專題02有理數的運算(考點清單，知識導圖+10個考點清單

+6種題型解讀)

考點儕單

卜，取‘；」「II4.，?；；??>.”'*￥:--::曲培“ra；?"

境葉值長相等的異學兩技相帕.和取笫.6傳出大的加it的

林號.H和的健,時值率于加長的修時值中皎大X與^小N

的良.瓦為相反敦的兩個我初加部)

一個數與，一相加,仍得這個數J

一[MZ*.A'Y.?于力，送個k的格E數

兩栽相泉，同事再工.算片耳R,且和的脩時值寫于電it的錚.討值■的機

任何做.與Ib植東..—力

~~[:先以一，不等T?”的4t.?十拿這4盤的倒叫

|-萬齊H知個相同爽敢的粗的運算.叫作東方，東方的結果叫作衛

也一個大于卜的數表示或“X1T的彩式(其中〃大子我等于1且小

有Tio,“艮正整敦)

理

數

的

運先罪方，再嶷除，最后加d.

算

同級運算.從左到右丑行

有理里

加*京

運算結

為有理

a..(a+6)+c=a+(d+c)

一~,二月行,結合揖卜；

laMc=a[bc)

分配律a(b-^c)=ah^ac

、一1用計H系進行有理數的遼?

【清單01】有理數加法運算

1.加法法則:

①同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加.

②絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.

③一個數同0相加，仍得這個數.

有理數加法運算的步驟

2.有理數加法的運算律

運算律文字敘述用字母表示

加法交換律兩個數相加，交換加數的位置，和不變a-\-b=b-\-a

三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后

加法結合律(a+b)+c=a+(b+c)

兩個數相加，和不變

3.加法運算律的運用技巧

(1)互為相反數的兩個數先相加----"相反數結合法”；

(2)符號相同的數先相加——“同號結合法”；

(3)整數與整數、小數與小數、分母相同(或分母成倍數關系易化成同分母)的數先相加——“同形結合法”；

(4)幾個相加得整數的數先相加——“湊整法”；

(5)帶分數相加時，可先拆成整數與分數的和，再分別相加——“拆項結合法”.

【清單02】有理數減法運算

1.減法法則：

減去一個數，等于加這個數的相反數.即a-b=a+(-b).

減號變加號

如:可，甲=(昔^甲-27.

I1~J

被減數不變減數變相反數

2.兩數相減差的符號

⑴較大的數一較小的數=正數，即若心6,則a—6>0.

(2)較小的數一較大的數=負數，即若。<6,則a—6<0.

(3)相等的兩個數的差為0,即若a=6,則。-6=0.

特別解讀

減法轉化為加法過程中，應注意“兩變一不變”.“兩變”是指運算符號“一”號變成“+”號，減數變成

它的相反數；“一不變”是指被減數和減數的位置不變.

【清單03】有理數加減混合運算

1.有理數加減混合運算的方法

(D運用減法法則，將有理數加減混合運算中的減法轉化為加法，轉化為加法后的式子是幾個正數或負數的

和的形式.

(2)運用加法交換律，加法結合律進行計算，使運算簡便.

如:(+7)-(+10)+(-3)-(-8)

=(+7)+(—10)+(-3)+8

=(7+8)+[(-10)+(—3)]=15+(—13)=2.

2.省略和式中的括號和加號

將有理數的加減混合運算統一成加法運算時，在和式里可以把加號及加數的括號省略不寫，以簡化書寫形

式.如(―20)+(—3)+(+2)+(—5)可以寫成一20—3+2—5.

這個式子有兩種讀法：

(1)按加法的結果來讀：負20、負3、正2、負5的和；

(2)按運算來讀：負20減3加2減5.

【清單04】有理數乘法運算

1.有理數的乘法法則

(1)兩數相乘，同號得正，異號得負，且積的絕對值等于乘數的絕對值的積.

(2)任何數與0相乘，都得0.

2.有理數乘法的符號法則

a與b乘積的符號a與b的符號

正同號，即a>0,6>0或。<0,b<0

負同號，即”>0,b>0或a<0,b<0

0至少一個為0,即a=0或8=0

3.倒數

定義乘積是1的兩個數互為倒數.

倒數與相反數之間的關系

不同點

相同點

定義表示性質判定

若。，b互為若ab=l9

倒乘積是1的兩個數。(。羊0)的倒數是工

倒數，則

數互為倒數a

ab=l則〃，〃互為倒數

若a+b=0,都成對出現

相只有符號不同的兩若a,b互為

反個數叫作互為相反a的相反數是一a相反數，則。

則以〃互為相反

數數+6=0

數

4.乘法運算律

運算律文字表示用字母表示

乘法交換律兩個數相乘，交換乘數的位置，積不變ab=ba

三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積不

乘法結合律(ab)c=a(bc)

變

一個數與兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這兩個數相乘，

分配律a(b+c)=ab+ac

再把積相加

【清單05】有理數除法運算

1.除法法則：除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數.即a+b=a?▲(bWO).

b

2.有理數除法法則二兩數相除，同號得正，異號得負，且商的絕對值等于被除數的絕對值除以除數的絕

對值的商.0除以任何一個不等于0的數，都得0.

Dxl-4)=[+J(l-KI：I41)=294(-?=古啊T1-3

兩斂布城t―被阻松t

場對值相瞼地尺侵相險

方法點撥：除法法則的選用原則

「施伊除?法則：T

西教L性時值和除

L"鹿黑故中FA*f轉化為乘汰

3.分數的化簡

(1)實質

分數的化簡，即利用有理數除法法則，用分數的分子除以分母的運算過程.

(2)分數的符號法則

分數的分子、分母及分數本身的符號，改變其中任意兩個，分數的值不變.

用字母表示at==/=彳=一..

nnnn

【清單06】有理數乘除混合運算

有理數的加減乘除混合運算順序

在運算時要注意按照“先乘除，后加減”的順序進行，如果有括號，應先算括號里面的.在同級運算中，要

按從左到右的順序來計算，并合理運用運算律，簡化運算.

【清單07】有理數乘方運算

1.乘方運算的意義

概念示例

。°。記作〃?，

求”個相同乘數的積的運算，叫作乘

乘方M個11

方

讀作“a的n次方”

乘方的結果叫作幕

嘉掙數（*敢的個數）

中，〃叫作底數，n叫作指數t;,

底數和指數r

點■.效（柒粒）

2.an,-an和（一。）"的聯系與區別

an—an（一4）〃

區底數為〃，表示〃表示〃個〃相乘底數為一〃，表示〃

別

個〃相乘的積的積的相反數個一〃相乘的積

聯當〃為奇數時，一“〃=（一〃）"，它們分別與然"互為相反數；

系當〃為偶數時，〃〃=（一〃）"，它們分別與一〃〃互為相反數

知識拓展：（1）負數的奇次幕是負數，負數的偶次幕是正數；（2）乘方運算中，當底數有“一”號時，底數要加

括號；（3）當底數互為相反數時，它們的奇次塞也互為相反數，偶次哥相等.

3.乘方的運算法則

（1）負數的奇次塞是負數，負數的偶次塞是正數；

（2）正數的任何次幕都是正數；

（3）0的任何正整數次暴都是0.

【清單08】有理數混合運算

有理數的混合運算順序：①先乘方，再乘除，最后加減；②同級運算，從左到右進行；

③如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行.

【清單09】科學記數法

1.定義：把一個大于10的數表示成axlO"的形式（其中1W同＜10,〃是正整數），此種記法叫做科學記

數法.例如：200000=2xlO5.

2.科學記數法表示數的步驟

確定a—將雙數的小數也向九樣.使其禁數公，數

502457

方法I：限如:“收的

生上^三__收的不教（收,城1

---------------?小般也向左移昉的0h

方法2：根據小散也收盤向左“動5f

移助的仆盤笊前定

3.還原科學記數法表示的數

if4,，敷[.敢刃LI■

4.<I2x|(Fs4O2Ofl

「方0x10中二敵儀敷為"偵.蚪如.Lf

-

“、&叼'、^0114M1(，■-iKHifiI.

/用口料足Iif

*L方愎2：將ax]0"中0的小數戊1------------：--------1

向/>傳動n位小It太向右H4Mu

4.方法點撥：比較用科學記數法表示的兩個數大小的方法

兩數性質I比西〃,，2比較“

兩個正收?“大的仕大1〃杞上弱

兩個貨4t,，”大的我小?“’的.大

【清單10】近似數

1.準確數：與實際完全符合的數，稱為準確數.

2.近似數：許多實際情況中，較難取得準確數，把接近準確數但不等于準確數的數稱為近似數.

3.近似數的精確度：近似數的精確度是指近似數與準確數的接近程度.一般地，一個近似數四舍五入到哪

一位，就說這個近似數精確到哪一位.

近似數的精確度的表述方法：

(1)用數位表示，如精確到千位，精確到千分位等；

⑵用小數表示，如精確到0.1,精確到0.01等；

(3)對帶有單位的數用單位表示，如精確到1kg,精確到1m等.

4.取近似數的方法：通常用四舍五入法；特殊情況下使用去尾法、進一法.

盛型睛單

【考點題型一】有理數的運算

【例1】(22-23七年級上?山東濟寧?期中)現定義運算“*”：對于任意有理數a,b,滿足

=例如：5*3=2X5-3X3=1,則(2*3)-(4*3)的值為()

[3a-2b(a<b)

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】A

【分析】本題主要考查有理數的四則混合運算，直接利用新的運算法則將2*3和4*3,從而求出

(2*3)-(4*3),讀懂運算規則是解題的關鍵.

2a-3b(a>b)

【詳解】解：?；a*6=

3Q-2b(a<b)

.?.2*3=3x2—2x3=0,4*3=2x4—3x3=-1,

...(2*3)—(4*3)=。—(—1)=1.

故選：A.

【變式1-1](23-24七年級上?江蘇南通?期中)計算

14

(1)413.8+1-(-2.75)

⑵一3?2小，小2

【答案】(1)4

⑵-81

【分析】本題主要考查了有理數的混合運算：

(1)利用加法的交換律和結合律計算，即可求解；

(2)先計算乘方，再計算乘除，即可求解.

14

【詳解】(1)解：4--3.8+--(-2.75)

(2)解:-32x-2-

9

x(-2)x2

=—81.

【變式1-2](23-24七年級上?福建泉州?期中)計算:

(1)(-2)+(+3)-(-5)-(+4);

【答案】(1)2

【分析】本題考查了有理數的混合運算，注意計算的準確性即可.

(1)利用有理數的加減混合運算法則即可求解；

(2)利用有理數的乘除混合運算法則即可求解；

【詳解】(1)解：原式=-2+3+5-4

=2

~411

⑵解：原式

_4_

一一萬

【變式1-3](23-24七年級上?四川達州?期中)定義一種運算：族6=3”26+1,求[3※(-4)忤5

【答案】45

【分析】本題考查了有理數的混合運算，掌握運算法則是解本題的關鍵.

原式利用已知的新定義計算即可得到結果，注意運算順序.

【詳解】解：[3※(-4)怦5

=[3x32x(-4)+l]X5

=(9+8+1必5

=18X5

=3x18-2x5+1

=54-10+1

=45.

【變式1-4](22-23七年級上?浙江臺州?期中)小明同學在學習完有理數的運算后，對運算產生了濃厚的

興趣，她借助有理數的運算，定義了一種新運算“十”，運算規則為：a§b=axb-a-b.

⑴計算(-2)十2的值;

(2)填空:5十(-3)_(-3)十5(填“>”或“=”或“<”)；

⑶求(一3)十(4十;)的值.

【答案】(1)-4

⑵二

⑶13

【分析】本題主要考查了新定義運算、有理數四則混合運算等知識點，將新定義運算轉化成有理數四則混

合運算成為解題的關鍵；

(1)先運用新運算法則將原式轉化成有理數的混合運算，然后再計算即可；

(2)先分別根據新運算法則計算兩個代數式，然后比較即可；

(3)先運用新運算法則將原式轉化成有理數的混合運算，然后再計算即可.

【詳解】(1)解：(一2)十2=(-2)x2-(一2)-2=-4.

故答案為：-4.

(2)解：v50(-3)=5x(-3)-5-(-3)=-17,(-3)十5=(-3)x5-(-3)-5=-17,

???5十(―3)=(—3)十5.

故答案為：二.

(3)解：(-3)十(4十1

=(一3)十-

=----1-3H—

=13.

【考點題型二】有理數的運算的應用

【例2】(22-23七年級上?寧夏銀川?期中)某地一天最高氣溫13。4最低氣溫-5。。這天的溫差是

()℃.

C.-18D.-8

【答案】B

【分析】本題考查負數，有理數的知識，解題的關鍵是掌握溫差的定義，有理數的加減運算，即可.

【詳解】解：這天的溫差為13-(-5)=18(℃)

故選：B.

【變式2-1](22-23七年級上?貴州貴陽?期中)某市客運管理部門對“五一”黃金周假期五天的客流變化最

做了不完全統計，數據如下(用正數表示客流量比前一天上升數，用負數表示下降數)：

日期1日2日3日4日5日

變化/萬人20-2-593

與4月30日比，5月3日的客流量變化了多少()

A.下降了5萬人B.上升了13萬人

C.上升了21萬人D.下降了7萬人

【答案】B

【分析】本題考查有理數加法的實際應用，正負數的意義，將表格中前3天的數據求和后，進行判斷即

可.

【詳解】解：20-2-5=13,

??.與4月30日比，5月3日的客流量上升了13萬人；

故選B.

【變式2-2](23-24七年級上?遼寧鞍山?期中)一架直升機從高度為600米的位置開始，先以20米/秒的

速度垂直上升60秒，后以12米/秒的速度垂直下降100秒，這時飛機所在的高度是米.

【答案】600

【分析】本題考查正負數表示相反意義的量，有理數的運算，根據上升為正，下降為負，由題意進行有理

數加減運算即可.

【詳解】記上升為正，下降為負，則飛機高度為：

600+20x60+(-12)x100

=600+1200+(-1200)

=600(米).

故答案為：600

【變式2-3](22-23七年級上?寧夏銀川?期中)10筐蘋果，以每筐30千克為標準，超過的千克數記為正

數，不足的千克數記為負數，記錄如下：2,-4,2.5,1,-1,-0.5,3,-1,0,-2.5.問：平均每筐蘋果重多少？

【答案】平均每筐蘋果重29.95千克

【分析】本題考查了正數和負數，有理數四則運算的實際應用，利用有理數的加法得出與標準的差是解題

關鍵.根據有理數的加法，可得與標準的差，根據有理數的除法，可得平均數.

【詳解】解：30+[2+(-4)+2.5+1+(-1)+(-0.5)+3+(-1)+0+(-2.5)]^10

=30+(-0.05)

=29.95(千克)

答:平均每筐蘋果重29.95千克.

【變式2-4](23-24七年級上?四川達州?期中)某檢修小組乘一輛汽車沿檢修路約定向東走為正，某天從

/地出發到收工時行走記錄(單位：km):+15,—2,+5,—1,+10,—3,—2,+12,+4,—5,+6,

求：

(1)問收工時檢修小組在工,地的哪一邊，距工地多遠？

(2)若每千米汽車耗油3升，開工時儲存180升汽油，回到收工時中途是否需要加油？若加油，最少加多少

升？若不需要加油，到收工時還剩多少升汽油？

【答案】(1)收工時在A地的正東方向，距A地39km.

(2)故到收工時中途需要加油，加油量為15升.

【分析】解題關鍵是理解“正”和“負”的相對性，明確什么是一對具有相反意義的量.在一對具有相反意義

的量中，先規定其中一個為正，則另一個就用負表示.

(1)求出這幾個數的和，根據結果的符號確定方向，絕對值確定距離；

(2)計算行駛的總路程和耗油量，比較得出答案.

【詳解】(1)根據題意可得：向東走為“+”，向西走為“一”；

則收工時距離等于(+15)+(-2)+(+5)+(-1)+(+10)+(-3)+(-2)+(+12)+(+4)+(-5)+(+6)=+39.

故收工時在A地的正東方向，距A地39km.

(2)從A地出發到收工時，

汽車共走了|+15[+—2]+[+5]+|T+|+10[+|-3]+|-2|+|+12[+|+4]+[-5]+|+6]=65km；

從A地出發到收工時耗油量為65x3=195(升).

故到收工時中途需要加油，加油量為195-180=15升

【考點題型三】科學計數法

【例3】(23-24七年級上?云南曲靖?期中)連接海口、文昌兩市的跨海大橋，近日獲國家發改委批準建

設，該橋估計總投資1460000000.數據1460000000用科學記數法表示應是()

A.146xl07B.1.46xl09C.1.46xlO10D.0.146x10Kl

【答案】B

【分析】本題考查了科學記數法，科學記數法的表示形式為axlO"的形式，其中"為整數.確

定力的值時，要看把原來的數，變成。時，小數點移動了多少位，"的絕對值與小數點移動的位數相

同.當原數絕對值210時，"是正數；當原數的絕對值＜1時，"是負數，確定。與"的值是解題的關鍵.

【詳解】解：1460000000=1.46x109.

故選：B

【變式3-1](23-24七年級上?江蘇徐州?期中)高鐵深受市民喜愛，客流量逐年遞增，2023年，某地高鐵

客流量再創新高，日最高客流68300000人次，數字68300000用科學記數法表示為()

A.0.683xlO9B.6.83xl07C.68.3x10sD.68.3xlO7

【答案】B

【分析】此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為axlO"的形式，其中〃為

整數，表示時關鍵要正確確定。的值以及〃的值.

科學記數法的表示形式為axlO"的形式，其中10al<10,〃為整數.確定力的值時，要看把原數變成。

時，小數點移動了多少位，"的絕對值與小數點移動的位數相同.

【詳解】解：數字68300000用科學記數法表示為6.83x107.

故選：B

【變式3-2］（23-24七年級上?河南商丘?期中）在網絡上用“Baidu”搜索引擎搜索“中國夢”，能搜索到與之

相關的結果個數約為1030000,這個數用科學記數法表示為.

【答案】1.03xl06

【分析】本題主要考查了科學記數法，將數據表示成形式為ax10"的形式，其中〃為整數，正

確確定a、〃的值是解題的關鍵.

將1030000寫成axlO"其中〃為整數的形式即可.

【詳解】解：1030000=1.03x106.

故答案為L03xl（）6

【變式3-3］（23-24七年級上?遼寧丹東?期中）赤道半徑為6378200米，用科學記數法表示為一米.

【答案】6.3782xlO6

【分析】本題主要考查了科學記數法，解題的關鍵在于能夠熟練掌握科學記數法的定義.

科學記數法的表現形式為axlO”的形式，其中1<H<10,〃為整數，確定〃的值時，要看把原數變成。

時，小數點移動了多少位，〃的絕對值與小數點移動的位數相同，當原數絕對值大于等于10時，〃是正

數，當原數絕對值小于1時"是負數；由此進行求解即可得到答案.

【詳解】解:6378200=6.3782xlO6

故答案為：6.3782x10s

【變式3-4］（23-24七年級上?湖北鄂州?期中）太和鎮上洪村小瑩家今年種植的黃桃獲得大豐收.一位客

戶來買了10箱黃桃，小瑩幫助爸爸記賬，每箱黃桃的標準重量為10千克，超過標準重量的部分記為

“+"，不足標準重量的部分記為瑩瑩的記錄如下（單位：千克）：+0.05,+0,15,-0.05,+0.1,

—0.2,+0.3,—0.2,0,+0.05,—0.15.

（1）計算這10箱黃桃的總重量為多少千克？

（2）如果黃桃的價格為20元/千克，計算瑩瑩家出售這10箱黃桃共收入多少元？（精確到十位，用科學記

數法表示）

(3)若都用這種紙箱裝，瑩瑩家的黃桃共能裝500箱，按照20元/千克的價格，把黃桃全部出售，瑩瑩家大

約能收入多少元？(精確到萬位，用科學記數法表示)

【答案】(1)100.02千克

(2)2.00*1()3元

(3)1.0x105元

【分析】本題主要考查了有理數混合運算的應用；

(1)根據題意列出算式，進行計算即可；

(2)根據黃桃的價格為20元/千克，列出算式計算即可；

(3)根據瑩瑩家的黃桃共能裝500箱，按照20元/千克的價格，把黃桃全部出售，列式求出結果即可；

解題的關鍵是根據題意列出算式.

【詳解】(1)解：+0.05+0.15-0.05+0.1-0.2+0.3-0.2+0+0.05-0.15=0.05(千克)

10x10+0.05=100.05(千克)

???這10箱黃桃的總重量為100.05千克.

(2)解：20xl00.05=2001~2.00xl03(元)，

???瑩瑩家出售這10箱黃桃共收入大約2.00x103元.

(3)解：2001-10x500=100050-l.OxlO5(元)，

答：瑩瑩家大約能收入10x10'元.

【考點題型四】近似數

【例4】(23-24七年級上?廣東汕頭?期中)用四舍五入法得到的近似數0.270,其準確數。的范圍是

()

A.0.2695<?<0.2075B.0.265<a<0.275

C.0,27<a<0,28D.0.2695<a<0.2075

【答案】D

【分析】本題考查了近似數，熟練掌握近似數的確定方法是解題關鍵.近似數精確到哪一位，是對下一位

的數字進行四舍五入得到的，由于。的近似值為0.270,則由四舍五入近似可得。的取值范圍，即看萬分位

上的數.

【詳解】解：由題意得，當。滿足0.26954a<0.2075時,得到的近似數為0.270.

故選：D.

【變式4-1](22-23七年級上?浙江?期中)把。精確到十分位的近似數是23.6,貝ija的取值范圍是()

A.23,55<a<23.65B.23,55<<7<23,65

C.23.55<a<23,64D.23.54<a<23.65

【答案】B

【分析】本題考查了近似數和有效數字：經過四舍五入得到的數叫近似數；從一個近似數左邊第一個不為

0的數數起到這個數完為止，所有數字都叫這個數的有效數字.根據近似數的精確度求解.

【詳解】解：近似數x精確到十分位是236則x的取值范圍為23.55Wa<23.65.

故選：B

【變式4-2]（23-24七年級上?吉林?期中）用四舍五入法取近似值：23.618。（精確到百分位）.

【答案】23.62

【分析】本題考查近似數和有效數字：從一個數的左邊第一個不是0的數字起到末位數字止，所有的數字

都是這個數的有效數字.近似數與精確數的接近程度，可以用精確度表示.一般有，精確到哪一位，保留

幾個有效數字等說法.把千分上的數字8進行四舍五入即可.正確理解近似數和有效數字是解題的關鍵.

【詳解】解：用四舍五入法取近似值：23.618^23.62（精確到百分位）.

故答案為：23.62

【變式4-3]（22-23七年級上?河南平頂山?期中）8位裁判給一位運動員打分，每個人給的分數都是整

數，去掉一個最高分，再去掉一個最低分，其余得分的平均數為該運動員的得分.若用四舍五入取近似值

的方法精確到十分位，該運動員得8.3分，如果精確到百分位，該運動員得分應當是分.

【答案】8.33

【分析】本題考查平均數的計算及四舍五入取近似值的運用，讀懂題意，按要求逐步計算即可得到答案，

熟練掌握平均數的計算方法，理解四舍五入取近似值方法是解決問題的關鍵.

【詳解】解：設該運動員的實際得分為x,

用四舍五入取近似值的方法精確到一位小數能得到8.3,則8.25Wx<8.35,

8位裁判去掉最高和最低得分后，實際取值就是6個人的分數，

???該運動員的有效總得分為6x,其范圍是8.25x6=49,5<6x<50.1=8.35x6,

???每位裁判給的分數都是整數，則得分總和也是整數，

???在49.5和50.1之間只有50是整數,即該運動員的有效總得分是50分，則50+6。8.3333,精確到兩位

小數就是8.33,

故答案為：8.33

【變式4-4]（22-23七年級上?湖北武漢?期中）如圖，是一所住宅的建筑平面圖（圖中長度單位：m）

（1）用式子表示這所住宅的建筑面積；

⑵若武漢今年10月的房價均價約為16183元/n?,求當圖中的x=8時，住戶買此房產的總房價.（計算

結果四舍五入到萬位）

【答案】（l）/+2x+18,

（2）159萬元.

【分析】（1）把四個小長方形的面積合并起來即可；

（2）把x=8代入（1）中的代數式求得答案，再按要求取近似值即可.

【詳解】（1）解：住宅的建筑面積為：2x+尤2+3x2+3*4=/+2尤+18;

（2）當x=8時，

住宅的建筑面積有無2+2X+18=82+2X8+18=98.

.??住戶買此房產的總房價16183x98=1585934,159（萬元）.

【點睛】此題考查列代數式，求解代數式的值，近似數的含義，理解題意，利用面積公式列出代數式是解

決問題的關鍵.

【考點題型五】數形結合思想

【例5】（22-23七年級上?重慶?期中）數軸上°,6兩數如圖所示，則下面說法正確的是（）

---!-11A

b0a

A.Q+6V0B.a-b<0C.—<0D.ab>0

b

【答案】C

【分析】根據數軸可知：b<Q<a,且用<同，根據有理數的運算法則進行判斷即可.

【詳解】解：“〈Ova,且。|<同，

,?a+b>0,故A不正確，不符合題意；

故B不正確，不符合題意;

故C正確，符合題意；

b

.-.ab<0,故D不正確，不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題主要考查了根據數軸比較大小以及有理數的運算法則，解題的關鍵是熟練掌握兩數相乘

(除)，同號得正，異號得負；同號兩數相加，取它們相同的符號，并把絕對值相加，異號兩數相加，取

絕對值較大數的符號，并把絕對值相減；減去一個數等于加上它的相反數.

【變式5-1](22-23七年級上?福建泉州?期中)有理數0,6、c在數軸上所對應的點的位置如圖所示，有

下列四個結論：

①(a+b)(b+c)(什a)>0；@b<b2<-；③-加;(4)\a-b\-\c-a\+\b-c\-\a\=a.其中正確的

b

結論有()個.

abc

―II______________________I__________I_________I_______I____________

-101

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】根據數軸上各數的位置得出a<-l<O<b<c<l,依此即可得出結論.

【詳解】解：由數軸上。、氏c的位置關系可知：

①a<0<6<c,

■■■a+b<0,b+c>0,c+a<0,

；.(a+6)(b+c)(c+a)>0,故①正確；

②丫0<6<1,

.-.b2<b,b<-,

b

.-.b2<b<~,故②錯誤；

b

③1,1-be<1,

：.\a\>l-bc；故③錯誤；

④??,a<b,c>a,c>b,a<0,

：.a-b<0,c-a>0,b-c<0,

—b]一-+—c]—=6—Q—(c—Q)+(C—6)—(一〃)=b—ci—c-\-ct-\-c—b-\-ci=a.故TF確.

故正確的結論有①④，一共2個.

故選：c.

【點睛】本題考查了數軸、絕對值和有理數的大小比較，有理數的乘法法則，乘方運算等知識；弄清數軸

上各數的大小是解決問題的關鍵

【變式5-2］（22-23七年級上?江蘇揚州?階段練習）有理數a,6在數軸上表示如下圖：則下列結論正確的

有（填序號）.

①a+b>0,（2）a—b>0,③同<6,（4）—b>a,⑤<0,⑥a+6=-（同一碼）

------1-------1-?------------------?

a0b

【答案】④⑤⑥

【分析】由數軸可知a<0<6,且同>0|,再根據選項分別判斷即可.

【詳解】解：由數軸可知a<O<b,且同>。|,

???a+b<0,a-b<0,

故①②不正確；

???同〉問=b,

>b,

故③不正確；

,.?同〉網,

???-a>b,

???-b>a,

故④正確；

-a>b>0,

*<?—a+6〉0,

<0,

故⑤正確；

?.?一（時一網）=_（_Q-6）=Q+6,

???故⑥正確；

故答案為：④⑤⑥.

【點睛】本題考查數軸與有理數，熟練掌握數軸上點的特征，絕對值的性質，加減法的法則、乘除法的法

則是解題的關鍵

【變式5-3](23-24七年級上?山東臨沂?期中)一名外賣員騎電動車從飯店出發送外賣，向西走了2千米

到達小琪家，然后又向東走了4千米到達小莉家，繼續向東走了3.5千米到達小剛家，最后回到飯店.以

飯店為原點，以向東的方向為正方向，用一個單位長度表示1千米，點O,A,B,C分別表示飯店，小莉

家，小剛家，小琪家.

(1)請你在數軸上表示出點O,A,B,C的位置；

(2)小剛家距小琪家多遠？

(3)小琪步行到小剛家，每小時走4千米：小剛步行到小琪家，每小時走6千米，若兩個人同時分別從自己

家出發，則相遇時距離小莉家多遠.

【答案】(1)見解析

(2)小剛家距小琪家7.5千米

(3)兩個人相遇之時距小莉家1千米

【分析】本題考查了相反意義的量，兩點間的距離，有理數加減的運算應用.

(1)根據相反意義的量，結合距離描述在數軸上即可.

(2)根據題意，得％=-2,盯=2,馬=5.5,根據兩點間的距離公式計算即可.

(3)根據題意，得相遇時間為7.5+(4+6)=0.75(小時)，再計算小琪運動后的位置，再利用兩點間的距離

計算與/的距離即可.

【詳解】(1)根據題意，點。，A,B,C的位置如圖所示：

COAB

I'I.I■II1.1

-3-2-101234567

(2)根據題意，得％=-2,XA=2,XB=5.5,

BC=xB—xc=5.5—(—2)=7.5(千米)，

答：小剛家距小琪家7.5千米.

(3)?.,8C=XB-XC=5.5-(-2)=7.5千米，小琪步每小時走4千米：小剛每小時走6千米，

二兩人相遇時間為7.5+(4+6)=0.75(小時)，

???0.75x4=3(千米)，

???小琪相遇時的位置是一2+3=1(千米)，

1?1X/=2,

兩點間的距離是2-1=1(千米)，

故兩個人相遇之時距小莉家1千米

【變式5-4](22-23七年級上?陜西西安?期中)如圖一根木棒放在數軸上，數軸的1個單位長度為1cm,

木棒的左端與數軸上的點A重合，右端與點B重合.

,,II,,

064324

(1)若將木棒沿數軸向右水平移動，則當它的左端移動到點8時，它的右端在數軸上所對應的數為24,則

當它的右端移動到點/時，則它的左端在數軸上所對應的數為6,求木棒的長度；

(2)圖中點/所表示的數是_；

(3)由題(1)(2)的啟發，請你借助“數軸”這個工具幫助媛媛解決下列問題：

一天，媛媛去問曾當過數學老師現在退休在家的爺爺的年齡，爺爺說：“我若是你現在這么大，你還要40

年才出生；你若是我現在這么大，我已經125歲，哈哈！”，請問爺爺現在多少歲了？

【答案】(1)6厘米

⑵12

(3)70歲

【分析】(1)由數軸觀察知三根木棒長是24-6=18厘米，即可求出木棒的長度.

(2)根據木棒長度，將木棒沿數軸水平向左移動到/點時，則它右端在數軸上所對應的為木棒的長度即

可求出/所表示的數.

(3)在求爺爺的年齡時，借助數軸，把小紅與爺爺的年齡差看作木棒/以類似爺爺比小紅大時看作點/

移動到點8,此時8所對應的數為-40,小紅比爺爺大時看作3點移動到4點時，此時/點數為125,所以

可知爺爺比小紅大[125-(-40)[+3=55,可知爺爺的年齡.

【詳解】(1)由數軸觀察知三根木棒長是24-6=18厘米，則此木棒的長為：18+3=6厘米，

故答案為6厘米.

(2)因為木棒長6厘米，將木棒沿數軸向左水平運動，則當它的右端移動到/點時，則它的右端數軸上

所對應的數為12,

故答案為12.

(3)借助數軸，把小紅與爺爺的年齡看作42的長度，類似爺爺比小紅大時看作點”移動到點2,此時2

所對應的數為-40,小紅比爺爺大時看作2點移動到/點時，此時/點數為125,所以可知爺爺比小紅大

[125-(-40)]3=55,可知爺爺的年齡為125-55=70(歲)，

故爺爺的年齡為70歲.

【點睛】本題考查數軸的特點，解題的關鍵是把爺爺與小紅的年齡差看作一個整體（木棒/8）,然后把

此轉化為上一題的問題.

【考點題型六】分類討論思想

【例6】（22-23七年級上?山東聊城?期中）已知忖=5,回=2,且x+y<0,則的值等于（）

A.7和-7B.7C.-7D.以上答案都不對

【答案】D

【分析】此題主要考查了有理數的加減法以及絕對值正確掌握運算法則是解題關鍵；直接利用絕對值的性

質以及有理數的加法分類討論得出答案.

【詳解】:國=5,|引=2,且x+y<0,

x=-5/=-2或x=-5/=2,

??.％7=_3或—7,

故選：D

【變式6-1]（23-24七年級上?江蘇徐州?期中）對于有理數x,y,若孫<0,則放+/+4的值是

（）

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】B

【分析】本題考查絕對值的計算，正確確定x,y的正負號，求出絕對值后化簡是求解本題的關鍵.先判斷

絕對值里面的代數式的正負再計算.

【詳解】解：?.,孫<0,

??X,y異號.

當x>0,丁<0時，則占+友+上=-1+1-1=-1;

網同y

當x<0,y〉o時，貝!J呂+a+'=_i_i+i=T；

網國y

綜上，苫+吉+忸的值是-1.

故選:B.

【變式6-2]（23-24七年級上?江西南昌?期中）已知整數a,6滿足a=-4,。+6<0,。6<0,則

a_

~b~----------.

4

【答案】-4或-2或-§

【分析】本題主要查了有理數的加法，乘除運算.根據有理數的乘法可得6異號，從而得到b取正整

數，再根據有理數的加法運算可得b取1,2,3,即可求解.

【詳解】解：,.?仍<0,

'-a,b異號，

"=-4,a,b為整數，

??.b取正整數，

a+b<0,

.4取1,2,3,

@=-4或-2或--.

b3

_4

故答案為：-4或-2或一3

【變式6-3](23-24七年級上?山東濰坊?期中)如圖1,點A,B,C是數軸上從左到右排列的三個點，

分別對應的數為-7,b,2.某同學將刻度尺按如圖2所示的方式放置，使刻度尺上的數字0對齊數軸上

的點A,發現點B對齊刻度2.1cm,點C對齊刻度6.3cm.

A?H?C??

7b2

圖1

AB(

?T?.A

0Icm234567

圖2

⑴在圖1的數軸上，AC=個單位長度；在圖2中，AC=cm；數軸上的一個單位長度對應刻

度尺上的cm,在數軸上點B所對應的數6=.

(2)在圖2的數軸上標出下列數字：-3,0