重慶市黔江區2023-2024學年九年級上學期期末數學試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三總分評分一、選擇題：（共10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側正確答案所對應的方框涂黑．1．已知tanA=1，∠A是銳角，則∠AA．30° B．45° C．60° D．75°2．下列二次根式是最簡二次根式的是（）A．13 B．24 C．15 3．設a，b是方程x2+x?2025=0的兩個實數根，則A．2022 B．2023 C．2024 D．20254．如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，位似中心為O，OA：OD=3：7，A．12 B．16 C．21 D．495．如圖，已知P是射線OB上的任意一點，PM⊥OA于M，且OM：OP=4：5，則cosα的值等于()

A．34 B．43 C．456．在平面直角坐標系中，對于二次函數y=xA．y的最小值為1B．圖象頂點坐標為（2，1），對稱軸為直線x=2C．當x<2時，y的值隨x值的增大而增大，當x>2時，y的值隨x值的增大而減小D．它的圖象可由y=x7．估算3×(2A．8和9之間 B．7和8之間 C．6和7之間 D．5和6之間8．四個完全相同的球上分別標有數字?2，?3，0，5，從這4個球中任意取出一個球記為a，放回后，再取出一個記為b，則a+b能被5整除的概率為（）A．38 B．516 C．589．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與直線y=kx+m交于A(?3，?1)，B(0A．x<?3或x>0 B．x≤?3或x≥0C．?3<x<0 D．?3≤x≤010．若關于x的一元二次方程(2?a)x2?4x+2=0有兩個不相等的實數根，且關于y的分式方程3yA．20 B．18 C．16 D．14二、填空題（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應的橫線上．11．計算：27?61312．已知a2=b3=13．將一元二次方程x2?8x+5=0化成(x+a)2=b（a、b為常數）的形式，則14．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=75°，AB的垂直平分線交BC于D，交AB于E．若DB=10cm，則AC=cm．15．如圖，△ABC中，AB=AC，BC=60cm，AD⊥BC，AD=40cm，四邊形PQRS為正方形，則此正方形的邊長為cm.16．某校有A、B兩個餐廳，甲、乙、丙三名學生各自隨機選擇其中的一個餐廳用餐，則甲、乙、丙三名學生在同一個餐廳用餐的概率為．17．已知實數m，n滿足等式m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，那么求nm+m18．已知二次函數y=ax①abc＞0，②a﹣b+c＜0，③2a=b，④4a+2b+c＞0，⑤若點（﹣2，y1）和（?13，y2）在該圖象上，則三、解答題（本大題8個小題，第19題8分，20~26題每題10分，共78分）解答時每小題都必須寫出必要的演算過程或推理步驟，請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上．19．（1）計算：16?（2）解方程：x220．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在線段AD上，AE=AB，完成下列作圖和證明過程．（1）尺規作圖：作∠BAD的角平分線交線段BC于點F，連接BE，EF（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）求證：AF⊥BE．證明：∵BF∥AE，∴▲．又∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠EAF．∴▲．∴AB=FB．又∵AB=AE，∴FB∥AE且FB=AE．∴▲．又∵AB=AE，∴四邊形ABFE為菱形．∴AF⊥BE（▲）．21．某學校開展了“交通安全”宣傳講座，并在講座后進行了滿分為100分的交通安全知識測評，為了解測評情況，學校在八、九年級分別隨機抽取了20名學生的成績進行整理、分析（得分用整數x表示，單位：分），且分為A、B、C三個等級，分別是：優秀為A等級：85≤x≤100；合格為B等級：70≤x<85，不合格為C等級：0≤x<70．繪制成如下統計圖表，下面給出了部分信息：20名八年級學生測評成績的眾數出現在A組，且八年級A組測評成績分別為：89，91，92，92，92，92，92，95，97，99，100．20名九年級學生測評成績的A組中共有a個人．成績平均數中位數眾數八年級86bc九年級869394根據以上信息，解答下列問題：（1）填空：a=，b=，c=；（2）根據以上數據，你認為該學校哪個年級的測評成績更好？請說明理由（寫出一條理由即可）；（3）現需從八、九年級A類學生中抽2名學生去參加區級交通安全知識競賽，已知八年級有2名女生和1名男生報名，九年級有1名女生和2名男生報名，求恰好抽到一男一女參賽的概率．（請用畫樹狀圖或列表的方法）22．某長500米的水庫大壩的橫截面是的四邊形ABCD，壩頂CD與壩底BA平行，已知壩高24米，背水坡AD的坡度i=1：0.5．為提高大壩防洪能力，現需要在大壩的背水坡填筑土石方加固，加固后壩頂加寬6米（即DF=6米），（1）求壩底加寬的寬度AE；（保留根號）（2）據相關部門統計，現有填筑土石方83130立方米，請問是否足夠加固大壩所需？23．樹人文具店準備購進甲、乙種軟面抄筆記本，計劃用2400元購買甲種筆記本，900元購買乙種筆記本，一個甲種筆記本和一個乙種筆記本的進價之和為15元，且購進甲種筆記本的數量是乙種筆記本數量的4倍．（1）求計劃分別購買多少個甲種筆記本和乙種筆記本．（2）為回饋客戶，生產廠家推出了一系列活動，每個甲種筆記本的售價降低了16，每個乙種筆記本的售價便宜了m10(m≠0)元，現在在（1）的基礎上購買乙種筆記本的數量增加了5m個，但甲種筆記本和乙種筆記本的總數量不變，最終的總費用比原計劃減少了(300+5m)24．如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=60°，動點M，N均以每秒1個單位長度的速度同時從點A出發，點M沿折線A→D→C方向運動，點N沿折線A→B→C方向運動，當兩者相遇時停止運動．設運動時間為x秒，點M，N的距離為（1）請直接寫出y關于x的函數表達式并注明自變量x的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標系中畫出這個函數圖象，并寫出該函數的一條性質；（3）結合函數圖象，直接寫出點M，N相距超過3個單位長度時x的取值范圍．25．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點A(?1，0)，點B(3，0)（1）求拋物線的函數表達式；（2）在對稱軸上找一點Q，使△AQC的周長最小，求點Q的坐標；（3）在（2）的條件下，點P是拋物線上的一點，當△AQC和△AQP面積相等時，請求出所有點P的坐標.26．△ABC和△DEC是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，CD=CE．（1）【觀察猜想】當△ABC和△DEC按如圖1所示的位置擺放，連接BD、AE，延長BD交AE于點F，猜想線段BD和AE有怎樣的數量關系和位置關系．（2）【探究證明】如圖2，將△DCE繞著點C順時針旋轉一定角度α(0°<α<90°)，線段BD和線段AE的數量關系和位置關系是否仍然成立？如果成立，請證明：如果不成立，請說明理由．（3）【拓展應用】如圖3，在△ACD中，∠ADC=45°，CD=2，AD=4，將AC繞著點C逆時針旋轉90°至BC，連接BD，求BD

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：∵tanA=1，A為銳角，tan45°=1，

∴∠A=45°．

故答案為：B.

【分析】依據tan45°=1求解.2．【答案】D【解析】【解答】解：13=33，原式分母中含有二次根式，13不是最簡二次根式，故A不符合；

24=4×6=26，原式被開方數中含有可開方的因數，24不是最簡二次根式，故B不符合；

15=553．【答案】C【解析】【解答】解：∵a是方程x2+x-2025=0的實數根，

∴a2+a-2025=0，

∴a2+a=2025，

∵a，b是方程x2+x-2025=0的兩個實數根，

∴a+b=-1，

∴a2+2a+b=a2+a+a+b=2025+（-1）=2024．故答案為：C.

【分析】先利用方程解的意義求得a2+a的值，再利用根與系數的關系求得a+b，然后整體代入求值.4．【答案】D【解析】【解答】解：∵△ABC與△DEF是位似圖形，位似中心為O，AO：AD=3：4，

∴OA：OD=3：7

∴S△ABC：S△DEF=9：49

∴5．【答案】C【解析】【分析】由于PM⊥OA于M，且OM：OP=4：5，所以cosα=OMOP故選：C．6．【答案】B【解析】【解答】解：二次函數y=x2-4x+5=（x-2）2+1，

A、∵a=1＞0，該函數的圖象開口向上，

∴當x=2時y的最小值為1，故A不符合題意；

B、∴，對稱軸為直線x=2，頂點為（2，1），當x=2時，y有最小值1，當x＞2時，y的值隨x值的增大而增大，當x＜2時，y的值隨x值的增大而減小；A、B的說法不符合題意，C的說法符合題意；根據平移的規律，y=x2的圖象向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度得到y=（x-2）2+1，D的說法不符合題意，故答案為：C．

【分析】將二次函數的一般式轉換為頂點式，再利用二次函數的圖象和性質及函數平移的特征逐項判斷即可。7．【答案】A【解析】【解答】解：3×(273+3)=27+3=28+3，而27=28，25故答案為：A.

【分析】先求出28的范圍，再求出28+3的范圍即可.8．【答案】A【解析】【解答】解：畫樹狀圖如下：共有16種等可能的結果，其中a+b能被5整除的概率結果有6種，

∴a+b能被5整除的概率為616=3

【分析】先畫樹狀圖，再數出所有等可能的結果數和符合條件的等可能的結果數，求出比值即可.9．【答案】A【解析】【解答】解：∵拋物線y=ax2+bx+c與直線y=kx+m交于A（-3，-1），B（0，3），

∴不等式ax2+bx+c≥kx+m為：x≤-3或x≥0．故答案為：B.

【分析】利用拋物線的圖象，只需寫出拋物線在直線上方時x的取值范圍．10．【答案】D【解析】【解答】解：∵關于x的一元二次方程（2-a）x2-4x+2=0有兩個不相等的實數根，

∴42-8（2-a）＞0，且a-2≠0，

即a＞0且a≠2，

解關于y的分式方程3yy?2?a?102?y=1，可得y=4-12a且y≠2，

∵故答案為：D.

【分析】先根據一元二次方程有兩個不相等的實數根，求得a的取值范圍，再解分式方程得到y=4-111．【答案】2【解析】【解答】解：27-6故答案為：23

【分析】先計算開方、乘法，然后從左向右依次計算，求出算式的值是多少即可．12．【答案】25【解析】【解答】解：設a2=故答案為：254

【分析】設a2=b13．【答案】7【解析】【解答】解：∵x2-8x+5=0，

移項得：x2-8x=-5，

∴x2-8x+16=11，

∴（x-4）2=11，

∴a=-4，b=11，

∴a+b=7，故答案為：7.

【分析】將常數項移到等號的右邊，再在兩邊同時加上一次項系數一半的平方即可.14．【答案】5【解析】【解答】解：如圖，連接AD，

∵AB的垂直平分線交BC于D，交AB于E，∠BAC=75°

∴AD=BD=10，∠DBA=∠BAD=15°．

∴∠ADC=30°，

∵∠C=90°，

∴AC＝1故答案為：.

【分析】連接AD，利用線段垂直平分線的性質求得AD與∠DBA，從而利用三角形外角的性質可求得∠ADC，再利用直角三角形中30度角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC.15．【答案】24【解析】【解答】解：∵四邊形PQRS是正方形，∴SR//PQ，∴△ASR∽△ABC，設正方形的邊長為xcm，則SR=xcm，SR=DE=xcm，AE=(40?x)cm，∵△ASR∽△ABC，∴AE：AD=SR：BC，∵BC=60cm，AD=40cm，∴(40?x)：40=x：60，∴解得：x=24，即正方形的邊長為24cm.故答案為：24.【分析】由正方形的性質可得SR∥PQ，易得△ASR∽△ABC，設正方形的邊長為xcm，則SR=x=DE，AE=40-x，由相似三角形的對應邊的比相等得比例式AEAD16．【答案】1【解析】【解答】解：畫出樹狀圖如圖.一共有8種等可能性，其中甲、乙、丙三名學生在同一個餐廳用餐的可能性有2種，

∴甲、乙、丙三名學生在同一個餐廳用餐的概率為28＝14，

【分析】先畫出樹狀圖，再數出所有等可能性數與符合條件的等可能性數，求出比值即可.17．【答案】2或﹣6【解析】【解答】解：∵實數m，n滿足等式m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，

∴m、n是方程x2+2x-1=0的兩根，

∴m+n=-2，mn=-1，

∴原式=m2+n2mn=(m+n)218．【答案】②④【解析】【解答】解：∵二次函數開口向下，且與y軸的交點在x軸上方，

∴a＜0，c＞0，

∵對稱軸為x=1，

∴-b2a=1，

∴b=-2a＞0，

∴abc＜0，

故①、③都不正確；

∵當x=-1時，y＜0，

∴a-b+c＜0，

故②正確；

由拋物線的對稱性可知拋物線與x軸的另一交點在2和3之間，

∴當x=2時，y＞0，

∴4a+2b+c＞0，

故④正確；

∵拋物線開口向下，對稱軸為x=1，

∴當x＜1時，y隨x的增大而增大，

∵-2＜-13，

∴y1＜y2，

故⑤故答案為：②④.

【分析】根據二次函數的圖象可判斷a、b、c的符號，由此可以判斷①的正誤；根據當x=-1時二次函數的圖象在x軸下方可判斷②的正誤；根據二次函數的圖象的對稱軸可判斷③的正誤；根據對稱性可知當x=2時，函數值大于0，可判斷④；根據二次函數的對稱性可判斷⑤；可得出答案．19．【答案】（1）解：16=4?1+2×=4?1+=5；（2）解：x2(x?3)(x?4)=0，x?3=0或x?4=0，解得x1=3【解析】【分析】(1)先求出零次方與30度角的余弦值，并判斷絕對值內的符號后去掉絕對值，再作其他運算；

（2）利用因式分解法求解.20．【答案】（1）解：如圖所示，（2）證明：∵BF∥AE，∴∠BFA=∠EAF，又∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠EAF，∴∠BAF=∠BFA，∴AB=FB，又∵AB=AE，∴FB∥AE且FB=AE，∴四邊形ABFE為平行四邊形，又∵AB=AE，∴四邊形ABFE為菱形，∴AF⊥BE（菱形對角線互相垂直）；【解析】【分析】（1）根據要求作出圖形即可；

（2）先證明四邊形ABFE是平行四邊形，再說明四邊形ABFE是菱形，利用菱形對角線的性質可得出結論．21．【答案】（1）12；90；92（2）解：由題意可得：九年級的測評成績更好，理由如下：有樣本數據可知，八、九年級測評成績的平均數均為86，但九年級測評成績的中位數是93，高于八年級測評成績的中位數90，因此九年級更好；（3）解：列表如下：女1女2女3男1男2男3女1（女1，女2）（女1，女3）（女1，男1）（女1，男2）（女1，男3）女2（女2，女1）（女2，女3）（女2，男1）（女2，男2）（女2，男3）女3（女3，女1）（女3，女2）（女3，男1）（女3，男2）（女3，男3）男1（男1，女1）（男1，女2）（男1，女3）（男1，男2）（男1，男3）男2（男2，女1）（男2，女2）（男2，女3）（男2，男1）（男2，男3）男3（男3，女1）（男3，女2）（男3，女3）（男3，男1）（男3，男2）共有30種等可能的情況，其中恰好是1名男生和1名女生的情況有18種，則P（恰好是1名男生和1名女生）=18【解析】【解答】解：（1）a=20×（1-30%-10%）=12，

20名八年級學生的成績按由小到大排列，第10個數為89，第11個數為91，

所以中位數為b=89+912=90，

八年級學生測評成績的眾數為c=92，

故答案為：12，90，92.

【分析】（1）先求出九年級學生測評成績的A組人數a，根據中位數和眾數的定義求出b和c的值；

22．【答案】（1）解：過點F作FH∥DA交BE于點H，過點F作FG⊥AB于點G，則FG=24m，∵FH∥DA，CF∥BE，∴四邊形DAHF是平行四邊形，∴DF=AH=6m，∠FHA=∠DAB，由題意可得，tan∠FHA=tan∠DAB=在Rt△FGH中，tan∠FHA=FGGH∴GH=12m，在Rt△FGE中，tan∠AEF=∴GE=83∴HE=GE?GH=(83∴AE=AH+HE=6+83（2）解：過點D作DM⊥AB于點M，由題意可得，DM=24m，tan∠DAB=2在Rt△DMA中，tan∠DAB=∴AM=12m，∴ME=AM+AE=12+83∴S四邊形DAEF∴加固大壩的體積為963答：現有填筑土石方83130立方米，不夠加固大壩所需．【解析】【分析】（1）過點F作FG⊥AB于點G，作FH∥AD交AE于點H，根據坡度的概念求出GH，進而求出HE，結合圖形計算求出AE；

（2）根據梯形面積公式求出梯形DAEF的面積，進而求出需要的填筑土石方，比較大小得到答案．23．【答案】（1）解：設購買x個乙種筆記本，則購買4x個甲種筆記本，根據題意得：24004x解得：x=100，經檢驗：x=100是原方程的解，且符合題意，∴4x=400，答：購買400個甲種筆記本，則購買100個乙種筆記本；（2）解：根據題意得：現在每個甲種筆記本的售價為2400400每個乙種筆記本的售價為9001005×(400?5m)+(9?m整理得：m2解得：m1即m的值為10或20．【解析】【分析】（1）設計劃購買x個乙種筆記本，則購買4x個甲種筆記本，根據一個甲種筆記本和一個乙種筆記本的進價之和為15元，列出分式方程，解方程即可；

（2）根據最終的總費用比原計劃減少了（300+5m）元，列出一元二次方程，解方程即可．24．【答案】（1）解：y=x（2）解：對于y=x，當x=4時，y=4，對于y=8?x，當x=8時，y=0，函數圖象如圖：當0<x≤4時，y隨x的增大而增大；（3）解：點M，N相距超過3個單位長度時，3<x<5．【解析】【解答】解：（1）∵菱形ABCD，AB=4，∴AD+DC=AB+BC=8，∠A=∠C=60°，∴總的運動時間為：8÷1=8秒，當點M在AD，點N在AB上運動時，即0<x≤4時，連接MN，由題意得AM=AN，∠A=60°，∴△AMN是等邊三角形，∴y=x；當點M在CD，點N在CB上運動時，即4<x≤8時，如圖所示：△CMN是等邊三角形，∴CM=8?x，∴y=8?x；綜上可得：y=

【分析】（1）根據菱形的性質得出AD+DC=AB+BC=8，∠A=∠C=60°，得出總的運動時間為8秒，分兩種情況：當0＜x≤4時，當4＜x≤8時，根據等邊三角形的性質解答即可；

（2）在直角坐標系中描點連線即可，再根據函數的增減性即可得出其性質；

（3）結合圖象利用y=3分別求解即可．25．【答案】（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點A(?1，0)∴a?b+c=09a+3b+c=0∴a=1b=?2∴拋物線解析式為y=x（2）解：如圖，連接CB交對稱軸于點Q，∵拋物線解析式為y=x∴拋物線的對稱軸為直線x=1，∵點A，B關于對稱軸x=1對稱，∴AQ=BQ，∴AC+AQ+CQ=AC+CQ+BQ≥AC+BC，∴當C，B，Q三點共線時，△AQC的周長最小，∵C(0，?3)，設直線BC的解析式為y=kx+b∴3k+b∴k=1∴直線BC的解析式為y=x?3，在y=x?3中，當x=1時，y=?2，∴Q(1，（3）解：同理可求出直線AQ的解析式y=?x?1，過點C作AQ的平行線，交拋物線于點P1同理可求出直線P1C的解析式為聯立y=?x?3y=x2?2x?3，解得∴P1∵直線AQ與y軸的交點為(0，?1)，點C(0，?3)到(0，?1)的距離為2個單位，根據平行線間間距相等可知將直線AQ向上平移2個單位，得到直線y=?x+1，其與拋物線的兩個交點也符合題意，聯立y=?x+1y=x2?2x?3同理可得P2(1+綜上所述：點P的坐標為P1(1，?4【解析】【分析】（1）將A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）代入y=ax2+bx+c中可求出a、b、c的值，據此可得拋物線的解析式；

（2）連接CB交對稱軸于點Q，根據拋物線的解析式可得對稱軸為直線x=1，由軸對稱的性質可得AQ=BQ，則AC+AQ+CQ=AC+CQ+BQ≥AC+BC，故當C，B，Q三點共線時，△AQC的周長最小，利用待定系數法求出直線BC的解析式，令x=1，求出y的值，據此可得點Q的坐標；

（3）同理可求出直線AQ的解析式，過點C作AQ的平行線，交拋物線于點P1，求出直線P1C的解析式，聯立拋物線解析式求出x、y，得到點P1的坐標，求出直線AQ的解析式，聯立拋物線解析式求出x、y，可得點P2、P3的坐標.26．【答案】（1）解：BD=AE，BD⊥AE，證明如下：在△BCD和△ACE中，∵∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，CD=CE，∴△BCD?△ACE，∴BD=AE，∵