絕密★啟用前2023-2024學年度（上）白山市高一教學質量監測數學本卷滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.命題：“，”的否定是（）A.， B.，C， D.，2.已知集合，，則（）A. B.C. D.3.已知角終邊上一點的坐標為，則（）A. B. C. D.4.已知冪函數在上是減函數，則的解集為（）A. B.C. D.5.函數的圖像大致為（）A. B.C. D.6.將函數的圖象向左平移m個單位（），若所得函數的圖象關于直線對稱，則m的最小值為（）A B. C. D.7.已知，則下列各式中最小值是2的是（）A. B.C. D.8.“函數在上有且只有一個零點”的一個必要不充分條件可以是（）A. B.C. D.或二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.若，，，則下列不等式中正確的是（）A. B. C. D.10.下列函數中，最小正周期是的是（）A. B.C. D.11.下列說法錯誤的有（）A.的最小值點是B.若，則的解析式為C.在定義域內是增函數D.若滿足：定義在，則關于中心對稱12.若在上僅有一個最值，且為最大值，則的值可能為（）A. B.1 C. D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若一扇形周長為18，面積為14，則它的半徑為______．14.若函數的一段圖象如圖所示，則______．15.設m，n是方程的兩個實根，則______．16.設，，若在上是增函數且在R上至少有3個零點，則a的取值范圍是______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.解關于x的不等式：（1）；（2）．18.某地2023年7月30日、31日的溫度y（單位：攝氏度）隨時間x（單位：小時）的變化近似滿足如下函數關系：，其中．從氣象臺得知：該地在30日的最高氣溫出現在下午14時，最高氣溫為32攝氏度，最低氣溫出現在凌晨2時，最低氣溫為16攝氏度．（1）求函數解析式，并判斷是否為周期函數；（2）該地某商場規定：在環境溫度大于或等于28攝氏度時，需要開啟空調降溫，否則關閉空調，問2023年7月30日、31日這兩天需開啟空調共多少小時？19.設，，且，．（1）求的值；（2）試比較與的大?。?0.設，．（1）判斷的奇偶性，并證明；（2）寫出的單調區間（直接寫出結果）；（3）若當時，函數的圖象恒在函數的上方，求a的取值范圍．21.設．（1）若，求的值；（2）求的單調增區間；（3）設，求在上的最小值．22.設函數，，．（1）求函數在上的單調區間；（2）若，，使成立，求實數a的取值范圍；（3）求證：函數在上有且只有一個零點，并求（表示不超過x最大整數，如，）．參考數據：，．絕密★啟用前2023-2024學年度（上）白山市高一教學質量監測數學本卷滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.命題：“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據含有一個量詞的命題的否定，即可得答案.【詳解】由題意知命題：“，”為全稱量詞命題，其否定為：，，故選：C2.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解方程，結合常用數集的定義化簡集合，再利用集合的并集運算即可得解.【詳解】解，得，所以，又，所以.故選：B.3.已知角終邊上一點的坐標為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據三角函數的定義求出，再由誘導公式進行化簡求值即可.【詳解】由三角函數的定義得，，又由誘導公式得，.故選：A.4.已知冪函數在上是減函數，則的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據是冪函數且在上是減函數求出的值，再將所求不等式兩邊同時平方求出的范圍.【詳解】是冪函數，，解得或，當時，不滿足在上是減函數，當時，滿足在上是減函數，，將不等式的兩邊同時平方得，，解得，的解集為.故選：A.5.函數的圖像大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函數為偶函數可排除AC，再由當時，，排除D，即可得解.【詳解】設，則函數的定義域為，關于原點對稱，又，所以函數為偶函數，排除AC；當時，，所以，排除D.故選：B.6.將函數的圖象向左平移m個單位（），若所得函數的圖象關于直線對稱，則m的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】輔助角公式化簡解析式，可得平移后的解析式，由圖象的對稱性，求m的取值，再求最小值.【詳解】，則，函數的圖象關于直線對稱，則，解得，由，則當時，m有最小值.故選：B7.已知，則下列各式中最小值是2的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據給定條件，結合基本不等式分析判斷ABD；舉例說明判斷C.【詳解】當時，，此時，A不是；，當且僅當，即時取“=”，但，B不是；當時，，C不是；令，則，當且僅當，即時取“=”，D是.故選：D8.“函數在上有且只有一個零點”的一個必要不充分條件可以是（）A. B.C. D.或【答案】A【解析】【分析】分和，結合零點存在性定理求得充要條件，然后即可判斷答案.【詳解】當時，由得；當，即時，由解得，函數在上有且只有一個零點；當，即時，若函數在上有且只有一個零點，則，即，解得.當時，的零點為；當時，得，此時由解得或.綜上，函數在上有且只有一個零點，或.故是“函數在上有且只有一個零點”的一個必要不充分條件.故選：A．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.若，，，則下列不等式中正確的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據不等式的性質和作差法可逐項分析判斷.【詳解】對于A，，，，當時，，則，即，當時，，則，即，故A錯誤；對于B，由，則，又，所以，故B正確；對于C，，，，即，故C正確；對于D，由題，當時，，則，故D錯誤.故選：BC.10.下列函數中，最小正周期是的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據三角函數的圖象及周期公式或周期函數的定義,即可判斷各項中函數的周期的存在性及其大小.【詳解】對于選項A:的周期為，故A正確；對于選項B:利用圖象的翻折變換畫出，結合圖象可知該函數不具備周期性，故B錯誤；對于選項C:，故的最小正周期是，故C正確；對于選項D:因為,，，故的最小正周期是，故D正確.故選：ACD11.下列說法錯誤的有（）A.的最小值點是B.若，則的解析式為C.在定義域內是增函數D.若滿足：定義在，則關于中心對稱【答案】ABC【解析】【分析】根據函數的定義域、單調性、最值點、對稱性逐項判斷即可.【詳解】的最小值點是實數0，而不是點，A選項錯誤；因為，所以的定義域是，B選項錯誤；的增區間是，而其定義域是，它在整個定義域上不單調，C選項錯誤；若滿足：定義在，則關于中心對稱，D選項正確.故選：ABC．12.若在上僅有一個最值，且為最大值，則的值可能為（）A. B.1 C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據正弦函數的性質，可得關于參數的不等式，求得的范圍，從而得出結論.【詳解】因為，所以，所以由題意得，Z，解得，Z,為負整數時，的范圍時小于零的，與已知不符.時，；時，.因為，故A不正確；由題可知BD正確，C不正確.故選：BD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若一扇形的周長為18，面積為14，則它的半徑為______．【答案】7【解析】【分析】設出扇形的圓心角和半徑列式計算得解.【詳解】設扇形的圓心角為，半徑為，由題意，解得或，又扇形中，，所以．故答案為：7.14.若函數的一段圖象如圖所示，則______．【答案】【解析】【分析】根據函數圖象先確定A的值，繼而確定周期，求出，由代入函數解析式求出，即可得答案.【詳解】由函數的圖象可知；函數的最小正周期,故；將代入中，即，由于，故，故，故答案為：15.設m，n是方程的兩個實根，則______．【答案】【解析】【分析】利用整體換元，得為方程的兩根，由韋達定理可解.【詳解】由方程得，，令，得方程，因為m，n是方程兩個實根，所以是關于的方程的兩根，則有，解得,故答案為：.16.設，，若在上是增函數且在R上至少有3個零點，則a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據給定單調區間及單調性，可得，再探討函數的最小值，并由所在范圍求出的根即可推理得解.【詳解】由在上是增函數，得，解得，顯然，，且當時，，令，由，得，解得或，而，由于在R上至少有3個零點，只需，又，解得；當時，，符合題意，因此．所以a的取值范圍是.故答案為：【點睛】方法點睛：對于分段函數單調性，有兩種基本的判斷方法：一保證各段上同增(減)時，要注意上、下段間端點值間的大小關系；二是畫出這個分段函數的圖象，結合函數圖象、性質進行直觀的判斷．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.解關于x的不等式：（1）；（2）．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）利用分式不等式的解法求解即可得解；（2）將不等式化為，分類討論的取值范圍，從而得解.【小問1詳解】由題意，可得，解得或，所以不等式的解集為.【小問2詳解】不等式可化為，當時，，不等式的解集為；當時，不等式化為，其解集為；當時，不等式化為，（?。┊?，即時，不等式的解集為；（ⅱ）當，即時，不等式的解集為；（ⅲ）當，即時，不等式的解集為.18.某地2023年7月30日、31日的溫度y（單位：攝氏度）隨時間x（單位：小時）的變化近似滿足如下函數關系：，其中．從氣象臺得知：該地在30日的最高氣溫出現在下午14時，最高氣溫為32攝氏度，最低氣溫出現在凌晨2時，最低氣溫為16攝氏度．（1）求函數的解析式，并判斷是否為周期函數；（2）該地某商場規定：在環境溫度大于或等于28攝氏度時，需要開啟空調降溫，否則關閉空調，問2023年7月30日、31日這兩天需開啟空調共多少小時？【答案】（1），；不是周期函數（2）16小時【解析】【分析】（1）先求A，再求b，再由周期公式求，最后代入點的坐標求即可得解析式，根據定義域也能判斷是否為周期函數；（2）利用正弦型函數的性質解不等式即可.【小問1詳解】由題意，，，得，，得，將代入得，即，所以，得，，又，得，所以，；因為定義域是，所以不是周期函數．【小問2詳解】由題意，，得，，解得，，又，所以，所以兩天共需開啟空調16小時．19.設，，且，．（1）求的值；（2）試比較與的大?。敬鸢浮浚?）（2）【解析】【分析】（1）利用特殊三角函數值確定角所屬范圍，及同角三角函數的平方關系，三角恒等變換計算即可；（2）結合（1）的結論及余弦二倍角公式、余弦函數的單調性判定兩角大小即可.【小問1詳解】由，得，又，所以，從而，有，所以；【小問2詳解】由（1）知，得，而，，所以，易知，又上單調遞減，所以．20.設，．（1）判斷的奇偶性，并證明；（2）寫出的單調區間（直接寫出結果）；（3）若當時，函數的圖象恒在函數的上方，求a的取值范圍．【答案】20.奇函數，證明見解析21.增區間是，減區間是22.【解析】【分析】（1）利用函數奇偶性的定義判斷；（2）利用復合函數的單調性求解；（3）令，轉化為在上恒成立求解.【小問1詳解】解：時，顯然恒成立；時，，所以的定義域是R，又，即，所以是奇函數．【小問2詳解】增區間是，減區間是．證明如下：任取，且，則，易知在R上遞增，且，則，所以，即，所以在R上單調遞減，，當，即時，單調遞增，由復合函數的單調性知：遞增；當，即時，單調遞減，由復合函數的單調性知：遞減，所以增區間是，減區間是.【小問3詳解】令，則，即在上恒成立，令，設，對稱軸為，所以在上單調遞減，從而，所以的取值范圍是．21.設．（1）若，求的值；（2）求的單調增區間；（3）設，求在上的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由，齊次式法求的值；（2）利用倍角公式和輔助角公式化簡函數解析式，整體代入法求函數單調遞增區間；（3）時，，由，令，則，利用二次函數的性質，分類討論最小值.【小問1詳解】，解得．【小問2詳解】=，令，，解得，，所以的單調增區間是．【小問3詳解】，因為，從而，，，令