四川省內江市2024-2025學年高三數學上學期其次次月考文科第Ⅰ卷選擇題（滿分60分）一、選擇題（每題5分，共60分）1.已知向量，，若，且，則實數（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據平面對量坐標的線性運算得得坐標，在依據向量垂直的坐標關系，即可得實數的值.【詳解】解：因為向量，，所以，又，所以，解得.故選：D.2.復數的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復數的除法運算化簡，即可得復數的虛部.【詳解】解：復數故的虛部為.故選：A．3.若集合，0，，，，則（）A. B. C.， D.，【答案】D【解析】【分析】把中元素代入中解析式求出的值，確定出，找出兩集合的交集即可．【詳解】解：把中，0，1代入中得：，1，即，，則，，故選：D．4.若變量、滿意約束條件，則目標函數取最大值時的最優解是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出滿意約束條件的可行域，平移直線，即可得出結果.【詳解】作出滿意約束條件的可行域（如圖中陰影部分所示）.可化為，平移直線，當其經過點時，目標函數取得最大值，聯立，解得，，故最優解是，故選：C.5.若a，b均為實數，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】依據函數與解不等式，即可推斷.【詳解】解：因為，由函數在上單調遞增得：又，由于函數在上單調遞增得：由“”是“”的充分不必要條件可得“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6.如圖是函數的圖象的一部分，則函數的解析式為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由圖象可確定最小正周期，由此可得；依據可求得；由可求得，由此可得.【詳解】由圖象可知：最小正周期，；又，，解得：，又，，，，，.故選：B.7.已知向量的夾角為，且，則向量在向量方向上的投影是（）A. B.3 C. D.1【答案】D【解析】【分析】由題意，依據數量積的運算，化簡等式，解得模長，結合投影的計算公式，可得答案.【詳解】由，，，，，，解得，所以向量在向量方向上的投影為，故選：D.8.蒙特卡洛算法是以概率和統計的理論、方法為基礎的一種計算方法，將所求解的問題同肯定的概率模型相聯系．用勻稱投點實現統計模擬和抽樣，以獲得問題的近似解，故又稱統計模擬法或統計試驗法，現設計一個試驗計算圓周率的近似值，向兩直角邊長分別為6和8的直角三角形中勻稱投點40個．落入其內切圓中的點有22個，則圓周率（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據幾何概型的計算公式和題意即可求出結果.【詳解】直角三角形內切圓的直徑等于兩直角邊的和與斜邊的差，即，由幾何概型得，從而.故選：B.9.雙碳，即碳達峰與碳中和的簡稱，2024年9月中國明確提出2030年實現“碳達峰”，2060年實現“碳中和”．為了實現這一目標，中國加大了電動汽車的探討與推廣，到2060年，純電動汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%，新型動力電池隨之也迎來了蓬勃發展的機遇．Peukert于1898年提出蓄電池的容量C（單位：A·h），放電時間t（單位：h）與放電電流I（單位：A）之間關系的閱歷公式，其中為Peukert常數．在電池容量不變的條件下，當放電電流時，放電時間，則當放電電流，放電時間為（）A.28h B.28.5h C.29h D.29.5h【答案】B【解析】【分析】依據題意求出蓄電池的容量C，再把代入，結合指數與對數的運算性質即可得解.【詳解】解：依據題意可得，則當時，，所以，即當放電電流，放電時間為28.5h.

故選：B.10.已知函數，則函數的零點個數為（）．A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】首先依據，得到或，然后利用導數分析時函數的單調性，結合單調性畫出函數的圖象，通過圖象即可視察出函數零點的個數.【詳解】由，得或.當時，，所以當，單調遞減；當，單調遞增，所以時，有微小值.又時，，畫出函數的圖象如圖所示，由圖可知：函數的零點個數為3.故選：B.11.已知是定義在R上的函數滿意，且滿意為奇函數，則下列說法肯定正確的是（）A.函數圖象關于直線對稱 B.函數的周期為2C.函數關于點中心對稱 D.【答案】D【解析】【分析】對于A.令代入即可推斷.對于C.可考慮圖像平移或者將換元進行推斷.對于BD.通過AB對稱軸和對稱中心即可推斷出函數周期，繼而計算出【詳解】因為函數關于直線對稱，不能確定是否關于直線對稱，A錯誤；因為為奇函數，所以，所以，所以，所以函數關于點中心對稱，故C錯誤;由與得，即，故，所以函數的周期為4，故B錯誤；，故D正確．故選:D12.已知關于的不等式有且僅有兩個正整數解（其中為自然對數的底數），則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】問題轉化為（）有且僅有兩個正整數解，探討、并構造、，利用導數探討單調性，進而數形結合列出不等式組求參數范圍.【詳解】當時，由，可得（），明顯當時，不等式在恒成立，不合題意；當時，令，則在上單調遞增，令，則，故上，上，∴在上遞增，在上遞減，又且趨向正無窮時趨向0，故，綜上，圖象如下：由圖知：要使有兩個正整數解，則，即，解得．故選：D【點睛】關鍵點點睛：問題轉化為（）有且僅有兩個正整數解，依據不等式兩邊的單調性及正整數解個數列不等式組求范圍.第Ⅱ卷非選擇題（滿分90分）二、填空題（每題5分，共20分）13.______．【答案】##【解析】【分析】利用指數冪與對數運算即可求解.【詳解】.故答案為：.14.曲線在點處的切線方程為________．（用一般式表示）【答案】【解析】【分析】利用導數的幾何意義即得.【詳解】由，得，所以切線的斜率為，所以所求的切線方程為，即.故答案為：.15.已知，則___________.【答案】##0.28【解析】分析】利用倍角余弦公式求得，由誘導公式，即可求值.【詳解】，而.故答案為：16.已知函數(ω>0)，若在上恰有兩個零點，且在上單調遞增，則ω的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】由在上恰有兩個零點，令，，可得，令，，可得f(x)在上單調遞增，從而有，聯立求解即可得答案.【詳解】解：由題意，令，，得x＝，，∴f(x)的第2個、第3個正零點分別為，，∴，解得，令，，∴，，令k＝0，f(x)在上單調遞增，∴，∴，解得，綜上，ω的取值范圍是.故答案為：.三、解答題（共70分）（一）必考題（共60分）17.在銳角中，內角所對的邊分別為，已知.（1）求角的大小；（2）求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結合，以及誘導公式、二倍角公式、正弦定理化簡原式，即得解；（2）利用正弦定理，協助角公式可化簡，結合的范圍即得解【小問1詳解】，，又為銳角【小問2詳解】由正弦定理，，由銳角，故故.18.已知等差數列的前n項和為，，．（1）求及；（2）若，求數列的前n項和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）設出等差數列的首項和公差，利用等差數列的通項公式、前項和公式得到關于首項和公差的方程組求出和，進而求出及；（2）利用（1）求出，再利用裂項抵消法進行求和.【小問1詳解】設等差數列的公差為d，則，解得，所以，．【小問2詳解】由（1）得：，，則，所以..19.已知.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若對恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用導數的幾何意義以及直線方程的點斜式即可求解.（2）分別參數，轉化成不等式恒成立問題，利用導數求最值即可.【小問1詳解】當時，，，，，所以切線方程為：，即.【小問2詳解】恒成立，即在上恒成立，設，，令，得，在上，，所以函數在上單調遞減，所以，，故有.20.2024年2月4日北京冬奧運會正式開幕，“冰墩墩”作為冬奧會的祥瑞物之一，受到各國運動員的“追捧”，成為新晉“網紅”，尤其在我國，廣闊網友紛紛提倡“一戶一墩”，為了了解人們對“冰墩墩”需求量，某電商平臺采納預售的方式，預售時間段為2024年2月5日至2024年2月20日，該電商平臺統計了2月5日至2月9日的相關數據，這5天的第x天到該電商平臺參加預售的人數y（單位：萬人）的數據如下表：日期2月5日2月6日2月7日2月8日2月9日第天12345人數（單位：萬人）4556646872（1）依據表中的統計數據，請推斷該電商平臺的第天與到該電商平臺參加預售的人數（單位：萬人）是否具有較高的線性相關程度？（參考：若，則線性相關程度一般，若，則線性相關程度較高，計算時精確度為）（2）求參加預售人數與預售的第天的線性回來方程；用樣本估計總體，請預料2024年2月20日該電商平臺的預售人數（單位：萬人）.參考數據：，附：相關系數【答案】（1）具有較高的線性相關程度（2），萬人【解析】【分析】（1）依據已知數據計算出相關系數可得；（2）由已知數據求出回來方程的系數得回來方程，然后在回來方程中令代入計算可得估計值．【小問1詳解】由表中數據可得，所以又所以所以該電商平臺的第天與到該電商平臺參加預售的人數（單位：萬人）具有較高的線性相關程度即可用線性回來模型擬合人數與天數之間的關系.【小問2詳解】由表中數據可得則所以令，可得（萬人）故預料2024年2月20日該電商平臺預售人數萬人21.已知（1）當時，求的單調性；（2）探討的零點個數．【答案】（1）在上單調遞減，在上單調遞增；（2）當，0個零點；當或，1個零點；，2個零點【解析】【分析】（1）求出函數的導函數，可得，令，利用導數說明的單調性，即可求出的單調區間；（2）依題意可得，令，則問題轉化為，，利用零點存在定理結合單調性可推斷方程的解的個數.【小問1詳解】解：因為，，所以，令，，所以在單增，且，當時，當時，所以當時，當時，所以在單調遞減，在單調遞增【小問2詳解】解：因為令，易知在上單調遞增，且，故零點轉化為即，，設，則，當時，無零點；當時，，故為上的增函數，而，，故在上有且只有一個零點；當時，若，則；，則；故，若，則，故在上有且只有一個零點；若，則，故在上無零點；若，則，此時，而，，設，，則，故在上為增函數，故即，故此時在上有且只有兩個不同的零點；綜上：當時，0個零點；當或時，1個零點；時，2個零點；【點睛】思路點睛：導數背景下的零點問題，留意利用零點存在定理結合函數單調性來探討.（二）選考題（10分）請考生在第22、23題中任選一題作答.假如多做，則按所做的第一題計分.選修4-4：坐標系與參數方程22.已知曲線的參數方程為（為參數），以直角坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．曲線的極坐標方程.（1）求的極坐標方程；（2）若曲線與曲線、曲線分別交于兩點A，B，點，求△PAB的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將的參數方程化為一般方程，再依據極坐標與直角坐標的轉化公式即可得答案;（2）聯立方程，分別求得點A，B的極坐標，依據三角形面積公式即可求得答案.【小問1詳解】由消去參數，得,因為，所以曲線的直角坐標方程為，因為，所以曲線的極坐標方程為；【小問2詳解】由得:，所