倒賣拉黑，關注更新免費領取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育倒賣拉黑，關注更新免費領取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育4.2.2等差數列的前n項和公式（基礎知識+基本題型）知識點一等差數列前項和公式1．等差數列前項和公式已知量首項、末項與項數首項、公差與項數求和公式2．等差數列前項和公式的推導設等差數列的各項為，，，．．．，，，，．由等差數列的通項公式，得．①再把各項的次序反過來，又可以寫成．②將①②兩邊分別相加，得．所以．這就是等差數列的前項和公式，我們將這種求和的方法叫做倒序相加法，將代入上式，得．故等差數列的前項和公式為，．◢拓展◣（1）等差數列的通項公式和前項和公式共涉及5個量：，，，，，其中和稱為基本量．如果等差數列的首項與公差已知，那么此數列完全確定，因此等差數列中不少問題都可以轉化為求基本量和的問題．（2）三個公式中有2個參數（即，）和3個變量（即，，）．如果給出其中任意3個量，那么就可以通過聯立方程組求出另外2個量，聯立方程組并解方程組是等差數列的基本解題方法．（3）當已知首項，末項及項數時，用公式求前項和，用此公式時，有時要結合等差數列的性質；當已知首項，公差及項數時，用公式求前項和．知識點二等差數列的前項和公式與二次函數的關系等差數列的前項和公式．若令，，則上式可寫成，即是關于項數的函數．（1）當，時（此時，），是關于的常數函數；（2）當，時（此時，），是關于的一次函數（正比例函數）；（3）當，時（此時），是關于的二次函數．前項和與二次函數的關系列表如下：區別聯系定義域為圖象是一系列孤立的點（1）解析式是二次式；（2）的圖象是拋物線上的一系列點定義域為圖象是一條光滑的拋物線◢拓展◣求等差數列的前項和的最值有兩種方法：（1）由二次函數的最值特征得解．由二次函數的最大值、最小值知識及，知當取得接近的正整數時，取到最大值（或最小值）．值得注意的是最接近的正整數有時有1個，有時有2個．（2）確定前項和的最大值和最小值．①當，時，若則最大；若則和最大．②當，時，若則最小；若則和最小．知識點三等差數列前項和的主要性質1．項數（下標）的“等和”性質：2．項的個數的“奇偶”性質：等差數列中，公差為：①若共有項，則；；．②若共有項，則；；．3．“片段和”性質：等差數列中，公差為，前項的和為，則，，，．．．，，．．．構成公差為的等差數列．◢拓展◣（1）對性質“若數列有項，則；；”的證明當等差數列的項數為時，，所以．因為偶數項的首項為，偶數項構成以為公差的等差數列；奇數項的首項為，奇數項構成以為公差的等差數列，且項數都為，所以，．所以，．（2）對“片段和”性質的證明設等差數列的首項為，公差為，則，，．又因為為數列第項到第項這項的和，所以．同理，．．．，，．．．，所以，，，．．．，，．．．構成等差數列，且公差為．考點一與等差數列前項和有關的基本計算例1已知數列為等差數列，其前項和記為．（1）若，則；（2）若等差數列的公差，，求．解：（1）因為，所以．（2）由，解得．故．一般地，對于等差數列的五個量：，，，，，知道其中任意三個量，通過解方程組可以求得另外兩個量，即“知三求二”．對此類問題，注意利用等差數列的性質以簡化計算過程．例2在等差數列中，，．求數列的前項和解：由，，知等差數列的公差，所以．由，知，即，故中前項是負數，從第項起為非負數．設和分別表示和的前項和．當時，．當時，．綜上可知，．對于含有絕對值的問題，首先要考慮去絕對值號，所以需要由不等式組或來找出滿足條件的臨界值．考點二等差數列的前項和的最值問題例3數列是等差數列，，．（1）從第幾項開始有？（2）求此數列的前項和的最大值．解：（1）因為，，所以．令，則．由于，故當時，，即從第項開始各項均小于．（2）方法1：．當取接近于的自然數，即時，取到最大值．方法2：因為，，由（1），知，，所以，且．所以．解決此類問題有兩種思路：一是利用等差數列的前項和公式，可用配方法求最值，也可用頂點坐標法求最值；二是依據等差數列的通項公式，當時，數列一定為遞增數列，當時，數列一定為遞減數列．所以當，且時，無窮等差數列的前項和有最大值，其最大值是所有非負項的和；當，且時，無窮等差數列的前項和有最小值，其最小值是所有非正項的和，求解非負項是哪一項時，只要令即可．考點三等差數列的前項和性質的應用例4項數為奇數的等差數列，奇數項之和為，偶數項之和為，求這個數列的中間項及項數．分析：根據等差數列中的奇數項依次仍成等差數列，偶數項依次仍成等差數列可求解．解：設等差數列共有項，則奇數項有個，偶數項有個，中間項是第項，即，所以，解得．又因為，所以．故這個數列的中間項為，共有（項）．此類問題的常規解法是先通過構造方程組，求得數列的基本量，再代入求解，運算量較大．若運用等差數列前項和的性質求解，則可化簡計算，優化解題過程．例5已知，是兩個等差數列，且滿足，求．分析：，分別為等差數列，的前項和，因此可利用等差數列前項和公式或其他相關性質解答．解：方法1：設等差數列，的公差分別為，，則，所以．①又因為，②觀察①②，可在①中取，得．故．方法2：設，的前項和分別為，，則有，其中．由于，即，故．同理，．故．故．方法3：設，的前項和分別為，．因為等差數列的前前項和，根據已知，可令，．所以．．所以．若兩個等差數列和的前項和分別為和，則由結論：．考點四等差數列前項和的實際應用例6某單位用分期付款的方式為職工購買套住房，共需萬元，購買當天先付萬元，以后每月這一天都交付萬元，并加付欠款利息，月利率為．若交付萬元后的第一個月開始算分期付款的第一個月，則分期付款的第個月應付多少錢？全部按期付清后，買這套房實際花了多少錢？分析：設每次付款數額順次構成數列設每次付款數額順次構成數列判斷此數列為等差數列結論求求首項、公差、項數、末項解：因為購房時先付萬元，所以欠款為萬元．依題意，知分次付款．設每次付款數額順次構成數列，則，，，，所以．所以是以為首項，以為公差的等差數列．所以．因為，所以．所以實際共付（萬元），所以第個月應付萬元，實際共付萬元．應用等差數列解決實際問題的一般思路：（1）根據題設條件，建立數學模型：①分析實際問題的結構特征；②找出所含元素的數列關系；③確定為何種數學模型．（2）利用相關的數列知