1§5–1扭轉桿件的內力·扭矩圖§5–2扭轉圓軸的應力·強度計算§5–3扭轉圓軸的變形·剛度計算§5–4扭轉超靜定問題§5–5*非圓截面桿的自由扭轉問題

扭轉桿件的強度與剛度計算2Me主動力偶阻抗力偶汽輪機發電機發電機汽輪機5-1-1扭轉的工程實例螺釘旋具電機轉軸3傳動軸MeA方向盤轉軸汽車傳動軸45-1-2扭轉的概念主要發生扭轉變形的桿——軸受力特點：桿兩端作用兩個大小相等、方向相反、作用面垂直于桿件軸線的力偶。變形特點：桿件任意兩個橫截面繞軸線相對轉動。55-1-3圓軸扭轉內力計算外力偶矩計算已知：傳動軸輸出功率為kW，軸的轉速為n(r/min)求：外力偶矩Me？

6傳動軸的傳遞功率、轉速與外力偶矩的關系其中：P—功率，千瓦（kW）

n—轉速，轉/分（rpm）其中：P—功率，馬力（PS）

n—轉速，轉/分（rpm）1PS=735.5N·m/s7扭矩和扭矩圖截面法求扭轉桿件的內力取左段為研究對象：取右段為研究對象：扭矩：構件受扭時，橫截面上的內力偶矩，記作。8扭矩和扭矩圖扭矩的符號規定：按右手螺旋法則，的轉向與截面外法線方向一致為正，反之為負。9扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規律的圖形。x

扭矩圖的簡易作法：①扭矩與橫截面一一對應，控制點標明數值；②外力偶作用截面處扭矩突變；③確定出危險截面位置及其最大扭矩

強度計算。10[例5-1]已知：某齒輪傳動軸，n=200r/min，主動輪A輸入PA=24kW，從動輪輸出PB=10kW，PC=14kW，試繪制扭矩圖。解：①計算外力偶矩11②求扭矩（扭矩按正方向設）AC段為危險截面。③繪制扭矩圖12[練習1]已知：一傳動軸，n=300r/min，主動輪A輸入PA=36kW，從動輪輸出PB=PC=11kW，PD=14kW，試繪制扭矩圖。解：①計算外力偶矩13②求扭矩（扭矩按正方向設）應否更換A輪和C輪位置？AC段為危險截面。③繪制扭矩圖14§5–1扭轉桿件的內力·扭矩圖§5–2扭轉圓軸的應力·強度計算§5–3扭轉圓軸的變形·剛度計算§5–4扭轉超靜定問題§5–5非圓截面桿的自由扭轉問題第5章扭轉桿件的強度與剛度計算15

－圓周線相對轉動，但無變形；－橫截面間距不變；－縱向線傾斜相同角度仍平行。扭轉變形分析?實驗觀察假設-

－橫截面仍保持為平面，僅繞桿軸相對剛性轉動；－軸向無伸縮。

結論

－橫截面上只有切應力；－橫截面上任一點切應力必垂直所在半徑線。

平面假設dxdx5-2-1扭轉圓軸橫截面上的應力分析16

等直圓軸橫截面上的應力①變形幾何關系②物理關系③靜力關系

分布未知

超靜定問題。171.變形幾何關系橫截面上任一點處的

與該點至截面中心的距離

成正比?！獑挝婚L度的扭轉角

等直圓軸橫截面上的應力（續）182.物理關系

剪切虎克定律-若在彈性范圍內加載，當切應力不超過材料的剪切比例極限時，切應力與切應變成正比。對各向同性材料三個材料常數的關系G

－切變模量，192.物理關系（續）→應力變形關系實心截面扭轉切應力分布

－正比于ρ;

－垂直于半徑；－與扭矩同向203.靜力關系令極慣性矩，mm4－圓軸扭轉切應力公式扭轉剛度21最大扭轉切應力－圓軸扭轉最大切應力公式

扭轉截面系數，幾何量，mm3或m3實心截面22圓軸扭轉切應力公式小結討論－僅適用圓軸扭轉，實心、空心皆可－材料在線彈性范圍內，－當外力偶不能保持軸兩端面平面且只產生剛性轉動時，由圣維南原理，離端部稍遠處公式成立。23

對于實心圓截面：實心圓截面5-2-2圓截面的極慣性矩和扭轉截面系數OdrrD24

對于空心圓截面：空心圓截面DdOdrr25空心、實心軸的應力分布比較TtmaxtmaxtmaxtmaxT（實心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構件：提高強度，節約材料，結構輕便。26A0：平均半徑所作圓的面積。薄壁圓管－

按空心圓軸計算切應力沿壁厚均勻分布精確分析表明，按上式計算薄壁圓管扭轉切應力，其

最大誤差不超過4.7%。5-2-3薄壁圓管的扭轉切應力27

單元體（純剪切應力狀態）－各側面均無正應力－左右截面只有切應力acddxb

dy′′dzz

純剪切應力狀態5-2-4切應力互等定理及純剪切的概念28

在單元體相互垂直的兩個平面上，－切應力必然成對出現，－且數值相等，－兩者都垂直于兩平面的交線，－其方向則共同指向或背離該交線。切應力互等定理acddxb

dy′′dzz

純剪切應力狀態可證明，切應力互等定理對非純剪切應力狀態同樣成立。295-2扭轉圓軸的強度計算強度條件：等截面圓軸：([

]

許用切應力)強度計算三方面：①校核強度：②設計截面尺寸：③計算許可載荷：塑性材料:脆性材料:30[例5-2]功率為150kW，轉速為924r/min的電動機轉子軸如圖，許用切應力[

]=30MPa,試校核其強度。Tm解：①求扭矩作扭矩圖②校核切應力強度此軸滿足強度要求。xD1

=135D2=75D3=70ABCmm31[例5-3]實心軸和空心軸通過牙嵌離合器連接。傳遞的最大扭矩為Me=1.5kNm，

=0.8，許用切應力[

]=60MPa，兩軸長度相同。（1）確定d1，d2和D；（2）比較兩軸的重量。解：（1）確定直徑對實心軸，取d1=50mm。32（2）比較重量載荷、強度相同

空心軸重量輕、用料省，更合理。從強度的觀點

空心軸比實心軸更合理。對空心軸，取D2=60mm，則d2=aD2=48mm。33§5–1扭轉桿件的內力·扭矩圖§5–2扭轉圓軸的應力·強度計算§5–3扭轉圓軸的變形·剛度計算§5–4扭轉超靜定問題§5–5非圓截面桿的自由扭轉問題第5章扭轉桿件的強度與剛度計算34扭轉變形對T為常量，長l的等直截面軸單位rad，正負號同扭矩。－圓軸扭轉的變形計算公式GIp－扭轉剛度。5-3-1等直圓軸在扭轉時的變形35常扭矩、等直截面－僅適用圓軸扭轉，實心、空心皆可－材料在線彈性范圍內，－當外力偶不能保持軸兩端面平面且只產生剛性轉動時，由圣維南原理，離端部稍遠處公式成立。討論變扭矩或非等直截面軸分段常扭矩等直軸36[例5-4]水平階梯圓軸，D1=30mm,D2=60mm,d=44mm。材料的切變模量G=77GPa。試求:(1)實心軸的最大切應力和空心軸的最大、最小切應力；(2)。解：(1)作扭矩圖37(2)計算各段的IP和WPAB段和BC段CD段38(3)計算應力實心段空心段CD段AB段39(4)計算變形各段疊加小變形40單位長度扭轉角

圓軸扭轉剛度條件或[

]---許用單位扭轉角。等直圓軸扭轉剛度條件5-3-2扭轉圓軸的剛度計算41扭轉剛度計算的三方面：①校核剛度：②設計截面尺寸：③計算許可載荷：42[例5-5]圖示圓截面階梯軸，d1=40mm,d2=70mm。軸勻速轉動，n=200r/min，輪3輸入功率P3=3kW,輪1輸出功率P1=13kW。材料的切變模量G=80GPa，[

]=2o/m。試校核該軸的剛度。43解：各輪上的外力偶矩為扭矩圖如圖。ADBCAD是可能危險截面。44AD是可能危險截面。ADBCAD段極慣性矩由圓軸扭轉的剛度條件：該軸滿足剛度要求。45[例5-6]某機床如圖，動力傳動由軸541、2、3。已知n4=183.5r/min，PII=0.756kW,PIV=2.98kW,G=80GPa,[

]=40MPa,[

]=1.5(?/m)。試按扭轉的強度條件及剛度條件設計軸4的直徑D。（1）計算外力偶矩力學計算簡圖1

46III-IV段為危險截面。②截面設計扭轉強度條件47扭轉剛度條件綜上，選48彎扭組合變形討論:軸4的完整設計－按扭轉初估軸直徑－按彎扭組合設計直徑交變應力問題－疲勞破壞（突發性）力學計算簡圖49§5–1扭轉桿件的內力·扭矩圖§5–2扭轉圓軸的應力·強度計算§5–3扭轉圓軸的變形·剛度計算§5–4扭轉超靜定問題§5–5非圓截面桿的自由扭轉問題第5章扭轉桿件的強度與剛度計算50

解決超靜定問題的基本步驟靜力學關系幾何關系-變形協調方程補充方程←幾何方程+物理方程物理關系聯立求解由靜力學關系和補充方程組成的方程組①②③④⑤§5–4圓桿的扭轉超靜定問題51[例5-7]如圖示，階梯圓軸在C處受外力偶矩Me的作用。已知

D1=70mm，D2=50mm，[

]=60MPa。試求該軸所允許承受的最大外力偶矩[Me]。解：(1)求固定端的約束力偶矩。圓軸受力如圖。

一次超靜定問題。①平衡方程52②幾何方程——變形協調方程③

物理方程⑤由平衡方程和補充方程④

補充方程53(2)強度計算AC段:作圓軸扭矩圖如圖示。由強度條件,ABCBC段:54[例5-8]長為L=2m

的圓桿受均布力偶m=20N

m/m

的作用，如圖，若桿的內外徑之比為

=0.8，外徑

D=0.0226m，G=80GPa，試求固端反力偶。解：①桿受力圖如圖，

一次超靜定問題。

平衡方程55②幾何方程——變形協調方程③

代入物理方程得補充方程④由平衡方程和補充方程

此題亦可由對稱性直接求得結果。56

解決超靜定問題的基本步驟靜力學關系幾何關系-變形協調方程補充方程←幾何方程+物理方程物理關系聯立求解由靜力學關系和補充方程組成的方程組①②③④⑤57§5–1扭轉桿件的內力·扭矩圖§5–2扭轉圓軸的應力·強度計算§5–3扭轉圓軸的變形·剛度計算§5–4扭轉超靜定問題§5–5非圓截面桿的自由扭轉問題第5章扭轉桿件的強度與剛度計算58§5–5非圓截面桿自由扭轉簡介非圓截面桿扭轉的翹曲－橫截面不再保持平面平面假設不成立

圓軸扭轉公式不再適用59非圓截面桿扭轉自由扭轉約束扭轉非圓截面桿自由扭轉－各橫截面的翹曲程度相同－橫截面上只有切應力而無正應力非圓截面桿約束扭轉－各橫截面的翹曲程度不同－橫截面上既有切應力，又有正應力薄壁截面桿約束扭轉，橫截面上正應力較大，不可忽略。60矩形截面桿自由扭轉橫截面上的應力分布特點平面假設不再成立（彈性力學）（1）截面邊緣各點切應力形成與邊界相切的應力流；（2