2024-2025學年高二上學期期末數學試卷（提高篇）【人教A版（2019）】（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上；2.回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效；3.回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效；4.測試范圍：選擇性必修第一冊全冊、選擇性必修第二冊全冊；5.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．（5分）（23-24高二上·浙江寧波·期末）已知正四面體ABCD的棱長為2，E是BC的中點，F在AC上，且AF=2FC，則AE?A．?53 B．?23 2．（5分）（23-24高二上·福建龍巖·期末）已知O為坐標原點，P是直線l:x?y+3=0上一動點，Q是圓C:(x?2)2+A．17?1 B．17+1 C．29?13．（5分）（23-24高二上·山東青島·期末）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，原文如下：今有物不知其數，三三數之剩二(除以3余2)，五五數之剩三(除以5余3)，七七數之剩二(除以7余2)，問物幾何?現有這樣一個相關的問題：已知正整數p滿足三三數之剩二，將符合條件的所有正整數p按照從小到大的順序排成一列，構成數列an，記數列an的前n項和為Sn，則SA．172 B．192 C．10 4．（5分）（23-24高二上·河南開封·期末）設a=ln1.2e，b=e0.2，c=1.2，則a、bA．a<c<b B．c<b<a C．c<a<b D．a<b<c5．（5分）（23-24高二上·山東青島·期末）已知橢圓C:x23+y2=1的左右焦點分別為F1,F2，直線y=x?A．3 B．2 C．3 D．26．（5分）（23-24高二上·江蘇南京·期末）設fx是定義在R上的奇函數，f2=0，當x>0時，有xf′A．?2,0∪0,+∞C．?∞,?2∪7．（5分）（23-24高二上·貴州黔南·期末）已知點F1，F2分別為雙曲線C：x24?y2b2=1（b>0）的左、右焦點，點F1到漸近線的距離為2，過點F2的直線A．△AFB．雙曲線C的離心率為2C．AD．18．（5分）（23-24高二上·北京順義·期末）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1DA．直線AE與B1DB．直線D1E與平面AC．二面角E?AD．直線AE與平面BB二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．（6分）（23-24高二上·江西九江·期末）已知正方體ABCD?A1B1C1DA．三棱錐A?EFG的體積為1B．直線A1C⊥C．異面直線EG與AC1D．過點E,F,G作正方體的截面，所得截面的面積是210．（6分）（23-24高二上·河北秦皇島·期末）已知函數f(x)=ex?ax(a∈R)A．當a=2時，f(x)在(?∞B．當a=e時，f(x)≥0在RC．存在a<0，使得f(x)在(?∞D．對任意的a>0，f(x)有唯一的極小值11．（6分）（23-24高二上·江蘇南通·期末）已知A0,4，B?3,0，點P的軌跡方程為x2A．點P的軌跡為雙曲線的一支 B．直線x+y=0上存在滿足題意的點PC．滿足PA=83的點P共有2個 D．第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）（23-24高二上·四川眉山·期末）已知公差不為零的等差數列an滿足a5=10，且a1，a3，a9成等比數列．設Sn為數列an的前n項和，則數列13．（5分）（23-24高二上·寧夏銀川·期末）若函數fx=ae2x+a?2e14．（5分）（23-24高二上·北京西城·期末）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，①存在符合條件的點F，使得B1F//②不存在符合條件的點F，使得BF⊥DE；③異面直線A1D與EC④三棱錐F?A1DE其中所有正確結論的序號是.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．（13分）（23-24高二下·內蒙古赤峰·期末）已知點A12,32為圓C上的一點，圓心C坐標為1,0，且過點A的直線l(1)求圓C的方程；(2)求直線l的方程.16．（15分）（23-24高二上·江西南昌·期末）已知平行四邊形ABCD如圖甲，∠D=60°，DC=2AD=2，沿AC將△ADC折起，使點D到達點P位置，且PC⊥BC，連接PB得三棱錐(1)證明；PA⊥平面ABC；(2)在線段PC上是否存在點M，使二面角M?AB?C的余弦值為1313，若存在，求出|PM|17．（15分）（23-24高二上·河南漯河·期末）動點M在y軸的右側，M到y軸的距離比它到點1,0的距離小1.(1)求動點M的軌跡E的方程；(2)已知點P2,0，過1,0的直線與E交于A?B兩點，AP,BP分別與E①求證：直線CD過定點；②求△PAB與△PCD面積之和的最小值.18．（17分）（23-24高二上·浙江溫州·期末）設函數fx(1)若曲線y=fx在點0,f0處的切線方程為y?3x+b=0，求a，(2)若當x>0時，恒有fx>?x?2，求實數(3)設n∈N*時，求證：19．（17分）（23-24高二上·上海·期末）已知數列ann∈N?，若an(1)若數列an具有性質P，且a1=a2(2)若bn=2n+(3)設c1+c2+?+cn=n2+n，數列dn具有性質2024-2025學年高二上學期期末數學試卷（提高篇）參考答案與試題解析第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．（5分）（23-24高二上·浙江寧波·期末）已知正四面體ABCD的棱長為2，E是BC的中點，F在AC上，且AF=2FC，則AE?A．?53 B．?23 【解題思路】先將AE,DF分別用【解答過程】由正四面體ABCD，得∠BAC=∠BAD=∠CAD=60°，則AB?由E是BC的中點，得AE=由AF=2FC，得則DF=所以AE==1故選：C.2．（5分）（23-24高二上·福建龍巖·期末）已知O為坐標原點，P是直線l:x?y+3=0上一動點，Q是圓C:(x?2)2+A．17?1 B．17+1 C．29?1【解題思路】首先畫出圖形，找出點O關于直線l的對稱點，結合三角形三邊關系即可求解.【解答過程】如圖所示：設點Tm,n與點O0,0關于直線則m2?n2+3=0所以|OP|+|PQ|=|TP|+|PQ|≥TQ其中C2,1,r=1分別為圓等號成立當且僅當P,Q分別與R,S重合，其中R,S分別為線段TC與直線l和圓C的交點，綜上所述，|OP|+|PQ|的最小值為|OP|+|PQ|min故選：C.3．（5分）（23-24高二上·山東青島·期末）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，原文如下：今有物不知其數，三三數之剩二(除以3余2)，五五數之剩三(除以5余3)，七七數之剩二(除以7余2)，問物幾何?現有這樣一個相關的問題：已知正整數p滿足三三數之剩二，將符合條件的所有正整數p按照從小到大的順序排成一列，構成數列an，記數列an的前n項和為Sn，則SA．172 B．192 C．10 【解題思路】由題意可分析出數列an是首項為2，公差為3的等差數列，利用等差數列的前n項和公式化簡S【解答過程】解：被3除余2的正整數按照從小到大的順序所構成的數列是一個首項為2，公差為3的等差數列an所以an所以Sn由對勾函數的性質可得：函數f(x)=32x+72+6所以Sn+a故選：B.4．（5分）（23-24高二上·河南開封·期末）設a=ln1.2e，b=e0.2，c=1.2，則a、bA．a<c<b B．c<b<a C．c<a<b D．a<b<c【解題思路】利用函數fx=x?lnx?1在1,+∞上的單調性可得出a、c的大小關系，利用函數gx=ex?1?x在1,+∞【解答過程】令fx=x?ln當x>1時，f′x>0，則f即1.2>ln1.2+1=ln令gx=ex?1?x，則g′x所以g1.2=e0.2?1.2>g綜上所述，a<c<b．故選：A．5．（5分）（23-24高二上·山東青島·期末）已知橢圓C:x23+y2=1的左右焦點分別為F1,F2，直線y=x?A．3 B．2 C．3 D．2【解題思路】將所求面積比轉化為d1【解答過程】根據題意可得a=3,b=1,c=2又直線y=x?23可化為設F1,F2到直線為則S△故選：B.6．（5分）（23-24高二上·江蘇南京·期末）設fx是定義在R上的奇函數，f2=0，當x>0時，有xf′A．?2,0∪0,+∞C．?∞,?2∪【解題思路】設函數gx=fxx【解答過程】設函數gx=fxx求導得g′因為當x>0時，有xf′x所以gx在0,+且f2=0，可知當x>2時，gx<g2=0；當又因為fx是定義在R則g?x=f可得：當x<?2時，gx<0；當?2<x<0時，所以不等式gx>0解集為注意到不等式xfx>0等價于所以不等式xfx>0解集為故選：B.7．（5分）（23-24高二上·貴州黔南·期末）已知點F1，F2分別為雙曲線C：x24?y2b2=1（b>0）的左、右焦點，點F1到漸近線的距離為2，過點F2的直線A．△AFB．雙曲線C的離心率為2C．AD．1【解題思路】利用已知條件求出b的值，對于A：利用勾股定理結合雙曲線的定義求出△AF1F2的面積；對于B：利用雙曲線的離心率公式運算求解；對于C：先求|AF【解答過程】設雙曲線C的半焦距為c>0，因為雙曲線C的焦點在x軸上，且a=2，則其中一條漸近線方程為y=b2x，即bx?2y=0則F1到漸近線的距離為|?bc|4+b對于A：因為|AF2|?|A可得(|AF2|?|A所以△AF1F對于B：雙曲線C的離心率為e=c對于C：因為|AF2|?|A所以AF對于D：設|BF2|=m因為|BF1|2=|AB所以1|A故選：D．8．（5分）（23-24高二上·北京順義·期末）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1DA．直線AE與B1DB．直線D1E與平面AC．二面角E?AD．直線AE與平面BB【解題思路】建立適當的空間直角坐標系，對于A，由直線方向向量夾角余弦的范圍即可判斷；對于B，由線面角正弦值的公式即可判斷；對于C，由兩平面的法向量夾角余弦即可判斷；對于D，由AE?【解答過程】以D為原點，DA,DC,DD1分別為不妨設正方體棱長為1，E0,a,0對于A，A1,0,0不妨設直線AE與B1D1所以cosθ=當a增大時，1?a>0,2a2+1>0所以cosθ=1?a2對于B，由題意D1E=0,a,?1，且顯然平面不妨設直線D1E與平面A1則sinα=cosn所以sinαmax=對于C，E0,a,0所以A1不妨設平面EA1B1與平面所以有y1=0?x1+ay即取平面EA1B1與平面二面角E?A1B則cosθ=所以二面角E?A1B對于D，AE=所以AE?所以AE與BE不垂直，所以直線AE與平面BB故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．（6分）（23-24高二上·江西九江·期末）已知正方體ABCD?A1B1C1DA．三棱錐A?EFG的體積為1B．直線A1C⊥C．異面直線EG與AC1D．過點E,F,G作正方體的截面，所得截面的面積是2【解題思路】A選項按照錐體體積計算即可；BC選項通過建立空間坐標系，利用空間向量判斷；D選項先判斷出截面，再計算面積即可.【解答過程】對于A，在正方體ABCD?A1B所以G到底面ABCD的距離等價于B1到底面ABCD的距離，即B所以VA?EFG對于B，以DA為x軸，DC為y軸，DD1為則C0,2,0，A12,0,2，E1,0,0，F2,1,0則A1C=?2,2,?2，故A1C?EF=0，A則A1C⊥平面對于C，EF=1,1,0，則cosEF對于D，作C1D1中點N，BB1的中點M，DD1的中點T，連接GN，GM則正六邊形EFMGNT為對應截面面積，正六邊形邊長為2，則截面面積為S=6×3故選：AB.10．（6分）（23-24高二上·河北秦皇島·期末）已知函數f(x)=ex?ax(a∈R)A．當a=2時，f(x)在(?∞B．當a=e時，f(x)≥0在RC．存在a<0，使得f(x)在(?∞D．對任意的a>0，f(x)有唯一的極小值【解題思路】根據給定條件，利用導數判斷單調性，結合零點存在性定理逐項判斷即得.【解答過程】對于A，當a=2時，f(x)=ex?2x，求導得f得x<ln2，則f(x)在對于B，當a=e時，f(x)=ex?ex，求導得由f′(x)>0，得x>1，則f(x)在(?∞,1)上遞減，在對于C，當a<0時，f(x)=ex?ax，f′(x)=又f(0)=1，f(1a)=e1對于D，當a>0時，f(x)=ex?ax，由f′(x)=ex則f(x)在(?∞,lna)上遞減，在故選：BD.11．（6分）（23-24高二上·江蘇南通·期末）已知A0,4，B?3,0，點P的軌跡方程為x2A．點P的軌跡為雙曲線的一支 B．直線x+y=0上存在滿足題意的點PC．滿足PA=83的點P共有2個 D．【解題思路】由題意可得點P的軌跡方程為x+32+y2?【解答過程】因為點P的軌跡方程為x2即x+32設F1則PF所以點P的軌跡是以F1,F所以2a=4,2c=6，故a=2,c=3,b所以P的軌跡方程為x2聯立x24?y2所以直線x+y=0上存在滿足題意的點P，故B正確；雙曲線x24?則點A0,4到漸近線y=52所以滿足PA=83因為B?3,0即左焦點F而AB=因為PF1?所以△PAB的周長為AB=5+AP當且僅當A,P,F所以△PAB的周長的取值范圍是14,+∞故選：ABD.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）（23-24高二上·四川眉山·期末）已知公差不為零的等差數列an滿足a5=10，且a1，a3，a9成等比數列．設Sn為數列an的前n項和，則數列1S【解題思路】設公差為d，由題意可得a1+2d2=a1a1+8d，a5=【解答過程】設公差為d，由a32=化簡得d2=a1d又因為a5=所以an所以Sn所以1S所以數列1Sn的前n項和Tn故答案為：nn+113．（5分）（23-24高二上·寧夏銀川·期末）若函數fx=ae2x+a?2e【解題思路】求導，先根據函數不能使單調函數排除a≤0，再當a>0時，求出函數的極小值，令極小值小于零即可求出a的取值范圍.【解答過程】由fxf′當a≤0時，f′x<0，f當a>0時，當f′x<0時，x<?lna即fx在?∞,?則f?整理得lna?設ga=ln故ga在0,+∞上單調遞增，又所以0<a<1，又f?1所以fx在?1,?取x0則f=e因為ln3所以fx在?即0<a<1時，函數fx下面補充證明：ex設gx=e當x>0時g′x>0，gx單調遞增，當x<0時所以gx所以ex故答案為：0,1.14．（5分）（23-24高二上·北京西城·期末）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，①存在符合條件的點F，使得B1F//②不存在符合條件的點F，使得BF⊥DE；③異面直線A1D與EC④三棱錐F?A1DE其中所有正確結論的序號是①②④.【解題思路】利用線面平行的判定定理可知當F與C點重合時，能滿足B1F//平面A1ED，即①正確；建立空間坐標系，假設存在符合條件的點F2,2,t并利用垂直的向量表示可得t=4，不滿足題意，即②正確；利用空間向量可求得異面直線A1D與EC1所成角的余弦值為1010【解答過程】對于①，易知B1C//A1D，B1所以可得B1C//又F為棱CC1（含端點）上的一個動點，當F與C點重合時，能滿足B1對于②，以A為坐標原點建立如下圖所示的空間直角坐標系，則B2,0,0,D0,2,0,E2,0,1則易知BF=由BF⊥DE可得BF?DE=?4+t=0所以不存在符合條件的點F，使得BF⊥DE，即②正確；對于③，易知A10,0,2,所以cosA即異面直線A1D與EC對于④，易知A1由余弦定理可得cos∠EA1所以△A1DE設平面A1DE的一個法向量為由DE=2,?2,1,令y=2，則x=1,z=2，即n=又DF=2,0,t，所以點F到平面A1由t∈0,2可得可得三棱錐F?A1DE因此可得三棱錐F?A1DE故答案為：①②④.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．（13分）（23-24高二下·內蒙古赤峰·期末）已知點A12,32為圓C上的一點，圓心C坐標為1,0，且過點A的直線l(1)求圓C的方程；(2)求直線l的方程.【解題思路】（1）根據題意求出r=CA（2）根據已知條件求出圓心C到直線l的距離，然后分直線l的斜率不存在和直線l的斜率存在兩種情況討論求解即可.【解答過程】（1）設圓C的半徑為r，則r=12?1則圓C的方程為：(x?1)2（2）因為圓C的半徑為1，所以當直線l與圓相交所得的弦長為3時，圓心C到直線l的距離為12當直線l的斜率不存在時，直線l:x=12，此時圓心C到直線l的距離為當直線l的斜率存在時，設直線l:y?32=k則2k+0+3?k(2k)代入①得：x+綜上，直線l的方程為x=12或16．（15分）（23-24高二上·江西南昌·期末）已知平行四邊形ABCD如圖甲，∠D=60°，DC=2AD=2，沿AC將△ADC折起，使點D到達點P位置，且PC⊥BC，連接PB得三棱錐(1)證明；PA⊥平面ABC；(2)在線段PC上是否存在點M，使二面角M?AB?C的余弦值為1313，若存在，求出|PM|【解題思路】（1）推導出PA⊥AC，證明出BC⊥平面PAB，可得出PA⊥BC，利用線面垂直的判定定理可證得結論成立；（2）以點A為坐標原點，BC、AC、AP的方向分別為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標系，設PM=λPC，其中0≤λ≤1，利用空間向量法可得出關于λ的等式，結合0≤λ≤1求出【解答過程】（1）證明：翻折前，因為四邊形ABCD為平行四邊形，∠D=60°，則因為DC=2AD=2，則AB=DC=2，BC=AD=1，由余弦定理可得AC所以，AC2+BC2翻折后，則有BC⊥AC，PA⊥AC，因為PC⊥BC，AC∩PC=C，AC、PC?平面PAC，所以，BC⊥平面PAC，因為PA?平面PAC，則PA⊥BC，因為AC∩BC=C，AC、BC?平面ABC，所以，PA⊥平面ABC，（2）因為PA⊥平面ABC，BC⊥AC，以點A為坐標原點，BC、AC、AP的方向分別為x、y、z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則A0,0,0、P0,0,1、設PM=λPC=λ則AM=AP+設平面ABM的法向量為m=則m?AB=?x+3y=0m?所以，m=易知平面ABC的一個法向量為n=則cosm,n因為0≤λ≤1，解得λ=1因此，線段PC上存在點M，使二面角M?AB?C的余弦值為1313，且PM17．（15分）（23-24高二上·河南漯河·期末）動點M在y軸的右側，M到y軸的距離比它到點1,0的距離小1.(1)求動點M的軌跡E的方程；(2)已知點P2,0，過1,0的直線與E交于A?B兩點，AP,BP分別與E①求證：直線CD過定點；②求△PAB與△PCD面積之和的最小值.【解題思路】（1）利用幾何意義轉化為坐標運算，即可得拋物線方程；（2）①利用直線過x軸上的已知點，與拋物線聯立方程組的兩個交點縱坐標之積為定值，再假設直線CD方程，再利用兩交點縱坐標之積為定值，得到定點坐標；②求這兩個三角形的面積時，都只需要用到它們的縱坐標，然后都轉化到A?B兩點的縱坐標上來，再利用韋達定理把面積轉化到關于系數【解答過程】（1）設動點M的坐標為x,y，由動點M在y軸的右側，M到y軸的距離比它到點1,0的距離小1，可得：x=x?12+整理得：y2所以動點M的軌跡E的方程為y2（2）①設過點F1,0的直線為my=x?1，與拋物線y消x得：y2?4my?4=0，再設交點坐標Ax設過點P2,0的直線AP為ty=x?2，與拋物線y消x得：y2?4ty?8=0，再設交點坐標Ax設過點P2,0的直線BP為sy=x?2，與拋物線y消x得：y2?4sy?8=0，再設交點坐標Bx設直線CD為ay=x?b，與拋物線y2消x得：y2?4ay?4b=0，由交點坐標Cx而y3y4=y所以直線CD為ay=x?4，即直線CD過定點4,0；②△PAB與△PCD面積之和為1=1當m=0時，即AB垂直于x軸時，面積之和取到最小