函數的單調性(習題課)本節課將深入探討函數單調性的概念和應用，并通過練習鞏固知識。回顧:函數的單調性定義單調遞增函數對于定義域內的任意兩個自變量x1和x2，如果x1單調遞減函數對于定義域內的任意兩個自變量x1和x2，如果x1f(x2)，則函數f(x)在該區間上是單調遞減函數。單調常函數對于定義域內的任意兩個自變量x1和x2，如果x1如何判斷函數的單調性1定義法函數在定義域內滿足單調性定義2導數法函數在定義域內導數大于零，則單調遞增3函數圖像法觀察函數圖像，判斷函數的單調性判斷函數單調性主要采用定義法、導數法和函數圖像法。定義法比較直觀，適用于簡單函數。導數法更便捷，適用于可導函數。函數圖像法直觀易懂，適用于觀察函數圖像。示例1:判斷函數y=x2的單調性1定義域函數y=x2的定義域為全體實數，即(-∞,+∞)。2單調性判斷對于任意x1，x2∈(-∞,+∞)，若x1<x2，則x12-x22=(x1+x2)(x1-x2)<0，所以y=x2在(-∞,+∞)上單調遞增。3結論函數y=x2在(-∞,0)上單調遞減，在(0,+∞)上單調遞增。示例2:判斷函數y=3x-1的單調性步驟一：函數表達式已知函數表達式為y=3x-1，這是一個一次函數。步驟二：函數圖像一次函數的圖像是一條直線，斜率為3，截距為-1。步驟三：單調性分析由于斜率為正值，因此函數圖像從左到右上升，函數在整個定義域上都是單調遞增的。結論函數y=3x-1在定義域上是單調遞增函數。示例3:判斷函數y=1/x的單調性本例中，我們將判斷函數y=1/x的單調性。這是一個典型的反比例函數，其圖像為雙曲線。首先，我們要確定函數的定義域，即x≠0。然后，我們可以使用定義域內任意兩點x1和x2，如果x1f(x2)，則函數在該區間內單調遞減。反之，如果f(x1)0時單調遞減，在x<0時單調遞增。11.定義域x≠022.任意兩點x133.函數值f(x1)>f(x2)44.單調性x>0時遞減因此，我們可以得出結論:y=1/x在x>0時單調遞減，在x<0時單調遞增。習題1:判斷函數y=x3的單調性11.求導數求出函數y=x3的導數，即y'=3x222.分析導數導數y'=3x2永遠大于等于0，且當x≠0時，導數y'>0。33.確定單調性根據導數的正負性，可以判定函數在整個定義域上單調遞增。習題2:判斷函數y=sin(x)的單調性1定義域分析y=sin(x)定義域為整個實數集。2求導函數y=sin(x)的導數為y'=cos(x)。3判斷符號根據導數符號變化，判斷函數單調性。4結論函數y=sin(x)在(2kπ,2kπ+π)上單調遞增，在(2kπ+π,2kπ+2π)上單調遞減。習題3:判斷函數y=1/(x-1)的單調性1第一步:確定定義域函數y=1/(x-1)的定義域為x≠1，即(負無窮，1)∪(1，正無窮)。2第二步:計算導數函數y=1/(x-1)的導數為y'=-1/(x-1)2。3第三步:分析導數符號當x<1時，y'<0，函數單調遞減;當x>1時，y'<0，函數單調遞減。小結:判斷函數單調性的關鍵導數函數單調性與導數息息相關，導數是判斷函數單調性的重要工具。符號函數單調性通常由導數符號決定：正則遞增，負則遞減，零則可能出現極值點。圖形觀察函數圖像，可以直觀地判斷函數單調性。遞增則圖形向上傾斜，遞減則圖形向下傾斜。單調遞增函數和單調遞減函數的應用解決實際問題單調函數可以幫助我們分析和解決實際問題，比如尋找最優解、判斷函數變化趨勢等。推導函數性質通過單調性的性質，我們可以推導出其他函數性質，比如函數的極值、拐點等。復合函數分析單調函數的性質可以用于分析復合函數的單調性，幫助我們理解復合函數的變化規律。示例4:利用單調性解決實際問題問題描述假設有一個生產成本函數，該函數表示生產x件商品的總成本。單調性分析如果該函數是單調遞增的，那么隨著生產量的增加，生產成本也會隨之增加。實際應用利用函數的單調性，我們可以分析生產成本的趨勢，并制定相應的生產計劃。示例5:利用單調性解決實際問題單調性可以幫助我們分析函數在不同區間內的變化趨勢，這在實際問題中有著廣泛的應用。1最大值或最小值求函數在某個區間上的最大值或最小值2函數圖像繪制函數的圖像，觀察其變化趨勢3不等式求解利用單調性解不等式或方程例如，我們可以利用單調性來求解函數在某個區間上的最大值或最小值，繪制函數的圖像，或者解不等式或方程。習題4:利用單調性解決實際問題分析問題仔細閱讀題目,明確問題中所涉及的函數和變量.確定函數的單調性利用函數單調性定義或相關定理判斷函數在給定區間上的單調性.應用單調性根據函數的單調性,分析問題并進行推理,最終得出結論.驗證答案將得到的結論代入原問題進行驗證,保證答案的正確性.習題5:利用單調性解決實際問題1問題分析仔細閱讀問題描述，理解題目要求。2單調性應用找到題目中與函數單調性相關的條件或結論。3解題步驟利用單調性知識推導出問題的解，并驗證結果。單調函數的性質單調函數的性質單調函數具有一些重要的性質，可以幫助我們更好地理解和應用函數。例如，單調函數在定義域內至多只有一個零點。單調性與函數圖像單調函數的圖像具有一定的規律性。單調遞增函數的圖像從左到右上升，單調遞減函數的圖像從左到右下降。示例6:利用單調性推導函數性質1分析函數確定函數的定義域和值域2判斷單調性利用導數或其他方法判斷函數的單調性3推導性質根據單調性推導出函數的其他性質，如奇偶性、對稱性等4應用性質利用推導出的性質解決實際問題通過分析函數的單調性，可以推導出函數的其他性質，這些性質可以幫助我們更好地理解和應用函數。習題6:利用單調性推導函數性質1函數的單調性單調遞增或單調遞減2函數性質奇偶性、周期性、對稱性3推導過程結合單調性特點推導利用函數的單調性可以推導出其他性質，例如奇偶性、周期性、對稱性等。通過分析函數在不同區間的單調性，可以得出函數的某些性質，例如如果一個函數在整個定義域上單調遞增，那么它不可能是偶函數。復合函數的單調性11.函數嵌套復合函數是將多個函數嵌套在一起形成的新函數。22.單調性傳遞復合函數的單調性取決于各函數的單調性和嵌套方式。33.遞增與遞減如果內層函數和外層函數都遞增或都遞減，則復合函數遞增；若一增一減，則復合函數遞減。44.重要原則判斷復合函數的單調性，需結合各函數的單調性，并考慮函數的定義域。示例7:復合函數的單調性分析1問題已知函數y=f(x)在區間(a,b)上單調遞增，函數y=g(x)在區間(c,d)上單調遞減，且g(c,d)?(a,b)，則復合函數y=f[g(x)]在區間(c,d)上的單調性如何？2分析由于g(x)在區間(c,d)上單調遞減，因此g(x)的值隨著x的增大而減小，而f(x)在區間(a,b)上單調遞增，所以f[g(x)]的值隨著x的增大而減小，即復合函數y=f[g(x)]在區間(c,d)上單調遞減。3結論當兩個函數的單調性相反時，復合函數的單調性與單調性較強的函數一致。習題7:復合函數的單調性分析11.函數定義域確定復合函數的定義域。22.單調性分析分別分析內層函數和外層函數的單調性。33.復合函數的單調性根據內層函數和外層函數的單調性，判斷復合函數的單調性。44.總結寫出復合函數的單調區間。本習題的目的是通過一系列步驟，幫助學生理解復合函數的單調性分析方法。綜合應用:函數單調性的綜合運用綜合運用將函數單調性與其他知識點結合起來，解決更復雜的問題.實際問題將函數單調性應用于實際問題，例如優化問題和模型分析.拓展思維通過解決綜合問題，加深對函數單調性的理解和運用.綜合習題1已知函數f(x)=x2+2x-3判斷函數f(x)在區間(-∞,-1)和(-1,+∞)上的單調性.求函數f(x)的最小值利用單調性求函數最小值.畫出函數f(x)的圖像根據單調性和最小值畫出函數圖像.綜合習題2已知函數f(x)=x2+2x-3求函數f(x)的單調區間，并判斷函數f(x)在x=1處是否取得極值.已知函數g(x)=ln(x+1)求函數g(x)的單調區間，并判斷函數g(x)在x=0處是否取得極值.已知函數h(x)=sinx/x求函數h(x)的單調區間，并判斷函數h(x)在x=π/2處是否取得極值.綜合習題31已知函數f(x)在區間(a,b)上單調遞增，求證:f(x)在區間(a,b)上恒大于0利用函數的單調性證明不等式2證明過程構造輔助函數，利用函數的單調性比較大小3結論f(x)在區間(a,b)上恒大于0本題考察了函數單調性與不等式之間的關系。利用函數的單調性可以證明一些不等式。知識小結函數的單調性函數單調性是描述函數變化趨勢的重要概念，也是判斷函數性質和解決實際問題的重要工具。判斷函