2023-2024學年北師大版數學七年級上冊章節知識講練知識點01:有理數的相關概念1．有理數的分類：（1）按定義分類：（2）按性質分類：細節剖析：（1）用正數、負數表示相反意義的量；（2）有理數“0”的作用：作用舉例表示數的性質0是自然數、是有理數表示沒有3個蘋果用+3表示，沒有蘋果用0表示表示某種狀態表示冰點表示正數與負數的界點0非正非負，是一個中性數2．數軸：規定了原點、正方向和單位長度的直線．細節剖析：（1）一切有理數都可以用數軸上的點表示出來，數軸上的點不都表示的是有理數，如．（2）在數軸上，右邊的點所對應的數總比左邊的點所對應的數大．3．相反數：只有符號不同的兩個數互稱為相反數，0的相反數是0．細節剖析：（1）一對相反數在數軸上對應的點位于原點兩側，并且到原點的距離相等，這兩點是關于原點對稱的．（2）求任意一個數的相反數，只要在這個數的前面添上“”號即可．（3）多重符號的化簡：數字前面“”號的個數若有偶數個時，化簡結果為正，若有奇數個時，化簡結果為負．4．絕對值：（1)代數意義：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0．數a的絕對值記作．（2)幾何意義：一個數a的絕對值就是數軸上表示數a的點與原點的距離．知識點02:有理數的運算1．法則：（1）加法法則：①同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加．②絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．③一個數同0相加，仍得這個數．（2）減法法則：減去一個數，等于加這個數的相反數．即a-b=a+(-b)．（3）乘法法則：①兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘．②任何數同0相乘，都得0．（4）除法法則：除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數．即a÷b=a·(b≠0)．（5）乘方運算的符號法則：①負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；②正數的任何次冪都是正數，0的任何非零次冪都是0．(6)有理數的混合運算順序：①先乘方，再乘除，最后加減；②同級運算，從左到右進行；③如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行．細節剖析：“奇負偶正”口訣的應用：（1）多重負號的化簡，這里奇偶指的是“－”號的個數，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理數乘法，當多個非零因數相乘時，這里奇偶指的是負因數的個數，正負指結果中積的符號，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理數乘方，這里奇偶指的是指數，當底數為負數時，指數為奇數，則冪為負；指數為偶數，則冪為正，例如：，．2．運算律：（1）交換律:①加法交換律:a+b=b+a；②乘法交換律:ab=ba；（2）結合律:①加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法結合律：（ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac知識點03:有理數的大小比較比較大小常用的方法有：（1）數軸比較法；（2）法則比較法：正數大于0，0大于負數，正數大于負數；兩個負數，絕對值大的反而小；(3)作差比較法．（4）作商比較法；（5)倒數比較法．知識點04:科學記數法把一個大于10的數表示成的形式（其中1≤，是正整數），此種記法叫做科學記數法．例如：200000=．一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?藁城區二模）若要等式4〇（﹣6）＝﹣2成立，“〇”中應填的運算符號是（）A．+ B．﹣ C．× D．÷2．（2分）（2023?江岸區模擬）小王在4張同樣的紙片上各寫了一個正整數，從中隨機抽取2張，并將它們上面的數相加．重復這樣做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一個數，并且這4個數都能取到．則小王寫下的四個整數的積可能是（）A．80 B．90 C．100 D．1203．（2分）（2022秋?滄州期末）我們定義一種新運算：a*b＝a2﹣b．例如：1*2＝12﹣2＝﹣1，求（﹣4）*[2*（﹣3）]的值為（）A．﹣23 B．﹣3 C．4 D．94．（2分）（2022秋?滄州期末）在原點為O的數軸上，從左到右依次排列的三個點A，M，B，滿足MA＝MB，將點A，M，B表示的數分別記為a，m，b．若b＝8，BM＝3OM，則m的值是（）A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．2或﹣45．（2分）（2022秋?廬陽區校級期末）有理數a、b、c在數軸上的位置如圖所示．下列式子錯誤的是（）A．a＜c＜b B．|a﹣b|＝﹣（a﹣b） C．|a﹣1|＝a﹣1 D．|c﹣a|＝c﹣a6．（2分）（2022秋?海港區校級期末）有理數a、b、c在數軸上位置如圖，則|a﹣c|﹣|a+b|+|b﹣c|的值為（）A．2a B．2a+2b﹣2c C．0 D．﹣2c7．（2分）（2022秋?汝城縣期末）如果|a+2|+（b﹣1）2＝0，那么（a+b）2009的值是（）A．﹣2009 B．2009 C．﹣1 D．18．（2分）（2019秋?云岡區期末）下列四個算式：①﹣2﹣3＝﹣1；②2﹣|﹣3|＝﹣1；③（﹣2）3＝﹣6；④﹣2÷＝﹣6．其中，正確的算式有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個9．（2分）（2022秋?南關區校級期末）如圖，數軸上的A，B兩點所表示的數分別是a，b，如果|a|＞|b|且ab＜0，那么該數軸的原點O的位置應該在（）A．點A的左邊 B．點B的右邊 C．點A與點B之間且靠近點A D．點A與點B之間且靠近點B10．（2分）（2022秋?欒城區校級期末）已知三個數a+b+c＝0，則這三個數在數軸上表示的位置不可能是（）A． B． C． D．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023春?萊山區期末）若a＞b＞0，則1，1+a，1+b這三個數用“＞”連接起來為．12．（2分）（2023春?肇東市期末）若|a|＝5，b＝6且a＜b，則2a﹣b＝．13．（2分）（2022秋?鄄城縣期末）點A在數軸上距原點3個單位長度，若將點A向右移動4個單位長度，再向左移動1個單位長度，此時點A所表示的數是．14．（2分）（2023春?泉港區期末）如圖，完全重合的兩個等邊△ABC、等邊△DEF的邊BC、EF都在數軸上，點B、C在數軸上所對應的數分別為3、9．若將△ABC向左平移m個單位，△DEF向右平移m個單位．當點E、C為線段BF的三等分點時，則m的值為．?15．（2分）（2022秋?邯山區校級期末）若|x﹣2|+（y+3）2＝0，則yx＝．16．（2分）（2022秋?平谷區期末）黑板上寫著7個數，分別為：﹣8，a，1，13，b，0，﹣6，它們的和為﹣10，若每次從中任意擦除兩個數，同時寫上一個新數（新數為所擦除的兩個數的和加上1），這樣操作若干次，直至黑板上只剩下一個數，則所剩的這個數是．17．（2分）（2022秋?朝陽區校級期末）若|m﹣3|與（n﹣4）2互為相反數，則（﹣m）n的值為．18．（2分）（2022秋?安岳縣期末）定義新運算：求若干個相同的有理數（均不等于0）的商的運算叫做除方．比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，類比有理數的乘方，我們把2÷2÷2寫作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）寫作（﹣3）④，讀作“（﹣3）的圈4次方”．一般地，把（a≠0）記作：a?，讀作“a的圈n次方”．特別地，規定：a①＝a．通過以上信息，請計算：2022②×（﹣）④+（﹣1）?＝．19．（2分）（2022秋?黃埔區校級期末）已知a，b，c在數軸上的位置如圖所示，化簡：|a﹣b|+|b+c|+|c﹣a|＝．20．（2分）（2022秋?深圳校級期中）已知a，b，c，d分別是一個四位數的千位，百位，十位，個位上的數字，且低位上的數字不小于高位上的數字，當|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|取得最大值時，這個四位數的最小值是．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2022秋?滄州期末）計算：（1）；（2）．22．（6分）（2023春?肇東市期末）有理數a，b，c在數軸上的位置如圖所示．化簡代數式：|a﹣b|+|a+b|+|b﹣c|．23．（8分）（2022秋?鞍山期末）小明和同學們玩撲克牌游戲．游戲規則是：從一副撲克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四張，根據牌面上的數字進行混合運算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每張牌上的數字只能用一次，并使得運算結果等于24．（1）小明抽到的牌如圖所示，請幫小明列出一個結果等于24的算式；（2）請你抽取任意數字不相同的4張撲克牌，并列出一個結果等于24的算式．24．（8分）（2022秋?祁陽縣期末）如圖，在數軸上點A表示數a，點B表示數b，點C表示數c，a，c滿足|a+4|+（c﹣2）2＝0，b是最大的負整數．（1）a＝，b＝，c＝．（2）若將數軸折疊，使得點A與點C重合，則點B與數表示的點重合；（3）點A，B，C開始在數軸上運動，若點A和點B分別以每秒0.4個單位長度和0.3個單位長度的速度向左運動，同時點C以每秒0.2個單位長度的速度向左運動，點C到達原點后立即以原速度向右運動，運動時間為t秒，若點A與點B之間的距離表示為AB，點B與點C之間的距離表示為BC，請問：5AB﹣BC的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求出5AB﹣BC的值．25．（8分）（2022秋?海興縣期末）如圖，已知在一條不完整的數軸上，從左到右的點A，B，C對應的數分別是a，b，c，AC＝5，BC＝3．（1）若a+b＝0，則原點在點B的（填“左側”或“右側”）；（2）設原點為O，若bc＜0，且，求a+b+c的值；（3）在（2）的條件下，數軸上一點D表示的數為d，若BD＝2OC，求d的值．26．（8分）（2022秋?曹縣期末）觀察下列三個等式：，，，我們稱使等式a﹣b＝ab成立的一對有理數a，b為“有趣數對”，記為（a，b），例如數對，，都是“有趣數對”，請回答下列問題：（1）數對是“有趣數對”嗎？試說明理由．（2）若是“有趣數對”，求a的值．（3）若（2，m2+2m）是“有趣數對”，求10﹣6m2﹣12m的值．27．（8分）（2022秋?二七區期末）【概念學習】定義新運算：求若干個相同的有理數（均不等于0）的商的運算叫做除方．比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，類比有理數的乘方，我們把2÷2÷2寫作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）寫作（﹣3）④，讀作“（﹣3）的圈4次方”．一般地，把記作：a?，讀作“a的圈n次方”．特別地，規定：a①＝a．【初步探究】（1）直接寫出計算結果：2023②＝；（2）若n為任意正整數，下列關于除方的說法中，正確的有；（橫線上填寫序號）A．任何非零數的圈2次方都等于1B．任何非零數的圈3次方都等于它的倒數C．圈n次方等于它本身的數是1或﹣1D．負數的圈奇數次方結果是負數，負數的圈偶數次方結果是正數【深入思考】我們知道，有理數的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算可以轉化為乘法運算，那么有理數的除方運算如何轉化為乘方運算呢？（3）請把有理數a（a≠0）的圈n（n≥3）次方寫成冪的形式：a?＝