拋物線【九大題型】專練

?熱點(diǎn)題型歸納

【題型1拋物線的定義及其應(yīng)用】..............................................................3

【題型2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程】...................................................................4

【題型3拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程】.......................................................4

【題型4拋物線的軌跡方程】...................................................................5

【題型5拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離及最值】....................................................5

【題型6拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)和焦點(diǎn)距離的和、差最值】.........................................5

【題型7拋物線的焦半徑公式】.................................................................6

【題型8拋物線的幾何性質(zhì)】...................................................................6

【題型9拋物線中的三角形（四邊形）面積問題1.........................................................................7

?考情分析

1、拋物線

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計考情分析

2023年新高考I卷：第22題，

拋物線是圓錐曲線中的重要內(nèi)容，

12分

拋物線及其性質(zhì)是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問

（1）掌握拋物線的定義、幾2023年新高考I［卷：第10題，

題.從近幾年的高考情況來看，主要考查

何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程5分

拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、

⑵掌握拋物線的簡單幾2023年全國乙卷（文數(shù)）：

面積問題等內(nèi)容，在選擇、填空、解答

何性質(zhì)（范圍、對稱性、第13題，5分

題都可能出現(xiàn)，解題思路和解題步驟相

頂點(diǎn)、離心率）2023年北京卷：第6題，4分

對固定，強(qiáng)調(diào)通性通法，選擇、填空題

（3）了解拋物線的簡單應(yīng)2024年新高考n卷:第10題，

中難度不大，解答題中難度偏大，一般

用6分

以第一小問考查拋物線的方程或軌跡問

2024年北京卷：第11題，5

題，需要靈活求解.

分

?知識梳理

【知識點(diǎn)1拋物線及其性質(zhì)】

1.拋物線的定義

(1)定義：平面內(nèi)與一個定點(diǎn)廠和一條定直線/(/不經(jīng)過點(diǎn)乃的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作拋物線.點(diǎn)F叫

作拋物線的焦點(diǎn)，直線/叫作拋物線的準(zhǔn)線.

(2)集合語言表示

設(shè)點(diǎn)M(x,y)是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到直線/的距離為d,則拋物線就是點(diǎn)的集合P={M\\MF\=d}.

2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)

y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py[p>0)x2=-2py(p>0)

方程

1I1

-----/

圖形?一?1■

--------

)1AF〃X叭

頂點(diǎn)(0,0)(0,0)

軸對稱軸y=0對稱軸x=0

F(

焦點(diǎn)F(i°)。4)F(。，/)

_Pp

準(zhǔn)線X~2X=2y=-2y=2

離心率e=1e=l

開口開口向右開口向左開口向上開口向下

\MF\=x+^\MF\=-x+^\MF\=y+^\MF\=-y+%

焦半徑0000

范圍x>0x<0y>0底0

3.拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的差異

拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的差異：

①它們都是軸對稱圖形，但橢圓和雙曲線又是中心對稱圖形；

②頂點(diǎn)個數(shù)不同，橢圓有4個頂點(diǎn)，雙曲線有2個頂點(diǎn)，拋物線只有1個頂點(diǎn)；

③焦點(diǎn)個數(shù)不同，橢圓和雙曲線各有2個焦點(diǎn)，拋物線只有1個焦點(diǎn)；

④離心率取值范圍不同，橢圓的離心率范圍是雙曲線的離心率范圍是e>l,拋物線的離心率是

e=l；

⑤橢圓和雙曲線都有兩條準(zhǔn)線，而拋物線只有一條準(zhǔn)線；

⑥橢圓是封閉式曲線，雙曲線和拋物線都是非封閉式曲線.

【知識點(diǎn)2拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解方法】

1.拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解

待定系數(shù)法：求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開口方向，在方

程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個參數(shù)p,只需一個條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【知識點(diǎn)3拋物線的焦半徑公式】

1.焦半徑公式

設(shè)拋物線上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（死,%），焦點(diǎn)為F.

⑴拋物線：了2=2/(0>0),\PF\=x0+x0+^；

(2)拋物線：必=—2px(p>0),|PF|=x0—y=-x0+y；

(3)拋物線：無2=2勿5>0),\PF\=Vo+y=Vo+y；

(4)拋物線：x?=—2加(p>0),|PF|=Vo-y=—Vo+y.

注：在使用焦半徑公式時，首先要明確拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，不同的標(biāo)準(zhǔn)方程對應(yīng)于不同的焦半

徑公式.

【知識點(diǎn)4與拋物線有關(guān)的最值問題的解題策略】

1.與拋物線有關(guān)的最值問題的兩個轉(zhuǎn)化策略

（1）轉(zhuǎn)化策略一：將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”

“三角形兩邊之和大于第三邊”，使問題得以解決.

（2）轉(zhuǎn)化策略二：將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用”與直線上所有點(diǎn)的連線中

垂線段最短”原理解決.

【方法技巧與總結(jié)】

1.通徑：過焦點(diǎn)與對稱軸垂直的弦長等于2P

2.拋物線必=2Px（p>0）上一點(diǎn)尸（X。,為）到焦點(diǎn)尸（芻,0）的距離出產(chǎn)|=X。+§,也稱為拋物線的焦

半徑.

?舉一反三

【題型1拋物線的定義及其應(yīng)用】

【例1】（2024?貴州貴陽?二模）拋物線產(chǎn)=位上一點(diǎn)M與焦點(diǎn)間的距離是10,則M至次軸的距離是（）

A.4B.6C.7D.9

【變式1-1］（2024?河北?模擬預(yù)測）已知點(diǎn)P為平面內(nèi)一動點(diǎn)，設(shè)甲：P的運(yùn)動軌跡為拋物線，乙：P到平

面內(nèi)一定點(diǎn)的距離與到平面內(nèi)一定直線的距離相等，則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【變式1-2］（2024?北京大興?三模）已知拋物線產(chǎn)=4%的焦點(diǎn)為凡過尸且斜率為一1的直線與直線x=—

1交于點(diǎn)/，點(diǎn)〃在拋物線上，且滿足=則|MF|=（）

A.1B.V2C.2D.2V2

【變式1-3］（2024?福建莆田?模擬預(yù)測）若拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3,且C的開口朝左，則C的標(biāo)準(zhǔn)

方程為（）

A.y2——6xB.y2=6xC.y2——3xD.y2=3x

【題型2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程】

【例2】（2024?山東荷澤?模擬預(yù)測）已知點(diǎn)2（a,2）為拋物線久2=2py（p>0）上一點(diǎn)，且點(diǎn)2到拋物線的焦

點(diǎn)F的距離為3,貝加=（）

1

A.-B.1C.2D.4

【變式2-1］（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）過點(diǎn)（2,-3）,且焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

A.x2--3yB.x2=—C.x2=—|yD.x2--4y

【變式2-2］（2024?新疆?三模）已知拋物線y2=2px（p>0）上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離比到y(tǒng)軸的距離大

1,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.y2=xB.y2=2xC.y2=4%D.y2=8x

【變式2-3］（2024?寧夏石嘴山?三模）如圖，過拋物線丫2=2「式2〉0）的焦點(diǎn)廠的直線1交拋物線于兩點(diǎn)

/、B,交其準(zhǔn)線于C,4E與準(zhǔn)線垂直且垂足為E,若|BC|=2|BF|,|4E|=3,則此拋物線的方程為（）

B.y2=9x

D.y2—3%

【題型3拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程】

【例3】（2024?內(nèi)蒙古赤峰?二模）已知拋物線C的方程為％=——2,則此拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.（-4,0）B.C.（-2,0）D.（―馴

【變式3-1]（2024?黑龍江大慶?模擬預(yù)測）已知拋物線C:y=6刀2,貝i]c的準(zhǔn)線方程為（）

?3c31—1

A.y=一萬B.y=-C.y=一mD.y=-

【變式3-2]（2024?河南?三模）拋物線必=—28%的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.（0,-14）B.（0,-7）C.（-14,0）D.（-7,0）

【變式3-3]（2024?福建廈門?模擬預(yù)測）若拋物線產(chǎn)=爪X的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線/2的右焦點(diǎn)，財?的

值為（）

A.-4B.4C.-8D.8

【題型4拋物線的軌跡方程】

【例4】（2024?湖南衡陽?三模）已知點(diǎn)尸（2,0）,動圓P過點(diǎn)F,且與x=—2相切，記動圓圓心P點(diǎn)的軌跡為

曲線「，則曲線「的方程為（）

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=8%D.y2=12x

【變式4-1]（23-24高二上?北京延慶?期末）到定點(diǎn)F（l,0）的距離比到y(tǒng)軸的距離大1的動點(diǎn)且動點(diǎn)不在久軸

的負(fù)半軸的軌跡方程是（）

A.y2=8xB.y2=4xC.y2—2xD.y2—x

【變式4-21（23-24高二上?重慶?期末）已知點(diǎn)PQ,y）滿足J（x—l）2+產(chǎn)=\+i|,則點(diǎn)P的軌跡為（）

A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓

【變式4-3]（23-24高二上?寧夏石嘴山?階段練習(xí)）一個動圓與定圓邑（x+2）2+y2=1相內(nèi)切，且與定

直線/:%=3相切，則此動圓的圓心M的軌跡方程是（）

A.y2=8xB.y2=4xC.y2=—4xD.y2=—8%

【題型5拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離及最值】

【例5】（2024?全國?模擬預(yù)測）已知/是拋物線C：*=4%上的點(diǎn)，N（4,0）,則|4N|的最小值為（）

A.2B.2V2C.4D.2^3

【變式5-1］（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知P是拋物線y2=2久上的點(diǎn)，Q是圓Q—5）2+y2=i上的點(diǎn),

則|PQ|的最小值是（）

A.2B.2V2C.2V3D.3

【變式5-2］（2024?湖南益陽?三模）已知”是拋物線V=4x上一點(diǎn)，圓的:（久—+（y—2尸=1關(guān)于直線

y=x—1對稱的圓為心，N是圓C2上的一點(diǎn)，則|MN|的最小值為（）

A.2V2-1B.V2-1C.乎TD.1

【變式5-3］（2024?黑龍江齊齊哈爾?二模）已知拋物線=8x的焦點(diǎn)為F,M為C上的動點(diǎn)，N為圓4:聲+

y2+2x+8y+16=0上的動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為d,則|MN|+d的最小值為（）

A.1B.—C.—D.2

22

【題型6拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)和焦點(diǎn)距離的和、差最值】

【例6】（2024?四川成都?模擬預(yù)測）設(shè)點(diǎn)4（2,3）,動點(diǎn)尸在拋物線=4x上，記尸到直線x=—2的距離

為d,則|4P|+d的最小值為（）

A.1B.3C.V10-1D.V10+1

【變式6-1］（2024?湖南常德?一模）已知拋物線方程為:V=16x,焦點(diǎn)為尺圓的方程為（x—5）2+（y—1/

=1,設(shè)P為拋物線上的點(diǎn)，Q為圓上的一點(diǎn)，則|PF|+|PQ|的最小值為（）

A.6B.7C.8D.9

【變式6-2］（2024?全國?模擬預(yù)測）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F（l,0）,￡（-2,0）,M（2,2）,動點(diǎn)P滿

足線段尸￡的中點(diǎn)在曲線產(chǎn)=2%+2上，則|PM|+|PF|的最小值為（）

A.2B.3C.4D.5

【變式6-3］（2024?陜西西安?一模）設(shè)P為拋物線C：必=以上的動點(diǎn)，4（2,6）關(guān)于P的對稱點(diǎn)為8,記P到

直線x=—1、久=—4的距禺分別詢、G（2'則dj,+dz+的最小值為（）

A.V33+2B.2733+2C.V37+3D.2何+3

【題型7拋物線的焦半徑公式】

[例7](2024?青海西寧?一模)已知F是拋物線C:/=4y的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，且M的縱坐標(biāo)為3,則=

()

A.2V2B.2V3C.4D.6

【變式7-1](2024?河南?模擬預(yù)測)已知拋物線=2px(p>0)上的點(diǎn)(成2)到原點(diǎn)的距離為2魚，焦點(diǎn)

為F,準(zhǔn)線/與x軸的交點(diǎn)為過C上一點(diǎn)尸作尸于。，若4FPQ=可,則PF|=()

A.-B.-C.日D.―

【變式7-2](2024?新疆?三模)已知拋物線C：步=式的焦點(diǎn)為「在拋物線C上存在四個點(diǎn)尸，M,Q,

N,若弦PQ與弦MN的交點(diǎn)恰好為尸，且PQ1MN,則高+意=()

A.孝B.1C.V2D.2

【變式7-3](2024?北京西城?三模)點(diǎn)廠拋物線產(chǎn)=2%的焦點(diǎn)，A,B,C為拋物線上三點(diǎn)，若麗+而+

FC=0,^\\FA\+\FB\+\FC\=()

A.2B.2V3C.3D.4V3

【題型8拋物線的幾何性質(zhì)】

[例8](2024?重慶?模擬預(yù)測)48是拋物線y2=2Px(p>0)上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)廠是拋物線的焦點(diǎn)，且△。力8

的重心恰為尸，若[4F|=5,貝3=()

A.1B.2C.3D.4

【變式8-11(23-24高二下?福建廈門?期末)等邊三角形的一個頂點(diǎn)位于原點(diǎn)，另外兩個頂點(diǎn)在拋物線y2=2%

上，則這個等邊三角形的邊長為()

A.2B.2V3C.4D.4V3

【變式8-2](23-24高三下?北京?階段練習(xí))設(shè)拋物線C的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)E是C的準(zhǔn)線與C的對稱軸的交

點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，若"EF=30。，則sin/PFE=()

A.空B.C.乎D.日

【變式8-3](23-24高二下?重慶?階段練習(xí))已知x軸上一定點(diǎn)4(a,0)(a>0),和拋物線外=2Px(p>0)±

的一動點(diǎn)M,若|2M|>a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為()

A.(0,|]B.(0,p]C.(0,可D.(0,2p]

【題型9拋物線中的三角形（四邊形）面積問題】

【例9】（2024?江西新余?二模）已知點(diǎn)Q（2,—2）在拋物線C：y2=2px±,尸為拋物線的焦點(diǎn)，貝|△OQF

（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積是（）

A.1B.1C.2D.4

【變式9-1］（23-24高二上?廣東廣州?期末）已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為R直線/與C相

交于/、5兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)￡已知|AF|=5,\BF\=3,若△4EF的面積是△BEF面積的2倍，貝U

拋物線C的方程為（）

A.y2-2xB.y2=4xC.y2-6xD.y2=8x

【變式9-2］（23-24高二上?廣東廣州?期末）設(shè)F為拋物線產(chǎn)=4x的焦點(diǎn)，4B,C為該拋物線上不同的三點(diǎn),

且西+而+同=6,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△。凡4、△OFB、△OFC的面積分別為Si、S2、S3,則配+S號+S專

=（）

A.3B.4C.5D.6

【變式9-3］（23-24高二?全國?課后作業(yè)）已知拋物線C：必=8居點(diǎn)P為拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓

D：久2+產(chǎn)―4久+3=0作切線，切點(diǎn)分別為4B,則四邊形P4DB的面積的最小值為（）

A.1B.2C.V3D.V5

一、單選題

1.（2024?江西?模擬預(yù)測）若拋物線爐=8y上一點(diǎn)（久0，處）到焦點(diǎn)的距離是該點(diǎn)到x軸距離的2倍.則=

（）

3

A.|B.1C.-D.2

2.（2024?四川?模擬預(yù)測）已知拋物線。久2=8y的焦點(diǎn)為F,P是拋物線C上的一點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，|OP|=4

V3,則|PF|=（）

A.4B.6C.8D.10

3.（23-24高二下?甘肅白銀?期中）若圓C與無軸相切且與圓光2+儼=4外切，則圓C的圓心的軌跡方程為

（）

A.%2=4y+4B.x2=—4y+4

C.%2=4|y|+4D.x2=4y—4

4.（2024?北京海淀?三模）已知拋物線外=4x的焦點(diǎn)為尸、點(diǎn)〃在拋物線上，垂直〉軸于點(diǎn)N,若

=6,則△MNF的面積為（）

A.8B.4V5C.5V5D.10V5

5.（2024?西藏林芝?模擬預(yù)測）己知拋物線外=8x上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為山，到直線Z:4x—3y+12=0

的距離為d2,則di+d2的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

6.（2024?四川雅安?三模）已知過圓錐曲線的焦點(diǎn)且與焦點(diǎn)所在的對稱軸垂直的弦被稱為該圓錐曲線的通

徑，清代數(shù)學(xué)家明安圖在《割圓密率捷法》中，也稱圓的直徑為通徑.已知圓。一2）2+（y+l）2=4的一條

直徑與拋物線/=2py（p>0）的通徑恰好構(gòu)成一個正方形的一組鄰邊，貝lip=（）

1

A.-B.1C.2D.4

7.（2024?山西運(yùn)城?三模）已知拋物線。鏟=4x的焦點(diǎn)為F,動點(diǎn)M在C上，點(diǎn)B與點(diǎn)力（1,-2）關(guān)于直線

=對稱，則盟■的最小值為（）

A.孝B.|C.D.|

8.（2024?江西九江?二模）己知拋物線C:外=2px過點(diǎn)力（1,2）,F為C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

則（）

A.C的準(zhǔn)線方程為久=—2

B.△AF。的面積為1

C.不存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到C的焦點(diǎn)的距離為2

D.存在點(diǎn)P,使得△POF為等邊三角形

二、多選題

9.（2024?湖南長沙?二模）已知拋物線C與拋物線產(chǎn)=4x關(guān)于y軸對稱，則下列說法正確的是（）

A.拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（-1,0）

B.拋物線C關(guān)于y軸對稱

C.拋物線C的準(zhǔn)線方程為久=1

D,拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4

10.（2024?湖北襄陽?二模）拋物線ON=2py的焦點(diǎn)為F,P為其上一動點(diǎn)，當(dāng)P運(yùn)動到。1）時，\PF\=2,

直線I與拋物線相交于4