清單08對數與對數函數（個考點梳理+題型解讀+提升訓練）【清單01】對數概念1、對數的概念：一般地,如果(,且),那么數叫做以為底的對數,記作,其中叫做對數的底數,叫做真數.特別的：規定,且的原因：①當時，取某些值時，的值不存在，如：是不存在的.②當時，當時，的值不存在，如：是不成立的；當時，則的取值時任意的，不是唯一的.③當時，當，則的值不存在；當時，則的取值時任意的，不是唯一的.2、常用對數與自然對數①常用對數：將以10為底的對數叫做常用對數,并把記為②自然對數：是一個重要的常數,是無理數,它的近似值為2.71828.把以為底的對數稱為自然對數,并把記作說明：“”同+、-、×等符號一樣,表示一種運算,即已知一個底數和它的冪求指數的運算,這種運算叫對數運算,不過對數運算的符號寫在數的前面.【清單02】指數式與對數式的相互轉化當且，【清單03】對數的性質①負數和零沒有對數.②對于任意的且,都有，，；③對數恒等式:（且）【清單04】對數的運算性質當且，,①②③（）④（）⑤（）【清單05】對數的換底公式換底公式：（且，，，且）特別的：【清單06】對數函數的概念1、對數函數的概念一般地，函數叫做對數函數，其中指數是自變量，定義域是.判斷一個函數是對數函數的依據（1）形如；（2）底數滿足；（3）真數是，而不是的函數；（4）定義域.例如：是對數函數，而、都不是對數函數，可稱為對數型函數.2、兩種特殊的對數函數特別地,我們稱以10為底的對數函數為常用對數函數,記作;稱以無理數為底的對數函數為自然對數函數,記作.【清單07】對數函數的圖象及其性質函數的圖象和性質如下表：底數圖象性質定義域值域單調性增函數減函數【考點題型一】指數與對數綜合運算【例1】（24-25高一上·云南昆明·期中）計算下列各式：(1)；(2).【答案】(1)(2)【知識點】指數冪的運算、對數的運算【分析】（1）由指數、對數運算法則運算即可；（2）由對數運算法則即可求解.【詳解】（1）原式；（2）原式.【變式1-1】（24-25高一上·江蘇揚州·期中）求值：(1)；(2).【答案】(1)(2)【知識點】指數冪的運算、對數的運算性質的應用、對數的運算【分析】（1）根據指數冪的運算法則計算可得；（2）根據對數的運算性質計算可得.【詳解】（1）；（2）.【變式1-2】（24-25高一上·江蘇南京·期中）求下列各式的值．(1)(2)【答案】(1)0(2)【知識點】指數冪的化簡、求值、對數的運算性質的應用【分析】（1）利用指數冪的運算性質和對數的運算性質可得結果.（2）利用對數的運算性質化簡可得結果.【詳解】（1）原式.（2）原式.【考點題型二】指數式與對數式的相互轉化核心方法：【例2】（23-24高三上·四川瀘州·階段練習）實數滿足，則下列關系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】對數的運算、指數式與對數式的互化【分析】根據指數式與對數的互化公式，求得，再結合對數的運算公式，即可求解.【詳解】因為，可得，所以，則.故選：B.【點睛】本題主要考查指數式與對數的互化，以及對數的運算公式的化簡、求值，其中解答中熟記指數式與對數的互化公式，以及對數的運算公式，準確運算是解答的關鍵，著重考查運算與求解能力.【變式2-1】（24-25高一上·江蘇無錫·期中）已知，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【知識點】指數式與對數式的互化【分析】把指數式化為對數式后，利用對數的運算性質進行計算即可.【詳解】由，可得，，所以.故選：D.【變式2-2】（多選）（22-23高一上·廣東惠州·期中）已知正實數，滿足，且，則的值可以為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】AD【知識點】指數冪的運算、指數式與對數式的互化、指數冪的化簡、求值【分析】根據指對互化公式和指數的運算律即可求解.【詳解】因為正實數，滿足，且，所以，所以，所以，所以即解得或，當時，當時，故選：AD.【考點題型三】利用換底公式化簡求值核心方法：換底公式：（且，，，且）特別的：【例3】（多選）（24-25高一上·江蘇南通·期中）下列結論正確的有（

）A． B．C． D．若，則.【答案】AC【知識點】對數的運算性質的應用、運用換底公式化簡計算、對數的運算【分析】根據對數的運算法則及換底公式一一計算可得.【詳解】對于A：，，所以，故A正確；對于B：，，所以，故B錯誤；對于C：，故C正確；對于D：因為，所以，，所以，故D錯誤.故選：AC【變式3-1】（24-25高一上·浙江寧波·期中）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識點】對數的運算、運用換底公式化簡計算、指數冪的運算【分析】（1）根據指數冪的運算性質和對數的運算性質求解即可；（2）根據對數的運算性質結合換底公式計算即可.【詳解】（1）原式；（2）原式.【考點題型四】有附加條件的對數求值問題【例4】（23-24高一上·江蘇揚州·期中）（1）已知，，①求的值；②求的值；（2）已知，，①用，表示；

②用，表示．【答案】（1）①，②；（2）①，②【知識點】指數冪的運算、對數的運算性質的應用、對數的運算【分析】（1）根據指數冪的運算法則計算可得；（2）根據對數的運算性質及法則計算可得.【詳解】（1）①因為，，所以；②，，；（2）①因為，，所以；②因為，，所以．【變式4-1】（24-25高一上·上海·期中）已知，，則用表示.【答案】【知識點】對數的運算性質的應用、運用換底公式化簡計算【分析】根據題意利用換底公式以及對數運算求解即可.【詳解】因為，，所以.故答案為：.【變式4-2】（24-25高一上·上海·期中）已知，，用表示.【答案】【知識點】對數的運算【分析】根據條件，利用對數的運算，即可求解.【詳解】因為，又，，所以.【變式4-3】（23-24高一上·廣西·期中）（1）計算：.（2）設，，試用，表示.【答案】（1）2；（2）【知識點】對數的運算性質的應用、運用換底公式化簡計算【分析】（1）根據對數運算性質化簡求值即可；（2）根據換底公式及對數運算性質化簡求解即可.【詳解】（1）.（2）.【考點題型五】對數函數概念辨析【例5】（24-25高一上·全國·課后作業）給出下列函數：①；②；③；④．其中是對數函數的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【知識點】對數函數的概念判斷與求值【分析】根據對數函數的定義，即可判斷.【詳解】①不是對數函數，因為的底數是自變量，不是常數；②不是對數函數，因為對數的真數不是僅有自變量；③不是對數函數，因為對數的底數不是常數；④是對數函數．故選：A【變式5-1】（24-25高一·全國·課后作業）已知下列函數：①y＝log(－x)(x＜0)；②y＝2log4(x－1)(x＞1)；③y＝lnx(x＞0)；④，(x＞0，a是常數)．其中為對數函數的是(只填序號)．【答案】③【知識點】對數函數的概念判斷與求值【分析】根據對數函數滿足，且，判定即可【詳解】由對數函數的定義知，①②不是對數函數；對于③，lnx的系數為1，自變量是x，故③是對數函數；對于④，底數，當時，底數小于0，故④不是對數函數．故答案為：③【考點題型六】與對數函數有關的定義域問題【例6】（24-25高一上·上海·期中）函數的定義域為．【答案】【知識點】求對數型復合函數的定義域【分析】根據對數的真數大于、分式分母不為求解出結果.【詳解】因為，所以，解得，所以定義域為，故答案為：.【變式6-1】（24-25高二上·上海·期中）函數的定義域為．【答案】【知識點】求對數型復合函數的定義域【分析】根據對數的性質求函數定義域.【詳解】由題設，可得，即定義域為.故答案為：【變式6-2】（24-25高一上·上海嘉定·期中）設條件有意義，條件，若是的必要不充分條件，則實數的取值范圍是.【答案】【知識點】根據必要不充分條件求參數、求對數型復合函數的定義域【分析】先分別求出條件表示的集合，再由p是q的必要不充分條件，可得集合是集合的真子集，從而可求出實數的取值范圍【詳解】由，得，記為，由，得，且，當時，，因為p是q的必要不充分條件，所以集合是集合的真子集，則，所以；當時，，顯然滿足題意；當時，，則集合是集合的真子集，則，所以；綜上所述，實數的取值范圍為0,4，故答案為：0,4.【考點題型七】對數函數過定點問題核心方法：【例7】（2024·遼寧大連·模擬預測）已知函數（，且）的圖象恒過定點，若點在直線上，則的最小值為（

）A．13 B． C． D．8【答案】C【知識點】對數型函數圖象過定點問題、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】先得出，再由基本不等式得出答案.【詳解】當時，，即因為在直線上，所以當且僅當時，取等號，即的最小值為.故選：C【變式7-1】（24-25高一上·山東青島·期中）函數且的圖象恒過點，函數且的圖象恒過點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】指數型函數圖象過定點問題、對數型函數圖象過定點問題【分析】利用指數函數與對數函數的性質求得兩定點的坐標，從而得解.【詳解】對于，令，得，，所以的圖象恒過點，即；對于，令，得，，所以的圖象恒過點，即；所以.故選：B.【變式7-2】（24-25高二上·云南昭通·階段練習）已知函數（且）的圖象恒過定點，點在冪函數的圖象上，則.【答案】【知識點】對數型函數圖象過定點問題、求冪函數的值、求冪函數的解析式【分析】根據對數函數的基本性質求出定點的坐標，然后令，將點的坐標代入函數的解析式，求出的值，可得出函數的解析式，由此可得出的值.【詳解】對于函數（且），令，可得，此時，，所以，函數（且）的圖象恒過定點，因為函數為冪函數，設，則，解得，所以，，故.故答案為：.【考點題型八】指數與對數函數的圖象綜合【例8-1】（23-24高一上·河南·期末）函數的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點】函數圖像的識別、函數圖象的變換、對數函數圖象的應用【分析】利用的性質與函數值排除BCD，再利用函數的平移與對稱變換判斷A，從而得解.【詳解】對于，必有，故CD錯誤；又，故B錯誤；將函數在軸下方圖象翻折到上方可得函數的圖象，再將其在軸右側圖象翻折到左側，右側不變，可得函數的圖象，進而將得到的函數圖象向右平移1個單位，可得函數的圖象，故A正確.故選：A.【例8-2】（23-24高一上·山東濱州·期末）若函數（，且）的圖象如圖所示，則下列函數與圖象對應正確的為（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】函數圖像的識別、對數函數圖象的應用、冪函數圖象的判斷及應用、指數函數圖像應用【分析】利用函數經過點，求出，并代入選項，借助基本初等函數逐一判斷即可.【詳解】從函數（，且）的圖象可知：該函數經過，所以，即，解得，對于選項A:，由指數函數可知在定義域上單調遞減，故選項A錯誤；對于選項B:，當時，則，由冪函數可知在上單調遞增且圖象靠近軸，故選項B錯誤；對于選項C:該函數為，可看成的圖象關于軸對稱，對稱后在單調遞增，故選項C錯誤；對于選項D:，由冪函數可知在上單調遞增且圖象靠近軸，故選項D正確.故選：D.【變式8-1】（23-24高二下·江蘇宿遷）函數的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】函數圖像的識別、對數函數圖象的應用【分析】對比選項中的圖象，再分別計算和時，的取值情況，即可作出選擇．【詳解】當時，，，則，排除選項B和C；當時，，排除選項A，選項D符合題意.故選：D【變式8-2】（多選）（24-25高一上·湖南長沙·期中）已知，且，函數與的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】BC【知識點】函數圖像的識別、對數函數圖象的應用、指數函數圖像應用【分析】討論底數a，根據函數的單調性進行判斷【詳解】由，且，則，所以，若時，則，所以曲線函數圖象上升，即為增函數，且單調遞減，又函數與關于y軸對稱，所以曲線為增函數，選項B符合條件；若，則，曲線函數圖象下降，即為減函數，且單調遞增，又函數與關于y軸對稱，所以函數的圖象下降，即為減函數，選項C符合條件，故選：BC【考點題型九】對數型復合函數值域【例9】（24-25高三上·河南焦作·階段練習）若函數，則函數的值域為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】求指數型復合函數的值域、求二次函數的值域或最值、求對數函數在區間上的值域【分析】根據對數的單調性可得，再根據二次函數的性質以及指數函數的性質即可求解.【詳解】函數在上單調遞增，又，，故，令，而函數在上單調遞增，則，所以函數的值域為.故選：D.【變式9-1】（2024高三·全國·專題練習）已知函數，的最小值是.【答案】2【知識點】求對數型復合函數的值域、求對數型復合函數的定義域、基本不等式求和的最小值【分析】先求出函數的定義域，然后利用基本不等式求得內層函數的值域，然后利用對數函數的單調性求得外層函數的值域，即可解答.【詳解】根據題意得到，，解得，即，則的定義域是．由于函數.化簡得到，由于，則，當且僅當，即時取最值．所以，則的最小值是2．故答案為：2【變式9-2】（23-24高三上·上海黃浦·期中）函數在區間上的最小值為.【答案】【知識點】基本不等式求和的最小值、對數的運算性質的應用、求對數函數在區間上的值域【分析】對函數變形后，利用基本不等式求出最小值.【詳解】，因為，所以，故，故，當且僅當，即時，等號成立.故答案為：.【變式9-3】（23-24高一上·廣東·期中）已知函數.(1)求方程的根；(2)求在上的值域.【答案】(1)(2)【知識點】指數式與對數式的互化、求對數函數在區間上的值域、求二次函數的值域或最值、求指數函數在區間內的值域【分析】（1）利用一元二次方程的解法，結合對數的定義，可得答案.（2）根據復合函數的性質，結合對數函數、指數函數、二次函數的單調性，可得答案.【詳解】（1）由，可得，整理可得，分解因式可得，由，解得，則.（2）由，根據函數在上單調遞增，則，令，，根據二次函數的性質，則，由函數在上單調遞增，則.【考點題型十】對數型復合函數值域（可化為一元二次函數型）核心方法：換元法（特別題型：換元必換范圍）【例10-1】（23-24高一上·江蘇蘇州·階段練習）已知，則的值域是．【答案】【知識點】求二次函數的值域或最值、求對數函數在區間上的值域【分析】先由題意求得的定義域，再利用換元法與二次函數的性質即可得解.【詳解】因為，所以的定義域滿足，解得，因為在上單調遞增，所以令，又，則，易知在上單調遞增，則當時，；當時，，所以的值域為.故答案為：.【例10-2】（23-24高一上·安徽淮北·階段練習）已知函數.(1)若，求方程的解集；(2)當時，求函數的最小值.【答案】(1)(2)【知識點】求二次函數的值域或最值、對數的運算性質的應用、求對數函數在區間上的值域、對數函數單調性的應用【分析】（1）根據對數的運算化簡方程即可得出解集；（2）根據二次函數的對稱軸，分類討論，即可求出函數的最小值.【詳解】（1），若，則，令，則方程為，解得：或，則或，∴或，∴方程的解集為.（2）∵，∴，令，則在上的最小值等價于在上的最小值，對稱軸為.當，即時，；當，即時，；當，即時，.綜上，.【點睛】關鍵點睛：二次函數求最值問題，需要根據開口方向及對稱軸研究函數的最值，對稱軸與定義域的關系，分3種情況討論即可，屬于中檔題.【變式10-1】（23-24高一下·安徽合肥·期末）函數的最小值為．【答案】/【知識點】求二次函數的值域或最值、對數的運算性質的應用、求對數函數在區間上的值域、復合函數的值域【分析】利用對數的運算法則與換元法得到，結合配方法即可得解.【詳解】因為，令，則，則，因為，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為.故答案為：.【變式10-2】（23-24高一下·河北石家莊·期中）函數的定義域為.(1)設，求t的取值范圍；(2)求函數的最大值與最小值，并求出取最值時對應的x的值【答案】(1)(2)的最大值為12，此時；最小值為，此時.【知識點】利用函數單調性求最值或值域、求對數函數在區間上的值域、與二次函數相關的復合函數問題、求對數函數的最值【分析】（1）根據對數函數的單調性求出的取值范圍；（2）在（1）的基礎上，化簡得到，求出最值和對應的x的值.【詳解】（1）在單調遞增，故；（2），令，，則函數變形為，當時，，此時，解得，當時，，此時，解得【考點題型十一】對數型復合函數的單調性問題核心方法：復合函數求單調性法則（特別題型，容易忽視定義域而造成錯解）【例11】（23-24高一上·河北唐山·期中）函數的單調增區間為．【答案】（也對）【知識點】對數型復合函數的單調性【分析】先求得函數的定義域，然后根據復合函數的單調性同增異減來求得單調增區間.【詳解】由得，解得，所以的定義域是.函數的開口向下，對稱軸為，函數在0,+∞上單調遞減，根據復合函數的單調性同增異減可知，的單調遞增區間是.故答案為：（也對）【變式11-1】（24-25高一上·福建廈門·期中）函數的單調遞減區間是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】求對數型復合函數的定義域、對數型復合函數的單調性【分析】由對數函數性質計算出定義域后，結合復合函數單調性的判定方法計算即可得.【詳解】由題意可得，解得或，由，則其在上單調遞減，在上單調遞增，又為單調遞增函數，故的單調遞減區間.故選：B.【變式11-2】（24-25高三上·江蘇泰州·期中）函數的單調遞增區間為．【答案】【知識點】對數型復合函數的單調性【分析】先求得函數的定義域，然后根據復合函數單調性同增異減來求得單調遞增區間.【詳解】由，解得或，所以的定義域為.函數在上單調遞增，的開口向上，對稱軸為，根據復合函數單調性同增異減可知的單調遞增區間是.故答案為：【考點題型十二】根據對數型復合函數的單調性求參數核心方法：復合函數求單調性法則【例12】（24-25高三上·天津南開·階段練習）已知函數在上單調遞增，則實數的取值范圍為.【答案】【知識點】對數型復合函數的單調性、由對數（型）的單調性求參數、函數不等式恒成立問題【分析】根據對數函數性質分析可知：在上單調遞增，且gx>0，結合二次函數列式求解即可.【詳解】因為在定義域0,+∞內單調遞增，由題意可得：在上單調遞增，且gx>0，則，解得，所以實數的取值范圍為.故答案為：.【變式12-1】（24-25高三上·山東德州·期中）已知關于的函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】對數型復合函數的單調性、已知二次函數單調區間求參數值或范圍【分析】由復合函數的單調性的性質和對數函數的定義域，知道內函數在區間上單調遞減且函數值一定為正，建立不等式組，求得的取值范圍.【詳解】令，則，∵，∴在上單調遞減，由復合函數的單調性可知，在單調遞減，∴，則，∴故選：D【變式12-2】.（24-25高三上·廣東惠州·期中）已知函數，則“”是“函數在上單調遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【知識點】判斷命題的充分不必要條件、對數型復合函數的單調性【分析】根據對數函數與二次函數的性質，結合復合函數的單調性判別，建立不等式，利用充分條件與必要條件的定義，可得答案.【詳解】若函數在上單調遞增，則，解得，所以“”是“函數在上單調遞增”的充分不必要條件.故選：A.【考點題型十三】利用對數函數單調性比大小核心方法：單調性【例13】（24-25高三上·四川成都·階段練習）已知，，，則，，的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點】比較指數冪的大小、比較對數式的大小【分析】由對數函數的底數小于1得到函數單調遞減，判斷出，的大小關系，又判斷出，大于1，小于1，從而得出結論.【詳解】由于在單調遞減，故，又∵，∴.故選：A.【變式13-1】（24-25高三上·內蒙古錫林郭勒盟·期中）已知，，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點】比較對數式的大小【分析】利用對數函數單調性可比較大小.【詳解】因對數函數，在上單調遞增，則，即.故選：A【變式13-2】（24-25高三上·四川德陽·階段練習）已知，，，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】比較對數式的大小【分析】根據對數函數的性質判斷即可.【詳解】因為，所以，又，所以，即.故選：C【考點題型十四】利用對數函數單調性解不等式核心方法：單調性【例14-1】（23-24高一下·湖北·期中）已知函數.(1)若在上單調遞減，求的取值范圍;(2)若，解不等式.【答案】(1)(2)【知識點】由對數函數的單調性解不等式、由對數（型）的單調性求參數【分析】（1）在上單調遞減，所以，求出函數的定義域，則為其定義域的子集，求解即可.（2）利用對數的加法運算化簡解析式，然后利用對數函數的單調性解不等式即可.【詳解】（1）依題意在上單調遞減，所以，所以由，解得，所以，

解得，即的取值范圍是.（2）依題意，即，從而有

解得或，

即不等式解集為.【例14-2】（23-24高一上·山東泰安·期中）函數.(1)如果時，有意義，求實數的取值范圍；(2)當時，值域為，求實數的值；(3)在（2）條件下，.解關于的不等式.【答案】(1)(2)0(3)答案見解析【知識點】由對數函數的單調性解不等式、解含有參數的一元二次不等式、根據對數函數的值域求參數值或范圍、求對數型復合函數的定義域【分析】（1）變換，令，計算最值得到答案.（2）令，的值域包含，考慮和兩種情況，計算得到答案.（3）確定，函數單調遞增，得到，考慮，，，幾種情況，解得答案.【詳解】（1），，即，令，，則恒成立，，，故，a的取值范圍為.（2）令，的值域包含，①時，，其值域為，滿足條件；②時，，令，，，函數為開口向下的拋物線，的值域為，不滿足條件；綜上所述：.（3），定義域為，，函數單調遞增，，即，即，且，①當時，解集為或；②當時，解集為；③當時，解集為或；④當時，解集為；【變式14-1】（24-25高一上·吉林延邊·期中）已知函數.(1)求函數的定義域；(2)判斷奇偶性，并加以證明；(3)若，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)偶函數，證明見解析(3)【知識點】函數奇偶性的定義與判斷、求對數型復合函數的定義域、由對數函數的單調性解不等式【分析】（1）由且求解；（2）利用函數奇偶性的定義求解；（3）將轉化為求解.【詳解】（1）解：由題意得：且，解得，所以函數定義域為；（2）因為的定義域為，關于原點對稱，又，所以為偶函數；（3），則<3，化簡得且，解得或.【變式14-2】（23-24高一上·河北·期末）已知函數.(1)判斷函數的奇偶性；(2)判斷函數的單調性；(3)若，求實數的取值范圍.【答案】(1)奇函數(2)在上單調遞增(3)【知識點】由對數函數的單調性解不等式、根據函數的單調性解不等式、對數型復合函數的單調性、函數奇偶性的定義與判斷【分析】（1）求出函數定義域，根據函數奇偶性的定義，即可判斷出函數的奇偶性；（2）將變形為，根據復合函數的單調性的判斷方法，即可判斷出答案；（3）根據函數的單調性，可列出不等式組，即可求得答案.【詳解】（1）由題意得函數定義域為，關于原點對稱，則，故函數為奇函數；（2）由于，由于函數在上單調遞減，而在上單調遞減，故在上單調遞增；（3）因為在上單調遞增，故成立，需滿足，解得.【考點題型十五】對數函數綜合問題（單調性，奇偶性，恒成立，不等式，值域等綜合問題）核心方法：單調性【例15-1】（24-25高一上·福建廈門·期中）已知函數，關于的不等式的解集為，且.(1)求的值；(2)是否存在實數，使函數的最小值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)或【知識點】根據二次函數的最值或值域求參數、由對數函數的單調性解不等式【分析】（1）先根據，求出不等式的解，結合可得的值；（2）利用換元法，把函數轉化為二次函數，結合二次函數區間最值法求解.【詳解】（1）由可得，又，所以，又因為的解集為，所以，因為，所以，即，解得或，因為，所以；（2）由（1）可得，令，則，設，①當時，在上單調遞增，則，解得，符合要求；②當時，在上單調遞減，在上單調遞增，，解得，又，故；③當時，在上單調遞減，，解得，不合題意；綜上所述，存在實數或符合題意.【例15-2】（24-25高一上·浙江·期中）已知函數為奇函數.(1)求實數的值；(2)解不等式；(3)設函數，若對任意的，總存在，使得成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)0,1(3)【知識點】復雜（根式型、分式型等）函數的值域、求對數函數在區間上的值域、由奇偶性求參數、指數不等式【分析】（1）由奇函數定義得f?x=?fx（2）由（1）得出解析式，結合指數函數性質解不等式即可；（3）借助（2）中解析式求出值域，利用換元法求出的值域，由題意得出，進而得出的取值范圍.【詳解】（1）函數中，，因為為奇函數，所以f?x=?fx整理得，所以.（2）由（1）可知，其定義域為，由得，即，整理得，解得，所以不等式的解集為0,1.（3）由（2）知，，當時，，故，所以在上值域為，又，，令，則，所以當時，，當時，，所以函數在上值域為，因為對任意的，總存在，使得成立，所以，所以，解得，所以實數的取值范圍為.【例15-3】（23-24高一上·河北唐山·期中）已知函數且的圖象經過點，且函數為奇函數(1)求函數的解析式；(2)判斷并證明在定義域上的單調性；(3)若關于的不等式在區間上恒成立，求正實數的取值范圍．【答案】(1)，，(2)在R上單調遞增；證明見解析(3)．【知識點】定義法判斷或證明函數的單調性、由奇偶性求函數解析式、函數不等式恒成立問題【分析】（1）將代入可得解析式，利用結合可得解析式；（2）證明當時，即可；（3）不等式可化簡為，后令，結合雙溝函數單調性可得答案.【詳解】（1）由題意，過點，即，解得，所以，．為R上的奇函數，，解得，即，其定義域為R，關于原點對稱，且，故此時為奇函數；（2）在R單調遞增.設，則，因為，，，所以，于是在R上單調遞增；（3）由在區間上恒成立，得，即，令，，則，令，，設，，根據對勾函數單調性知在0,1上單調遞減，而為單調遞增函數，則根據復合函數單調性知：在上單調遞減，，若關于的不等式在區間上恒成立，則，又為正實數，．【變式15-1】（24-25高三上·遼寧大連·期中）已知函數為奇函數.(1)求實數a的值；(2)設函數，若對任意的，總存在，使得成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識點】求指數型復合函數的值域、求對數型復合函數的值域、由奇偶性求參數【分析】（1）首先可得函數的定義域，根據奇函數的性質得到，求出參數的值，再檢驗即可；（2）首先求出在上的值域，再利用換元法求出在上的值域，依題意，即可得到不等式組，解答即可.【詳解】（1）由題意可得，函數的定義域為R，因為是奇函數，所以，可得，經檢驗，對于，成立，所以．（2）由（1）可得，因為，所以，，，，，所以當時的值域，又，，設，，則，當時，取最小值為，當時，取最大值為，即在上的值域，又對任意的，總存在，使得成立，即，所以，解得，即實數m的取值范圍是．【變式15-2】（24-25高一上·浙江紹興·期中）函數.(1)當時，求該函數的值域；(2)若對于恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2).【知識點】求對數函數的最值、函數不等式恒成立問題【分析】（1）根據對數的運算性質，結合換元法、對數的單調性進行求解即可；（2）根據（1）的結論，通過常變量分離，結合構造函數、結合基本不等式進行求解即可.【詳解】（1），，，令，則，易知單調遞減，該函數值域為即；（2）令，則在上恒成立，當時，恒成立，；當時，等價于恒成立，令.當且僅當時取等號，.綜上，.【變式15-3】（23-24高一上·江蘇南通·期中）已知函數，函數(1)試判斷函數的單調性，并證明你的結論；(2)若不等式對恒成立，求實數a的取值范圍．【答案】(1)在上單調遞增，證明見解析(2)【知識點】由對數函數的單調性解不等式、定義法判斷或證明函數的單調性【分析】（1）利用函數的單調性的定義以及對數函數的性質進行證明；（2）遇到恒成立的問題，經常轉化為求最值的問題，從而得出關于a的不等式組，求解即可.【詳解】（1）在其定義域上單調遞增.證明如下：設任意，則有：，，，，，，，在上單調遞增，，即.函數在上單調遞增.（2）由（1）知：當時，，由不等式對恒成立，得，為單調遞增函數，，，解得.實數a的取值范圍【考點題型十六】對數函數中新定義問題【例16】（23-24高一下·貴州貴陽·期中）對于在區間上有意義的函數，若滿足對任意的，，有恒成立，則稱在上是“友好”的，否則就稱在上是“不友好”的.現有函數.(1)當時，判斷函數在上是否“友好”；(2)若函數在區間上是“友好”的，求實數的取值范圍.【答案】(1)在上“友好”(2)【知識點】函數新定義、函數不等式恒成立問題、求對數函數的最值、根據對數函數的最值求參數或范圍【分析】（1）判斷函數的單調性，利用單調性求出最值，即可判斷；（2）根據單調性求出函數的最值，即可得到，參變分離得到，換元，利用函數的單調性求出的最大值，即可求出參數的取值范圍.【詳解】（1）當時，，因為在上單調遞減，在上單調遞增，所以在上單調遞減，所以，，所以，即，有，所以當時，函數在上是“友好”的.（2）依題意可得在上單調遞減，則，，則有，即，即，可得，即，令，因為，則且，則，令，，令，令任意的且，則，即，所以函數在上單調遞減，同理可得在上單調遞增，又，，當或時，取最大值，此時，于是當或時，取最大值，依題意，又對于任意的，恒成立，即恒成立，因為，所以，即，所以，此時，綜上可得的取值范圍是.【變式16-1】（23-24高一上·江蘇無錫·階段練習）若函數對定義域內的每一個值，在其定義域內都存在唯一的，使成立，則稱該函數為“和一函數”．(1)判斷定義在區間上的函數是否為“和一函數”，并說明理由；(2)若函數在定義域上是“和一函數”．①求的值；②求的取值范圍．【答案】(1)不是“和一函數”；理由見解析(2)①；②．【知識點】求對數函數在區間上的值域、函數新定義、對勾函數求最值、根據解析式直接判斷函數的單調性【分析】（1）舉出反例即可；（2）①根據函數單調性得到，對任意，，存在，使成立，則，根據集合包含關系得到，則，②表達出，，由對勾函數單調性得到取值范圍.【詳解】（1）在區間上的函數不是“和一函數”，理由如下：在上是減函數，，當時，對任意，，不符合“和一函數”的定義，故在區間上的函數不是“和一函數”；（2）①在上是增函數，，∴值域，又在定義域上是“和一函數”，對任意，，存在，使成立，則，，，則，即，，則，②，即，，，解得，則，令，，在上是減函數，在上是減函數，∴在上是減函數，則，，故的取值范圍為．【點睛】方法點睛：函數新定義問題的方法和技巧：（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉化為具體的簡單的應用，從而加深對信息的理解；（2）可用自己的語言轉述新信息所表達的內容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；（3）發現新信息與所學知識的聯系，并從描述中體會信息的本質特征與規律；（4）如果新信息是課本知識的推廣，則要關注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.【變式16-2】.（2024·上海金山·二模）已知函數與有相同的定義域．若存在常數()，使得對于任意的，都存在，滿足，則稱函數是函數關于的“函數”．(1)若，，試判斷函數是否是關于的“函數”，并說明理由；(2)若函數與均存在最大值與最小值，且函數是關于的“函數”，又是關于的“函數”，證明：；(3)已知，，其定義域均為．給定正實數，若存在唯一的，使得是關于的“函數”，求的所有可能值．【答案】(1)不是，理由見解析(2)證明見解析(3)的所有可能值為或【知識點】函數新定義【分析】（1）結合題目所給定義分別計算即可得；（2）結合定義可得，，即可得解；（3）記集合，，結合定義可得，再分、、討論即可得.【詳解】（1）不是關于的“函數”．解法一：當時，，所以不存在，使得解法二：因為函數()的值域為，比如取，則，不存在，使得；（2）設．由題意，存在，使得．因為函數是關于的“函數”，所以存在，滿足，從而．同理，由是關于的“函數”，可得，綜上，；（3）記集合，．由是關于的“函數”，得，①當時，，，從而，解得，因唯一，令，解得(舍)或(舍)；②當時，，，從而，解得，因唯一，令，解得，符合題意；③當時，，，從而，解得，因唯一，令，解得，符合題意；綜上，的所有可能值為或．【點睛】關鍵點點睛：最后一問關鍵點在于借助集合，，得到，從而對、、討論.提升訓練1．（24-25高一上·上海·期中）已知，若，則（

）A．?2 B． C． D．【答案】B【知識點】指數冪的運算、對數的運算【分析】結合對數的運算，化簡可得，得到并解出方程組即可.【詳解】由題可得：，即，所以，解得：.所以.故選：B.2．（24-25高一上·江蘇·期中）（

）A．4 B．2 C． D．【答案】C【知識點】對數的運算【分析】運用對數運算性質計算即可【詳解】由，，則，故選：C3．（24-25高三上·福建寧德·期中）某一物質在特殊環境下的溫度變化滿足：（為時間，單位為為特殊環境溫度，為該物質在特殊環境下的初始溫度，為該物質在特殊環境下冷卻后的溫度），假設一開始該物質初始溫度為100℃，特殊環境溫度是20℃，則經過15min，該物質的溫度最接近（參考數據：）（

）A．54℃ B．52℃ C．50℃ D．48℃【答案】C【知識點】指數式與對數式的互化【分析】由題意得到，進而求解即可.【詳解】由初始溫度為100℃，特殊環境溫度是20℃，時間15min代入題中式子得：，即，即.故選：C.4．（24-25高三上·江蘇常州·期中）已知函數（，且）.，使得成立，則實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點】對數型復合函數的單調性、由對數（型）的單調性求參數【分析】根據復合函數的單調性以及函數的最值進行分析，從而確定正確答案.【詳解】在單調遞減，時，,即,另外，0<a<1時，單調遞減，在單調遞增，綜上所述，的取值范圍是.故選：A5．（遼寧省名校聯合體2024-2025學年高三上學期期中檢測數學試題）函數是奇函數，則的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】由奇偶性求參數【分析】由即可求解.【詳解】是奇函數，故，則，解得，經驗證符合.故選：D6．（24-25高一上·福建廈門·期中）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點】比較指數冪的大小、比較對數式的大小【分析】由冪函數性質比較，再結合指數函數性質即可得解.【詳解】因為，所以.故選：A.7．（24-25高一上·河北保定·階段練習）已知函數的值域為，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】求對數函數在區間上的值域、根據分段函數的值域（最值）求參數【分析】根據分段函數值域，以及對數函數在區間上的值域，夾逼出一次函數在區間上的值域與的關系，列出關于的不等式求解即可.【詳解】當時，單調遞增，又，故在上的值域為，又在上的值域為，故是在上的值域的子集；又當x<1時，；當時，顯然不滿足題意；當時，在上單調遞減，故在上的值域為不滿足題意；當時，在上單調遞增，故在上的值域為，若滿足題意，則，即，故.綜上所述，的取值范圍為.故選：B.8．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習）已知函數的圖象關于原點對稱，且滿足，且當時，，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】函數奇偶性的應用、函數周期性的應用、研究對數函數的單調性【分析】由已知得出函數圖象的對稱中心，函數是奇函數，從而得出函數為周期函數，得最小正周期，利用周期性及奇偶性可化簡計算函數值．【詳解】依題意函數的圖象關于原點對稱，所以為奇函數，因為，故函數的周期為4，則，而，所以由可得，而，所以，解得.故選：D.二、多選題9．（24-25高三上·四川達州·開學考試）已知命題“”為真命題，則實數的值可以是（

）A．2 B．0 C． D．【答案】CD【知識點】研究對數函數的單調性、根據全稱命題的真假求參數【分析】進行參變分離，設，判斷函數的單調性，求出最值即可求出的取值范圍，即可求解．【詳解】因為命題“”為真命題，所以．令，根據增函數減去減函數知：為增函數，當時，有最小值，故實數的取值范圍為．故選：CD．10．（24-25高三上·河南三門峽·期中）在實際應用中，通常用吸光度和透光率來衡量物體的透光性能，它們之間的換算公式為，下表為不同玻璃材料的透光率：玻璃材料材料1材料2材料30.70.80.9設材料1、材料2、材料3的吸光度分別為，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【知識點】對數的運算、比較對數式的大小【分析】根據對數的運算法則和單調性求解即可.【詳解】由換算公式和圖表可知，，，，又因為函數在0,+∞上單調遞增，所以對于A：，說法正確；對于B：，說法錯誤；對于C：，，，說法正確；對于D：，說法錯誤；故選：AC三、填空題11．（24-25高三上·青海西寧·階段練習）已知函數在區間1,2上單調遞增，則實數的取值范圍是【答案】【知識點】由對數（型）的單調性求參數【分析】分析可知，內層函數在1,2上為減函數，且，可得出關于實數的不等式組，即可解得實數的取值范圍.【詳解】令，因為外層函數在0,+∞上為減函數，且函數在區間1,2上單調遞增，所以，內層函數在1,2上為減函數，且，即，解得.因此，實數的取值范圍是.故答