第10講函數(shù)的方程與零點

（6類核心考點精講精練）

12.考情探究

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析

函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍，已知方程求雙曲

2024年天津卷，第15題,5分

線的漸近線

2023年天津卷，第15題,5分根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍

2022年天津卷，第15題,5分根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍，根據(jù)二次函數(shù)零點的分布求參數(shù)的范圍

2021年天津卷，第9題,5分根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍

2020年天津卷，第9題,5分函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題靈活，難度較高，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握函數(shù)的零點，能夠理解函數(shù)的方程，函數(shù)的零點與交代你的含義

2.能掌握函數(shù)圖像與性質(zhì)

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識，會借助函數(shù)圖像解決零點問題

4.理解并掌握二分法思想，會用零點的存在性定理判斷零點的個數(shù)

【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般難度系數(shù)較高，通常為判斷零點的個數(shù)，或者已知

零點個數(shù)求取值范圍。

「卜?考點梳理，

.函數(shù)零點概念

1考點四、函數(shù)零點及零點個數(shù)

2.零點存在性定理

廠知識占一零點J3.零點存在唯一性定理考點五、復合函數(shù)的零點

4.函數(shù)零點、方程的根與函數(shù)圖像的關(guān)系考點六、二分法的應(yīng)用

5.二次函數(shù)的零點{

函數(shù)的方程與零點I

1?函數(shù)的圖像考點一、

函數(shù)圖像的識別

2.描點法作圖<考點二函、數(shù)的圖像變換

{3.圖象變換考點三、由函數(shù)圖象確定解析式

知識講解

知識點一.零點

1.函數(shù)零點概念

對函數(shù)y=/(%),把使=0的實數(shù)％叫做函數(shù)y=/(%)的零點

2.零點存在性定理：

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,加上的圖象是連續(xù)不斷一條曲線，并且有/(a)/(b)<Of,那么，函數(shù)y=/(%)在

區(qū)間(。,6)內(nèi)有零點.即存在此(口方)，使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根.

3.零點存在唯一性定理：

如果函數(shù)y=/(久)在區(qū)間a,0上的圖象是連續(xù)不斷一條曲線，并且有f(a)f(6)<0,且在［a,加上單調(diào)，那么

函數(shù)y=/(久)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有唯一的零點.即存在唯一的ce(a,b),使得/(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0

的根.

4.函數(shù)零點、方程的根與函數(shù)圖像的關(guān)系

函數(shù)y=F(x)=f(x)-gQ)有零點

方程F(x)=f(x)-g(x)=0有實數(shù)根=>函數(shù)乃=/(%),y2=g(x)圖像有交點

求函數(shù)y=/(久)零點的方法：

①直接解方程f(%)=0；

②利用圖象求其與x軸的交點(交點的橫坐標即是零點)；

③將方程外行=0變?yōu)閮蓚€函數(shù)，通過圖象看它們的交點情況(同時可以知道零點的個數(shù))；

④可通過二分法求函數(shù)的零點的近似值.

5.二次函數(shù)的零點：

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a豐0)

(l)A>0,方程a/+版+c=0有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點

(2)△=0,方程a/+6%+c=0有兩相等實根，二次函數(shù)的圖象與x軸有一個交點，二次函數(shù)有一個零點.

(3)△<0,方程a/+bx+c=0無實根，二次函數(shù)的圖象與x軸無交點，二次函數(shù)無零點

知識點二.函數(shù)的圖象

1.函數(shù)的圖像

將自變量的一個值與作為橫坐標，相應(yīng)的函數(shù)值/(而)作為縱坐標，就得到了坐標平面上的一個點的坐標，

當自變量取遍定義域A內(nèi)的每一個值時，就得到一系列這樣的點，所有這些點組成的集合(點集)用符號表述為

{(x，y)ly=f(x),x^A],所有這些點組成的圖形就是函數(shù)的圖象.

2.描點法作圖

方法步驟:

(1)確定函數(shù)的定義域；

⑵化簡函數(shù)的解析式；

(3)討論函數(shù)的性質(zhì)即奇偶性、周期性、單調(diào)性、最值(甚至變化趨勢);

(4)描點連線，畫出函數(shù)的圖象.

3.圖象變換

(1)平移變換

(2)對稱變換y=f(x)+k

G=、關(guān)于x軸對稱“、

①y=f(x)---------->y=-/(x)；上碇>0)

移個單位

?-、關(guān)于y軸對稱f、左移右移

②y=f(x)---------->y=/-(x)y=f(x+h)*y=/(x)y=f(x-h)

〃個單位九個單位

自，,、關(guān)于原點對稱乙、(h>0)下碗>0)(h>0)

③y=fO)---------->y=-/(-x)；移個單位

④>=〃(a>0J!L存1)關(guān):)~x對鄧y=]og/a>o且存1)y=f(x)-k

(3)伸縮變換

橫坐標伸長到原來的!倍得y=f(a)x)(0<?<1)

①把函數(shù)y=/(x)圖象的縱坐標不變,

w

②把函數(shù)y=/(久)圖象的縱坐標不變,橫坐標縮短到原來的-倍得y=(?>1)

w

③把函數(shù)y=f(x)圖象的橫坐標不變,縱坐標伸長到原來的w倍得y=(x)(0>1)

④把函數(shù)y=f(x)圖象的橫坐標不變,縱坐標縮短到原來的w倍得y=&>/(%)(0<?<1)

(4)翻折變換

保留x軸上方圖象

①y二/(?將x軸下方圖象翻折上去y=，0川―

保留y軸右邊圖象，并作其

②y=/(%)―關(guān)于丁軸對稱的圖象、y=/(田).

考點一、函數(shù)圖像的識別

典例目闞

1.(2024.全國.高考真題)函數(shù)/(%)=-/+(留一e-%)sin%在區(qū)間[一2.8,2.8]的圖象大致為()

2.（2022.全國.高考真題）如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間［-3,3］的大致圖像，則該函數(shù)是（）

2.（2024?山東?模擬預測）函數(shù)/（x）=指系的圖象大致為（）

考點二、函數(shù)的圖像變換

典例引領(lǐng)

2x—1/-I\%

?的圖象，只需將指數(shù)函數(shù)y=Q的圖象()

A.向左平移1個單位B.向右平移1個單位

C.向左平移1個單位D.向右平移1個單位

2.(22-23高三?全國?對口高考)把函數(shù)y=log3(x-1)的圖象向右平移之個單位，再把橫坐標縮小為原來的點

所得圖象的函數(shù)解析式是.

即時檢測

4______________

1.(22-23高三?全國?對口高考)利用函數(shù)/(%)=2支的圖象，作出下列各函數(shù)的圖象.

⑴丫=/(一式)；

(2)y=/(|%|)

(3)y=f。)-i；

(4)y=l/(x)-1|；

(5)y=-7(x)；

(6)y=-1).

2.(2024?遼寧?三模)已知對數(shù)函數(shù)f(>)=logax,函數(shù)/(久)的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標擴大為原

來的3倍，得到函數(shù)。(久)的圖象，再將或久)的圖象向上平移2個單位長度，所得圖象恰好與函數(shù)f(x)的圖

象重合，貝必的值是()

3r>2「遮TA/o'

AA.—B.—C.—D.V3

233

3.(2023?河北?模擬預測)已知函數(shù)/(久)=甘翳，則下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()

A./(x)-1B.f(%)-2C./(%-2)D.f(x+2)

1％2%>Q

4.(2023?新疆阿勒泰?三模)已知函數(shù)則函數(shù)/(%)=1'二；g(%)=/(-%),則函數(shù)g(%)的圖象大致是()

一，％<u,

考點三、由函數(shù)圖象確定解析式

典例引領(lǐng)

1.(2024.內(nèi)蒙古呼和浩特.二模)函數(shù)f(x)的部分圖象大致如圖所示，則f(x)的解析式可能為()

C./(%)=啟D./(%)=ex—e~x+sinx

2.(23-24高三下.天津.階段練習)已知函數(shù)/(￡)的部分圖象如下圖所示，則/(%)的解析式可能是()

**

A.f(x)=二坐B.9=蕓

仁川)=奏D.f(x)=W--COSX

??即時檢測

1.(2024.上海奉賢.二模)已知函數(shù)y=/(：%），其中y=/+i,y-5（x）,其中g(shù)（%）=4sin%,則圖象如圖

所示的函數(shù)可能是().

-幽

AyvD.y——

--fWgM

c.y=f(x)+g(x)_1D.y=/(x)—g(x)—1

2.(2024?湖南?二模)已知函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式可能為()

3.(2024?廣東江門.二模)若函數(shù)/(x)的圖象與圓C:/+必=4恰有4個公共點，則/(%)的解析式可以為()

A./(%)=||%|—2|B./(%)=x2—2\x\

C./(x)=|2^-2|D./(%)=|lg%2|

考點四、函數(shù)零點及零點個數(shù)

典例引領(lǐng)

1.(22-23高三上?江西鷹潭?階段練習)函數(shù)/(X)=(3尢—27)ln(x—1)的零點為()

A.2,3B.2C.(2,0)D.(2,0),(3,0)

2.(2023高三?全國?專題練習)已知指數(shù)函數(shù)為f(x)=43則函數(shù)y=/(x)—2，+i的零點為()

A.-1B.0

C.1D.2

即時檢測

1.(22-23高三?全國?對口高考)已知a=$方程。團=Ilog。久|的實根個數(shù)為.

2.(2023?全國?模擬預測)已知函數(shù)/(X)滿足/(X+|)=/(無一習,當％6［。，3)時，/(x)=2x3-llx2+14x,

則/(x)在［-120,120］上的零點個數(shù)為.

考點五、復合函數(shù)的零點

典例引領(lǐng)

|lg（-x）|+1,%<0

1.（23-24高三上.河北張家口.階段練習）已知函數(shù)f（x）=小x,則函數(shù)丫=產(chǎn)（%）-3/0）+2

U+1/2。

的零點個數(shù)是（）

A.6B.5C.4D.3

2.（2022高三上.河南.專題練習）已知函數(shù)/（x）=\二31>0,則丫=/（/⑼_1的零點個數(shù)為（）

（久十三

NI1.）tXU,

A.4B.5C.6D.7

即時檢測

1.（23-24高三上?天津?期中）已知函數(shù)/（%）=/+2%+皿m€R,若函數(shù)/（/（%））有且只有一個零點，則

（）

A.m>1B.m<0

C.0<m<1D.—1<m<0

-%2+2%%>0

{in（_%）+11o‘則函數(shù)y=/，（%）一1]的零點個數(shù)

是（）.

A.2B.3C.4D.5

3.（23-24高三上?河北?階段練習）已知函數(shù)/（久）=[（:則函數(shù)g（x）=[f（x）K-的所有

零點之和為（）

A.2B.3C.0D.1

x

（e

4.（2024.全國.模擬預測）已知函數(shù)/（X）=/">1,若函數(shù)4久）=[f（x）]2-好（%）有兩個不同的零點，

vxex,x<1

則實數(shù)a的取值范圍為（）

A,[-?0）U[pe）B.[o,?）u{e}

C

-{一仙球加小收）D.{-；}u（0,^）

考點六、二分法的應(yīng)用

典迪。

1.（2023高三?全國?專題練習）用二分法求函數(shù)f（x）=ln（x+l）+x—1在區(qū)間（0,1）上的零點，要求精確度

為0.01時，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為()

A.5B.6C.7D.8

2.(22-23高三.全國.對口高考)函數(shù)/(%)在(1,2)內(nèi)有一個零點，要使零點的近似值滿足精確度為0.01,則對

區(qū)間(1,2)至少二等分()

A.5次B.6次C.7次D.8次

??即時檢測

1.(2023?遼寧大連?一模)牛頓迭代法是我們求方程近似解的重要方法.對于非線性可導函數(shù)f(x)在X。附近

一點的函數(shù)值可用人久)=f(x0)+尸(殉)0-&)代替，該函數(shù)零點更逼近方程的解，以此法連續(xù)迭代，可

快速求得合適精度的方程近似解.利用這個方法，解方程產(chǎn)―3x+l=0,選取初始值久o=%在下面四個

選項中最佳近似解為()

A.0.333B.0.335C.0.345D.0.347

2.(2023?廣西?模擬預測)人們很早以前就開始探索高次方程的數(shù)值求解問題.牛頓在《流數(shù)法》一書中，

給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法——牛頓法.這種求方程根的方法，在科學界已被廣泛采用，例如求方

程第3+2x2+3汽+3=0的近似解，先用函數(shù)零點存在定理，令/(%)=%3+2x2+3%+3,/(-2)=-3<0,

/(-1)=1>0,得(—2,—1)上存在零點，取出=-1,牛頓用公式馬=0-1—點嗯反復迭代，以作為

JVXn-i)

/(%)=0的近似解，迭代兩次后計箕得到的近似解為;以(-2,-1)為初始區(qū)間，用二分法計算兩次后，

以最后一個區(qū)間的中點值作為方程的近似解，則近似解為.

3.(23-24高三下?北京.階段練習)函數(shù)/(乃=ln(2x)—i的一個零點所在的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

ML好題沖關(guān)?

基礎(chǔ)過關(guān)

1.(2019高三?全國?專題練習)以下每個圖象表示的函數(shù)都有零點，但不能用二分法求函數(shù)零點的是()

2.(23-24高三下?福建廈門?強基計劃)/(%)=tanxsinx—sin%—tanx+1在［0,2兀］上的零點個數(shù)()

A.1B.2C.3D.4

3.(2024.陜西安康.模擬預測)函數(shù)/(%)=1口%+%2-2的零點所在區(qū)間是()

A.(o,y)B.(y,l)c.(1,V2)D.(V2,2)

4.(2024?江蘇鹽城?模擬預測)函數(shù)y=cos%與y=lg|%］的圖象的交點個數(shù)是()

A.2B.3C.4D.6

5.(23-24高三下?江西?階段練習)設(shè)函數(shù)/(%)=sin(23%+g)(3>0)在(0*)上有且僅有1個極值點和1個

36

零點，/(今=0，則3=()

A.-B.-C.-D.-

3366

6.(22-23高三上?甘肅定西?階段練習)已知函數(shù)f(x)=17久>°,若關(guān)于久的方程f(久)=a恰有

12%2+4%+1,%<0

三個實數(shù)根，貝!Ja的取值范圍為.

7.(2024?河南?二模)已知函數(shù)/(%)是偶函數(shù)，對任意％eR,均有/(%)=/(%+2),當%E［0,1］時,/(%)=1-%,

則函數(shù)g(%)=f(x)-log5(x+1)的零點有個.

能力提升

1.(2024高三?全國?專題練習)方程等1+x2-4=。的實根個數(shù)為()

V4

A.4B.3C.2D.1

2.(2024?福建泉州?模擬預測)已知函數(shù)〃久)=已,若不等式“X)-a(x+2)>0的解集中有且僅有一個整

數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()

A?層田13.層卷)C.摟，用口.居福)

3.(2024?全國?高考真題)曲線y=/一3久與y=-0-1)2+a在(0,+8)上有兩個不同的交點，貝ija的取值

范圍為?

4.(2024高三?全國?專題練習)若方程c