象限趨向終點(0,j0)。因為相角范圍從－90°到－270°,所以必有與負實軸的交點。由φ(ω)=－180°得即上式兩邊取正切,得0.5ω=1/ω,即ω=1.414,此時A(ω)=1.67。因此奈氏圖與實軸的交點為(－1.67,j0)。系統開環傳遞函數有一極點在s平面的原點處,因此奈氏回線中半徑為無窮小量ε的半圓弧對應的映射曲線是一個半徑為無窮大的圓弧:ω:0-→0+;θ:－90°→0°→＋90°;φ(ω):＋90°→0°→－90°奈氏圖如圖5-40所示。因為s

平面右半部的開環極點數P＝0,且奈氏曲線順時針包圍(－1,

j0)點2次,即N=－2,則Z＝P－N=2,所以系統不穩定,有兩個閉環極點在s平面右半部。用MATLAB繪制(－1,j0)點附近的奈氏圖如圖5-41所示，其程序如下：

nyquist(［10］,conv(conv(［10］,［11］),［12］))圖5-40例5-10的奈氏圖圖5-41MATLAB繪制例5-10的奈氏圖【例5-11】

繪制開環傳遞函數為的奈氏圖,并判斷系統的穩定性。

解開環幅頻特性和相頻特性分別為從而有ω=0+時,A(ω)=∞,φ(ω)=-180°-Δ,Δ為正的很小量,故奈氏圖起點在第Ⅱ象限;ω=+∞時,A(ω)=0,φ(ω)=-360°+Δ,故在第Ⅰ象限趨向終點(0,j0)。

系統開環傳遞函數有2個極點在s平面的原點處,因此奈氏回線中半徑為無窮小量ε的半圓弧對應的映射曲線是一個半徑為無窮大的圓弧:ω:0-→0+;θ:－90°→0°→＋90°;φ(ω):＋180°→0°→－180°奈氏圖如圖5-42所示。因為s平面右半部的開環極點數P＝0,且奈氏曲線順時針包圍(－1,j0)點2次,即N=－2,則Z＝P－N=2,所以系統不穩定,有兩個閉環極點在s平面右半部。用MATLAB繪制(－1,j0)點附近的奈氏圖如圖5-43所示，其程序如下：

nyquist(［10］,conv(conv(［100］,［11］),［12］))圖5-42例5-11的奈氏圖圖5-43MATLAB繪制例5-11的奈氏圖

5.4.4對數頻率穩定判據對數頻率穩定判據實際上是奈氏判據的另一種形式,即利用開環系統的伯德圖來判別系統的穩定性。系統開環頻率特性的奈氏圖(極坐標圖)和伯德圖之間有如下對應關系:奈氏圖上以原點為圓心的單位圓對應于伯德圖對數幅頻特性的0分貝線;奈氏圖上的負實軸對應于伯德圖上相頻特性的－180°線。伯德圖上,φ(ω)從－180°線以下增加到－180°線以上,稱為φ(ω)對－180°線的正穿越;反之,稱為負穿越。圖5-44例5-12的伯德圖

對數頻率穩定判據可表述如下:閉環系統穩定的充分必要條件是,當ω由0變到∞時,在開環對數幅頻特性L(ω)≥0的頻段內,相頻特性φ(ω)穿越－180°線的次數(正穿越與負穿越次數之差)為P/2。P為s平面右半部開環極點數目。注意,奈氏判據中,s沿著奈氏回線順時針方向移動一周,故ω由－∞變到∞,所以伯德圖中ω由0變到∞時,穿越次數為P/2,而不是P。對于開環穩定的系統,此時，P=0，若在L(ω)≥0的頻段內，相頻特性φ(ω)穿越-180°線的次數(正穿越與負穿越之差)為0則閉環系統穩定;否則閉環系統不穩定。【例5-12】

系統開環傳遞函數為試用對數穩定判據判斷其穩定性。

解伯德圖如圖5-44所示。此系統的開環傳遞函數在s平面右半部沒有極點,即P=0,而在L(ω)≥0的頻段內,相頻特性φ(ω)不穿越－180°線,故閉環系統必然穩定。5.5穩定裕度

從奈氏判據可知,若系統的開環傳遞函數沒有右半平面的極點,且閉環系統是穩定的,那么奈氏曲線G(jω)H(jω)離(－1,j0)點越遠,則閉環系統的穩定程度越高;反之,G(jω)H(jω)離(－1,j0)點越近,則閉環系統的穩定程度越低;如果G(jω)H(jω)穿過(－1,j0)點,則意味著閉環系統處于臨界穩定狀態。這便是通常所說的相對穩定性,它通過G(jω)H(jω)對(－1,j0)點的靠近程度來度量,其定量表示為相角裕度γ和增益裕度Kg,如圖5-45所示。圖5-45相角裕度和增益裕度

1.相角裕度γ

在頻率特性上對應于幅值A(ω)＝1的角頻率稱為剪切頻率,以ωc表示,在剪切頻率處,相頻特性距－180°線的相位差γ叫做相角裕度。圖5-45(a)表示的具有正相角裕度的系統不僅穩定,而且還有相當的穩定儲備,它可以在ωc的頻率下,允許相角再增加(遲后)γ度才達到臨界穩定狀態。因此相角裕度也叫相位穩定性儲備。對于穩定的系統,φ必在伯德圖－180°線以上,這時稱為正相角裕度,或者有正相角裕度,如圖5-45(c)所示。對于不穩定系統,φ必在－180°線以下,這時稱為負相角裕度,如圖5-45(d)所示。故有(5.42)2.增益裕度Kg

在相頻特性等于－180°的頻率ωg處,開環幅頻特性A(ωg)的倒數稱為增益裕度,記做Kg,即(5.43)在伯德圖上,增益裕度改以分貝(dB)表示,Kg=-20lgA(ωg)。此時,對于穩定的系統,L(ωg)必在伯德圖0dB線以下,這時稱為正增益裕度,如圖5-45(c)所示。對于不穩定系統,L(ωg)必在0dB線以上,這時稱為負增益裕度,如圖5-45(d)所示。以上表明,在圖5-45(c)中,對數幅頻特性還可上移Kg,即開環系統的增益增加Kg倍,則閉環系統達到穩定的臨界狀態。

在奈氏圖中,奈氏曲線與負實軸的交點到原點的距離即為1/Kg,它代表在頻率ωg處開環頻率特性的模。顯然,對于穩定系統,1/Kg

＜1,如圖5-45(a)所示;對于不穩定系統有1/Kg

＞1,如圖5-45(b)所示。對于一個穩定的最小相位系統,其相角裕度應為正值,增益裕度應大于1。嚴格地講,應當同時給出相角裕度和增益裕度,才能確定系統的相對穩定性。但在粗略估計系統的暫態響應指標時,有時主要對相角裕度提出要求。保持適當的穩定裕度,可以預防系統中元件性能變化可能帶來的不利影響。為使系統有滿意的穩定儲備,以及得到較滿意的暫態響應,在工程實踐中,一般希望γ為45°~60°，Kg≥10dB,即Kg≥3。【例5-13】

單位反饋系統開環傳遞函數為分別求取K1=10及K1=100時的相角裕度和增益裕度。

解相角裕度可通過對數幅頻特性用圖解法求出。K1=10時,ω1=1,ω2=5。20lgK=20lg2=6dB。畫出對數幅頻特性曲線,如圖5-46所示。圖5-46例5-13的伯德圖(幅頻特性)

由圖可知:所以剪切頻率。相角裕度為當K1從10變到100時,幅頻特性上移20lg(100/10)＝20dB,如圖5-46中虛線所示。所以K1=100時對應的剪切頻率為 。相角裕度為欲求增益裕度,則須先求出ωg,這里給出MATLAB計算的值,如圖5-47所示，其程序如下：

sys=tf(［100］,conv(conv(［10］,［11］),［15］));margin(sys);figuresys=tf(［10］,conv(conv(［10］,［11］),［15］));margin(sys)圖5-47MATLAB繪制的例5-13的伯德圖圖5-47MATLAB繪制的例5-13的伯德圖5.6閉環系統的頻域性能指標5.6.1由開環頻率特性估計閉環頻率特性對于圖5-48所示的系統,其開環頻率特性為G(jω)H(jω),而閉環頻率特性則為因此,已知開環頻率特性,就可以求出系統的閉環頻率特性,也就可以繪出閉環頻率特性曲線。這里介紹的是已知開環頻率特性,定性地估計閉環頻率特性。圖5-48閉環系統設系統為單位反饋,即H(jω)=1,則一般實際系統的開環頻率特性具有低通濾波的性質。所以低頻時|G(jω)|>>1,則高頻時|G(jω)|<<1,則圖5-49閉環幅頻特性例5-13

中取K1=10,則單位反饋系統開環傳遞函數為而閉環傳遞函數為用MATLAB繪制其閉環頻率特性的伯德圖如圖5-50所示，其程序如下：

g1=tf(［10］,conv(conv(［10］,［11］),［15］));g2=tf(［1］,［1］)sys=feedback(g1,g2)margin(sys)圖5-50MATLAB繪制的閉環頻率特性伯德圖5.6.2頻域性能指標圖5-51閉環系統頻域性能指標

截止頻率(帶寬頻率)ωb是指對數幅頻特性的幅值下降到－3dB時對應的頻率。帶寬BW是指幅值不低于 對應的頻率范圍,也即0~ωb的頻率范圍。帶寬反映了系統對噪聲的濾波特性,同時也反映了系統的響應速度。帶寬愈大,暫態響應速度愈快。反之,帶寬愈小,只有較低頻率的信號才易通過,則時域響應往往比較緩慢。

諧振頻率ωr是指產生諧振峰值對應的頻率,它在一定程度上反映了系統暫態響應的速度。ωr

愈大,則暫態響應愈快。對于弱阻尼系統,ωr與ωb的值很接近。諧振峰值Mr是指閉環幅頻特性的最大值。它反映了系統的相對穩定性。一般而言,Mr值愈大,則系統階躍響應的超調量也愈大。通常希望系統的諧振峰值在1.1~1.4之間,相當于二階系統的ζ為0.4＜ζ＜0.7。對于二階系統,其幅頻特性為由 得諧振頻率ωr為(0≤ζ≤0.707)(5.44)則諧振峰值Mr為(0≤ζ≤0.707)(5.45)由 得截止頻率(帶寬頻率)ωb為(0≤ζ≤0.707)(5.46)5.7頻率特性的試驗確定方法

要想用頻率特性分析或設計系統,首先要求出系統的頻率特性。頻率特性可用以下方法求取:(1)如果已知系統的微分方程,可將輸入變量以正弦函數代入,求系統的輸出變量的穩態解,輸出變量的穩態解與輸入正弦函數的復數比即為系統的頻率特性。

(2)如果已知系統的傳遞函數,可將傳遞函數中的s代之以輸入變量jω,即得到系統的頻率特性。

(3)可通過實驗的手段來求出。圖5-52頻率特性的實驗求取

用實驗法測試系統的頻率特性,需要解決影響測試精度的主要因素:(1)由于被測系統具有某些非線性因素或其他漂移等影響,盡管輸入是正弦波信號,但輸出可能含有直流分量及高次諧波;(2)由于隨機干擾,主要是噪聲,使輸出畸變。相關分析法能從被測系統的輸出信號中檢出正弦波的一次諧波,同時抑制直流分量、高次諧波和噪聲。線性系統頻率特性G(jω)可表示為復數形式:(5.47)

實頻特性X(ω)、虛頻特性Y(ω)與幅頻特性A(ω)及相頻特性φ(ω)之間有下列關系:(5.48)圖5-53相關分析法測試頻率特性原理示意圖在輸入信號ur(t)=Usinωt的作用下,被測系統的輸出信號為(5.49)式中,A0——輸出信號中的直流分量;u(t)——輸出信號中的噪聲分量;Asin(ωt+φ)——輸出信號中的基波分量;Ansin(nωt+φ)——輸出信號中的高次諧波分量。

若以幅值為一個單位的基準信號sinωt和cosωt分別與輸出信號uc(t)相乘,然后在基波的整倍數周期內積分并求平均值,則可得到基波分量的實部和虛部,而抑制掉其它分量,此即相關濾波原理。設輸入信號正弦波的頻率為f,周期為T,則ω＝2πf＝2π/T,取整數倍數周期NT求相關值,則有(5.50)考慮到并且從相關理論知,一個信號與另一隨機信號之間的相關值,將隨所取積分時間的增加而降低,即有故當N值取得較大時,式(5.50)可以寫作或者寫成同理可求得

因此,計算相關值后,除了可將測試時輸出信號中夾雜的直流分量、高次諧波分量都濾掉,噪聲的影響也因NT取得足夠大而忽略不計外,還能根據式(5.51)、(5.52)很方便地求得被測系統頻率特性的實部和虛部。為得到一定的測試精度,通常取N＞5。由實驗測出系統的頻率特性后,進而可以求出系統的傳遞函數，下面舉例說明。【例5-14】

圖5-54實線是某系統用實驗測出的頻率特性伯德圖,試求系統的傳遞函數。

解由幅頻特性低頻段可見,該系統為0型系統,且K=1。用折線(見圖中虛線)作為漸近線逼近幅頻特性曲線,其高頻段為－40dB/dec,兩個交接頻率為ω1=1(rad/s),ω2=2.4(rad/s)。由此可知,該系統為二階系統,且

對于最小相位系統,二階系統的相頻特性不會小于－180°,但該系統在高頻段已小于－180°,且呈