陜西省西安高中2025屆高三沖刺模擬數學試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖所示的“數字塔”有以下規律：每一層最左與最右的數字均為2，除此之外每個數字均為其兩肩的數字之積，則該“數字塔”前10層的所有數字之積最接近（）A． B． C． D．2．雙曲線的漸近線方程是（）A． B． C． D．3．若各項均為正數的等比數列滿足，則公比（）A．1 B．2 C．3 D．44．在三棱錐中，，，P在底面ABC內的射影D位于直線AC上，且，.設三棱錐的每個頂點都在球Q的球面上，則球Q的半徑為（）A． B． C． D．5．已知函數有兩個不同的極值點，，若不等式有解，則的取值范圍是（）A． B．C． D．6．已知函數，關于x的方程f（x）＝a存在四個不同實數根，則實數a的取值范圍是（）A．（0，1）∪（1，e） B．C． D．（0，1）7．設數列的各項均為正數，前項和為，，且，則（）A．128 B．65 C．64 D．638．已知三棱錐的體積為2，是邊長為2的等邊三角形，且三棱錐的外接球的球心恰好是中點，則球的表面積為（）A． B． C． D．9．從某市的中學生中隨機調查了部分男生，獲得了他們的身高數據，整理得到如下頻率分布直方圖：根據頻率分布直方圖，可知這部分男生的身高的中位數的估計值為A． B．C． D．10．已知數列是公比為的等比數列，且，若數列是遞增數列，則的取值范圍為（）A． B． C． D．11．已知實數滿足不等式組，則的最小值為（）A． B． C． D．12．下列說法正確的是（）A．命題“，”的否定形式是“，”B．若平面，，，滿足，則C．隨機變量服從正態分布（），若，則D．設是實數，“”是“”的充分不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個四面體的頂點在空間直角坐標系中的坐標分別是，，，，則該四面體的外接球的體積為__________．14．某市公租房源位于、、三個小區，每位申請人只能申請其中一個小區的房子，申請其中任意一個小區的房子是等可能的，則該市的任意位申請人中，恰好有人申請小區房源的概率是______.（用數字作答）15．記Sk＝1k+2k+3k+……+nk，當k＝1，2，3，……時，觀察下列等式：S1n2n，S2n3n2n，S3n4n3n2，……S5＝An6n5n4+Bn2，…可以推測，A﹣B＝_____．16．設函數在區間上的值域是，則的取值范圍是__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知實數x，y，z滿足，證明：.18．（12分）如圖，在四棱錐中底面是菱形，，是邊長為的正三角形，，為線段的中點．求證：平面平面；是否存在滿足的點，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．19．（12分）如圖，在正四棱柱中，已知，.（1）求異面直線與直線所成的角的大小；（2）求點到平面的距離.20．（12分）隨著現代社會的發展，我國對于環境保護越來越重視，企業的環保意識也越來越強.現某大型企業為此建立了5套環境監測系統，并制定如下方案：每年企業的環境監測費用預算定為1200萬元，日常全天候開啟3套環境監測系統，若至少有2套系統監測出排放超標，則立即檢查污染源處理系統；若有且只有1套系統監測出排放超標，則立即同時啟動另外2套系統進行1小時的監測，且后啟動的這2套監測系統中只要有1套系統監測出排放超標，也立即檢查污染源處理系統.設每個時間段（以1小時為計量單位）被每套系統監測出排放超標的概率均為，且各個時間段每套系統監測出排放超標情況相互獨立.（1）當時，求某個時間段需要檢查污染源處理系統的概率；（2）若每套環境監測系統運行成本為300元/小時（不啟動則不產生運行費用），除運行費用外，所有的環境監測系統每年的維修和保養費用需要100萬元.現以此方案實施，問該企業的環境監測費用是否會超過預算(全年按9000小時計算)？并說明理由.21．（12分）如圖，在正四棱錐中，底面正方形的對角線交于點且（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求銳二面角的大小．22．（10分）已知橢圓的左焦點坐標為，，分別是橢圓的左，右頂點，是橢圓上異于，的一點，且，所在直線斜率之積為.（1）求橢圓的方程；（2）過點作兩條直線，分別交橢圓于，兩點（異于點）.當直線，的斜率之和為定值時，直線是否恒過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

結合所給數字特征，我們可將每層數字表示成2的指數的形式，觀察可知，每層指數的和成等比數列分布，結合等比數列前項和公式和對數恒等式即可求解【詳解】如圖，將數字塔中的數寫成指數形式，可發現其指數恰好構成“楊輝三角”，前10層的指數之和為，所以原數字塔中前10層所有數字之積為.故選：A【點睛】本題考查與“楊輝三角”有關的規律求解問題，邏輯推理，等比數列前項和公式應用，屬于中檔題2、C【解析】

根據雙曲線的標準方程即可得出該雙曲線的漸近線方程.【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線方程是.故選：C.【點睛】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意雙曲線的簡單性質的合理運用．3、C【解析】

由正項等比數列滿足，即，又，即，運算即可得解.【詳解】解：因為，所以，又，所以，又，解得.故選：C.【點睛】本題考查了等比數列基本量的求法，屬基礎題.4、A【解析】

設的中點為O先求出外接圓的半徑，設，利用平面ABC，得，在及中利用勾股定理構造方程求得球的半徑即可【詳解】設的中點為O,因為，所以外接圓的圓心M在BO上.設此圓的半徑為r.因為，所以，解得.因為，所以.設，易知平面ABC，則.因為，所以，即，解得.所以球Q的半徑.故選：A【點睛】本題考查球的組合體，考查空間想象能力，考查計算求解能力，是中檔題5、C【解析】

先求導得（），由于函數有兩個不同的極值點，，轉化為方程有兩個不相等的正實數根，根據，，，求出的取值范圍，而有解，通過分裂參數法和構造新函數，通過利用導數研究單調性、最值，即可得出的取值范圍.【詳解】由題可得：（），因為函數有兩個不同的極值點，，所以方程有兩個不相等的正實數根，于是有解得.若不等式有解，所以因為.設，，故在上單調遞增，故，所以，所以的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題考查利用導數研究函數單調性、最值來求參數取值范圍，以及運用分離參數法和構造函數法，還考查分析和計算能力，有一定的難度.6、D【解析】

原問題轉化為有四個不同的實根，換元處理令t，對g（t）進行零點個數討論.【詳解】由題意，a＞2，令t，則f（x）＝a????．記g（t）．當t＜2時，g（t）＝2ln（﹣t）（t）單調遞減，且g（﹣2）＝2，又g（2）＝2，∴只需g（t）＝2在（2，+∞）上有兩個不等于2的不等根．則?，記h（t）（t＞2且t≠2），則h′（t）．令φ（t），則φ′（t）2．∵φ（2）＝2，∴φ（t）在（2，2）大于2，在（2，+∞）上小于2．∴h′（t）在（2，2）上大于2，在（2，+∞）上小于2，則h（t）在（2，2）上單調遞增，在（2，+∞）上單調遞減．由，可得，即a＜2．∴實數a的取值范圍是（2，2）．故選：D．【點睛】此題考查方程的根與函數零點問題，關鍵在于等價轉化，將問題轉化為通過導函數討論函數單調性解決問題.7、D【解析】

根據，得到，即，由等比數列的定義知數列是等比數列，然后再利用前n項和公式求.【詳解】因為，所以，所以，所以數列是等比數列，又因為，所以，.故選：D【點睛】本題主要考查等比數列的定義及等比數列的前n項和公式，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.8、A【解析】

根據是中點這一條件，將棱錐的高轉化為球心到平面的距離，即可用勾股定理求解.【詳解】解：設點到平面的距離為，因為是中點，所以到平面的距離為，三棱錐的體積，解得，作平面，垂足為的外心，所以，且，所以在中，，此為球的半徑，.故選：A.【點睛】本題考查球的表面積，考查點到平面的距離，屬于中檔題．9、C【解析】

由題可得，解得，則，，所以這部分男生的身高的中位數的估計值為，故選C．10、D【解析】

先根據已知條件求解出的通項公式，然后根據的單調性以及得到滿足的不等關系，由此求解出的取值范圍.【詳解】由已知得，則.因為，數列是單調遞增數列，所以，則，化簡得，所以.故選：D.【點睛】本題考查數列通項公式求解以及根據數列單調性求解參數范圍，難度一般.已知數列單調性，可根據之間的大小關系分析問題.11、B【解析】

作出約束條件的可行域，在可行域內求的最小值即為的最小值，作，平移直線即可求解.【詳解】作出實數滿足不等式組的可行域，如圖（陰影部分）令，則，作出，平移直線，當直線經過點時，截距最小，故，即的最小值為.故選：B【點睛】本題考查了簡單的線性規劃問題，解題的關鍵是作出可行域、理解目標函數的意義，屬于基礎題.12、D【解析】

由特稱命題的否定是全稱命題可判斷選項A；可能相交，可判斷B選項；利用正態分布的性質可判斷選項C；或，利用集合間的包含關系可判斷選項D.【詳解】命題“，”的否定形式是“，”，故A錯誤；，，則可能相交，故B錯誤；若，則，所以，故，所以C錯誤；由，得或，故“”是“”的充分不必要條件，D正確.故選：D.【點睛】本題考查命題的真假判斷，涉及到特稱命題的否定、面面相關的命題、正態分布、充分條件與必要條件等，是一道容易題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

將四面體補充為長寬高分別為的長方體，體對角線即為外接球的直徑，從而得解.【詳解】采用補體法，由空間點坐標可知，該四面體的四個頂點在一個長方體上，該長方體的長寬高分別為，長方體的外接球即為該四面體的外接球，外接球的直徑即為長方體的體對角線，所以球半徑為，體積為.【點睛】本題主要考查了四面體外接球的常用求法：補體法，通過補體得到長方體的外接球從而得解，屬于基礎題.14、【解析】

基本事件總數，恰好有2人申請小區房源包含的基本事件個數，由此能求出該市的任意5位申請人中，恰好有2人申請小區房源的概率．【詳解】解：某市公租房源位于、、三個小區，每位申請人只能申請其中一個小區的房子，申請其中任意一個小區的房子是等可能的，該市的任意5位申請人中，基本事件總數，該市的任意5位申請人中，恰好有2人申請小區房源包含的基本事件個數：，該市的任意5位申請人中，恰好有2人申請小區房源的概率是．故答案為：．【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．15、【解析】

觀察知各等式右邊各項的系數和為1，最高次項的系數為該項次數的倒數，據此計算得到答案.【詳解】根據所給的已知等式得到：各等式右邊各項的系數和為1，最高次項的系數為該項次數的倒數，∴A，A1，解得B，所以A﹣B．故答案為：．【點睛】本題考查了歸納推理，意在考查學生的推理能力.16、.【解析】

配方求出頂點，作出圖像，求出對應的自變量，結合函數圖像，即可求解.【詳解】，頂點為因為函數的值域是，令，可得或.又因為函數圖象的對稱軸為，且，所以的取值范圍為.故答案為:.【點睛】本題考查函數值域，考查數形結合思想，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、見解析【解析】

已知條件，需要證明的是，要想利用柯西不等式，需要的值，發現，則可以用柯西不等式.【詳解】，.由柯西不等式得，...【點睛】本題考查柯西不等式的應用，屬于基礎題.18、證明見解析；2.【解析】

利用面面垂直的判定定理證明即可；由，知，所以可得出，因此，的充要條件是，繼而得出的值.【詳解】解：證明：因為是正三角形，為線段的中點，所以．因為是菱形，所以．因為，所以是正三角形，所以，而，所以平面．又，所以平面．因為平面，所以平面平面．由，知．所以，，．因此，的充要條件是，所以，．即存在滿足的點，使得，此時．【點睛】本題主要考查平面與平面垂直的判定、三棱錐的體積等基礎知識；考查空間想象能力、運算求解能力、推理論證能力和創新意識；考查化歸與轉化、函數與方程等數學思想，屬于難題．19、（1）；（2）.【解析】

（1）建立空間坐標系，通過求向量與向量的夾角，轉化為異面直線與直線所成的角的大小；（2）先求出面的一個法向量，再用點到面的距離公式算出即可．【詳解】以為原點，所在直線分別為軸建系，設所以,,所以異面直線與直線所成的角的余弦值為，異面直線與直線所成的角的大小為．（2）因為，，設是面的一個法向量，所以有即，令，，故，又，所以點到平面的距離為.【點睛】本題主要考查向量法求異面直線所成角的大小和點到面的距離，意在考查學生的數學建模以及數學運算能力．20、（1）；（2）不會超過預算，理由見解析【解析】

（1）求出某個時間段在開啟3套系統就被確定需要檢查污染源處理系統的概率為,某個時間段在需要開啟另外2套系統才能確定需要檢查污染源處理系統的概率為，可得某個時間段需要檢查污染源處理系統的概率；（2）設某個時間段環境監測系統的運行費用為元，則的可能取值為900，1500.求得，，求得其分布列和期望，對其求導，研究函數的單調性，可得期望的最大值，從而得出結論.【詳解】（1）某個時間段在開啟3套系統就被確定需要檢查污染源處理系統的概率為,某個時間段在需要開啟另外2套系統才能確定需要檢查污染源處理系統的概率為某個時間段需要檢查污染源處理系統的概率為.（2）設某個時間段環境監測系統的運行費用為元，則的可能取值為900，1500.，令,則當時，，在上單調遞增；當時，，在上單調遞減,的最大值為,實施此方案，最高費用為（萬元），，故不會超過預算.【點睛】本題考查獨立重復事件發生的概率、期望，及運用求導函數研究期望的最值，由根據