專題12導數的應用-函數的單調性問題5題型分類

彩題如工總

題型5：含參數單調性討論題型1：利用導函數與原函數的關系確定

原函數圖象

題型4：不含參數單調性討論

專題12導數的應用一函數的單調

性問題5題型分類

題型2：求單調區間

題型3：巳知含量參函數在區間上單調或不

單調或存在單調區間，求參數范圍

彩先渡寶庫

一、單調性基礎知識

1、函數的單調性

函數單調性的判定方法：設函數＞=/（尤）在某個區間內可導，如果r（尤）＞0,則y=〃尤）為增函數；如果

r（x）＜0,則y=/（x）為減函數.

2、已知函數的單調性問題

①若/（X）在某個區間上單調遞增，則在該區間上有廣（X）N0恒成立（但不恒等于0）；反之,要滿足尸（x）＞0,

才能得出了（X）在某個區間上單調遞增；

②若/（X）在某個區間上單調遞減,則在該區間上有了'（無）＜0恒成立（但不恒等于0）；反之,要滿足尸（X）＜0,

才能得出Ax）在某個區間上單調遞減.

二、討論單調區間問題

類型一：不含參數單調性討論

（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續的區間）；

（2）變號保留定號去（變號部分：導函數中未知正負，需要單獨討論的部分.定號部分：已知恒正或恒負,

無需單獨討論的部分）；

（3）求根作圖得結論（如能直接求出導函數等于0的根，并能做出導函數與x軸位置關系圖，則導函數正

負區間段已知，可直接得出結論）；

（4）未得結論斷正負（若不能通過第三步直接得出結論，則先觀察導函數整體的正負）；

（5）正負未知看零點（若導函數正負難判斷，則觀察導函數零點）；

（6）一階復雜求二階（找到零點后仍難確定正負區間段，或一階導函數無法觀察出零點，則求二階導）；

求二階導往往需要構造新函數，令一階導函數或一階導函數中變號部分為新函數，對新函數再求導.

（7）借助二階定區間（通過二階導正負判斷一階導函數的單調性，進而判斷一階導函數正負區間段）；

類型二：含參數單調性討論

（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續

的區間）；

（2）變號保留定號去（變號部分：導函數中未知正負，需要單獨討論的部分.定號部分：已知恒正或恒負，

無需單獨討論的部分）；

（3）恒正恒負先討論（變號部分因為參數的取值恒正恒負）；然后再求有效根；

（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內和多根之間的大小關系）；

（5）導數圖象定區間；

（一）

利用導函數與原函數的關系確定原函數圖象

原函數的單調性與導函數的函數值的符號的關系，原函數/（X）單調遞增O導函數（（無）20（導函數等于0,

只在離散點成立，其余點滿足ra）＞o）；原函數單調遞減。導函數/''（無廳。（導函數等于o,只在離散點

成立，其余點滿足/（/）＜。）.

題型1:利用導函數與原函數的關系確定原函數圖象

1-1.（天津市西青區為明學校2023-2024學年高三上學期開學測數學試題）已知函數y=/（￡）的圖象是下列

四個圖象之一，且其導函數y=/'（x）的圖象如下圖所示，則該函數的大致圖象是（）

連接，而應用"和"隔開.

2.導數求函數的單調區間或判斷函數的單調性問題時應注意如下幾方面：

（1）在利用導數討論函數的單調區間時，首先要確定函數的定義域；

（2）不能隨意將函數的2個獨立的單調遞增（或遞減）區間寫成并集形式；

（3）利用導數解決含參函數的單調性問題時，一般將其轉化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類

討論和數形結合思想的應用.

3.己知含量參函數在區間上單調或不單調或存在單調區間，求參數范圍

（1）已知函數在區間上單調遞增或單調遞減，轉化為導函數恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析導函

數的形式及圖象特點，如一次函數最值落在端點，開口向上的拋物線最大值落在端點，開口向下的拋物線

最小值落在端點等.

（2）已知區間上函數不單調，轉化為導數在區間內存在變號零點，通常用分離變量法求解參變量范圍.

（3）已知函數在區間上存在單調遞增或遞減區間，轉化為導函數在區間上大于零或小于零有解.

題型2:求單調區間

,r2+2

2-1.（2024高三下?江西鷹潭?階段練習）函數y=土上+lnx的單調遞增區間為（）

x

A.（0,2）B.（0,1）C.（2,+00）D.（1,+℃）

2-2.（2024高二下?湖北?期中）函數〃x）=ln（4x2-l）的單調遞增區間（）

A.B.[f-:C.口.（。"）

2-3.（2024?上海靜安?二模）函數y=xlnx（）

A.嚴格增函數

B.在上是嚴格增函數，在+上是嚴格減函數

C.嚴格減函數

D.在上是嚴格減函數，在+上是嚴格增函數

題型3：已知含量參函數在區間上單調或不單調或存在單調區間，求參數范圍

3-1.（2024?陜西西安?三模）若函數/（x）=x2-ox+lnx在區間（l,e）上單調遞增，貝心的取值范圍是（）

A.[3,W)B.(一8,3]C.[3,e2+l]D.[3,e2-l]

3-2.（2024?山東濟寧?一模）若函數〃x）=log?（依-爐）（。＞0且。工1）在區間（0,1）內單調遞增，貝心的取值

范圍是（）

A.[3,+co）B.（1,3]C.（0,/D.

f1

3-3.（2024?寧夏銀川三模）若函數Inx在區間（見機+?上不單調，則實數相的取值范圍為（）

八221

A.0<m<—B.—<m<I

33

2

C.—<m<\D.m>l

3-4.（2024高三上?江蘇蘇州?期中）若函數〃x）=lnx+依2-2在區間弓,21內存在單調遞增區間，則實數。

的取值范圍是（）

A.[-2,-KO）B.C.-2,-jD.（-2,+oo）

「1-

3-5.（2024高三上?山西朔州?期中）己知函數〃x）=lnx+（x-6）92（6eR）在區間-.2上存在單調遞增區

間，則實數6的取值范圍是

A.[f|]B.]-鞏：

C.(田,3)

3-6.（2024高二下?天津和平?期中）已知函數/（"=如3+3（%-/+i（加＞o）的單調遞減區間是伍,4）,

則加=()

1

A.3B.-C.2D.

3~2

彩健題秘籍（二）

函數單調性的討論

1.確定不含參的函數的單調性，按照判斷函數單調性的步驟即可，但應注意一是不能漏掉求函數的定義域，

二是函數的單調區間不能用并集，要用"逗號"或"和"隔開.

2、關于含參函數單調性的討論問題，要根據導函數的情況來作出選擇，通過對新函數零點個數的討論，從

而得到原函數對應導數的正負，最終判斷原函數的增減.（注意定義域的間斷情況）.

3、需要求二階導的題目，往往通過二階導的正負來判斷一階導函數的單調性，結合一階導函數端點處的函

數值或零點可判斷一階導函數正負區間段.

4、利用草稿圖象輔助說明.

題型4：不含參數單調性討論

4-1.（2024高三?全國?專題練習）已知函數/3=1±1￥口1@>0）.試判斷函數在（0,+s）上單調性并

證明你的結論；

42（2024高三?全國?專題練習）已知〃x）=lnx+《M,若。=1,求的單調區間.

4-3.（2024?貴州?二模）已知函數〃x）=xlnx-e工+1.

⑴求曲線y=在點處的切線方程；

⑵討論〃尤）在（0,+句上的單調性.

題型5:含參數單調性討論

5-1.（2024高三?全國?專題練習）已知函數/（尤）=（，w+l）x-〃21nx-〃z.討論/（x）的單調性;

52（2024高三?全國?專題練習）已知函數〃x）=lnx-2a2^+3依一1（°20）,討論函數的單調性.

5-3.（2024高三?全國?專題練習）已知函數〃x）=lnr+（l-a）x+l（oeR）,討論函數的單調性.

5-4.（2024高二下?全國?課后作業）已知函數〃x）=e;辦-1.討論函數/（x）的單調性.

5-5.（2024高三?全國?專題練習）已知函數=+-（a+2）x（a>0）,討論函數的單調性.

5-6.（2024高三?全國?專題練習）已知函數=（—a）—Inx——+Z?,其中a,6eR,討論函數

〃x）的單調性.

5-7.（2024高三?全國?專題練習）已知函數〃尤）=g尤2-3依+2/Inx,awO,討論/'（%）的單調區間.

5-8.（2024高三?全國?專題練習）已知函數/（x）=x-lnx-￡.判斷函數〃尤）的單調性.

法習與置升

一、單選題

1.（2024高三?全國?課后作業）函數〃司=6+—（°、。為正數）的嚴格減區間是（）.

x

2.（2024高二上?浙江?開學考試）已知函數/（x）=sinx+acosx在區間[苦J上是減函數，則實數。的取值范

圍為（）

A.a>y/2-lB.a>lC.a>l-y/2D.a>-\

3.（2024高三?全國?專題練習）三次函數/（%）=如？一%在（_QO,+oo）上是減函數，則加的取值范圍是（）

A.m<0B.m<\C.m<0D.m￡1

4.（2024高三下?青海西寧?開學考試）已知函數“無六號+ln元.若對任意a，x2c（0,2],且占都有

-則實數。的取值范圍是（）

x2—玉

（27-II（27^

A.I-?,—B.（-co,2]C.I-oo,—ID.（-8,8]

5.（2024高三?全國?專題練習）若函數/（x）=/+x-lnx-2在其定義域的一個子區間（2k-1,2左+1）內不是

單調函數，則實數%的取值范圍是（）

6.（2024高三?全國?專題練習）已知函數〃x）=；x3+5x2+x+i在（3,+向上單調遞增，在（1,2）上

單調遞減，則實數。的取值范圍為（）

10_5

A.~3~*567~2

C.

3111

7.（2024?全國）已知。=一/=cos—,c=4sin—,貝lj（

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

8.（2024?全國）設a=0.1e°」,6=」，c=-ln0.9,則（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

9.（2024高三上?河南?階段練習）下列函數中，既是偶函數又在（。,+。）上單調遞增的函數是（）

A./（x）=xlnxB.%+1C./（x）=ex+e-xD.=—

XX十]

10.（2024高三上?河南?階段練習）函數/（x）=xlnx+l的單調遞減區間是（）

A.[o,jB.（O,e）C.g'+sjD.（e,+co）

IL（2024高二下?河南許昌?階段練習）函數y=xcosx-sinx在下面哪個區間內是增函數

A.）B.（K,2K）C.（―,—）D.（2兀,3兀）

2222

12.（2024?全國）己知函數〃x）=ae=lnx在區間（1,2）上單調遞增，則。的最小值為（）.

2-1

A.eB.eC.eD.r

13.（2024高二下,福建泉州,期末）已知函數y=Ax）,y=g。）的導函數的圖像如下圖，那么y=〃尤）,y=g（x）

14.（2024高二下?河北邯鄲?期末）函數y=/（x）的導函數y=/'（x）的圖象如圖所示，則函數>=/（尤）的圖

象可能是（）

15.（2024,湖南）若函數y=/（x）的導函數在區間加上是增函數，則函數了=/（無）在區間加上的圖象

可能是

16.（2024?全國）函數＞=-/+/+2的圖像大致為

17.

18的圖像大致為（

19.(2024高三上?重慶沙坪壩?開學考試)已知實數。,反。滿足：〃=37-3Z/=Lln3,c=4-2退，貝1J()

2

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>a>b

20.(2024IWJ二下,山東荷澤?期末)已知〃=”，u_~9>c=l+ln--,則〃，b,c的大小關系為()

10〃一e11

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

21.(2024高二上?湖南張家界?階段練習)設/(%)、g(%)分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當x<0時,

/WU)+/U)gV)>0.且g(—3)=0,則不等式/(%)g(x)<o的解集是()

A.(-3,0)5,+8)B.(-3,0)50,3)

C.(-co,-3)u(3,+oo)D.(-00,-3)u(0,3)

22.（2024高三?全國?專題練習）己知/（x）在R上是可導函數，"X）的圖象如圖所示，則不等式

卜2—2%—3）尸（》）＞/（一2）的解集為（）

A.B.(^,-2)U(l,2)

C.(-<?,-1)u(-1,0)u(2,+oo)D.(-oo,-l)u(-l,l)u(3,+oo)

23.（2024高三上?重慶沙坪壩?開學考試）若函數〃尤）為定義在R上的偶函數，當x?f,0）時，f\x）＞2x,

則不等式〃3萬-1）-〃2）＞（3%—3）（3彳+1）的解集為（）

B.

C.(1,+co)

24.（2024?全國?模擬預測）已知事函數8,0）5°，+8），若“力=/出，則下列說法正確

的是（）

A.函數f（x）為奇函數B.函數/'（X）為偶函數

C.函數4％）在（0,+8）上單調遞增D.函數/（%）在（。,+8）上單調遞減

25.（2024?江西鷹潭?模擬預測）函數y=-/+1!!》的單調遞增區間為（

、

A.eB.(0,e)C.D.

P°47

26.（2024高二下?重慶?期中）若函數/（x）=%2—alnx—%—2023（〃￡R）在區間［1,內）上單調遞增，則〃的取

值范圍是（）

11

A.(―8,1)B.-00,1]C.—00,------D.—co,------

88

27.（2024?甘肅蘭州?一模）已知"X）是偶函數，在（一噸0）上滿足恒成立，則下列不等式成立的

是（）

A./(-3)</(4)</(-5)B./(4)</(-3)>/(-5)

C./(-5)</(-3)</(4)D./(4)</(-5)</(-3)

28.(2024?全國?模擬預測)已知a,b,ce(L+co),且a-lna-l=e—,b-\nb-2=e~2,c-lnc—4=e-4,其

中e是自然對數的底數，則（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

3

he

29.（2024?江蘇南京?模擬預測）已知實數。，b滿足ae"=e2.ln---,其中e是自然對數的底數，則"的

eb

值為（）

A.e2B.e3C.2e3D.e4

x

30.（2024高三?貴州貴陽，階段練習）已知〃x）=qne--x,XG(O,-HX)),對V%,%2￡(0,+°o),且玉<%，恒

有/則實數“的取值范圍是（）

x2石

2

A.B.e',+8C.一3D.-oo,e萬

31.（2024?四川南充?三模）已知函數/（彳”向透⑺二色叫,;^41,2］使以（再）-8（々）|>小/（再）-〃々）|（k

為常數）成立，則常數上的取值范圍為（）

A.（十同B.（-00,e]C.（-?,2e2）D.（-<?,2e2]

二、多選題

32.（2024高二上?山東濟寧,期末）已知函數f（x）的定義域為R且導函數為尸（x）,如圖是函數y="'（x）的

A.函數〃元）的增區間是（-2,0）,（2,+<?）

B.函數/（X）的增區間是（-8,-2）,（2,+8）

C.X=-2是函數的極小值點

D.x=2是函數的極小值點

33.（2024?湖北武漢?二模）函數>=（辰2+1）/的圖像可能是（）

34.（2024?山東濰坊?模擬預測）下列函數中，在其定義域內既是奇函數又是增函數的是（）

A.y=x-sinxB.y=x3-lC.y=tanxD.y=ex-e~x

35.（2024高二下,廣東潮州?開學考試）已知函數f（x）=xln（l+尤），則（）

A./（X）在（0,+s）單調遞增

B./（無）有兩個零點

C.曲線y=/（X）在點處切線的斜率為—l-ln2

D./⑺是奇函數

36.（2024?河北?模擬預測）十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把"="作為等號使用,

后來英國數學家哈里奧特首次使用"，和">"符號，不等號的引入對不等式的發展影響深遠.若l<a<b<e,

則()

In41nb,

A.——<—B.ab<ba

ab

abab

c-ba>^D-ab

37.(2024,浙江金華,模擬預測)當x>l且y>l時，不等式;二>[二]恒成立，則自然數〃可能為()

In2y[y]

A.0B.2C.8D.12

三、填空題

2

38.(2024高二下?四川眉山?階段練習)/(x)=x+—的單調遞減區間是—.

尤

39.(2024?內蒙古赤峰?模擬預測)已知函數/(x)=31nx-x+2,則的單調遞減區間為.

40.(2024?四川雅安?模擬預測)給出兩個條件：①a,beR,f(a+b)=f(a)f(b)；②當xe(0,”)時，

r(x)<0(其中尸(x)為的導函數).請寫出同時滿足以上兩個條件的一個函數.(寫出一個滿足

條件的函數即可)

41.(2024高三上?湖北黃岡,階段練習)已知函數"x)=e-尸-2%+1,則不等式f(2x-3)+/(x)>2的解

集為.

42.(2024嚀夏銀川三模)若函數/(尤)=]-1!^在區間卜,加+￡|上不單調，則實數機的取值范圍為

四、解答題

43.(2024高三?全國?專題練習)己知函數/(%)=6'一依(4?11),g(x)=e*+cos]x.

⑴若〃力20,求。的取值范圍；

(2)求函數g(x)在(0,+8)上的單調性.

44.(2024高三?全國?專題練習)已知函數/(x)=ln(e*—1)—Inx,判斷了⑺的單調性，并說明理由.

45.(2024高三?全國?專題練習)己知函數/(x)=(x-q)lnx,討論尸(x)的單調性.

46.(2024高三?全國?專題練習)已知函數〃x)=xlnx-or,討論了(元)的單調性;

47.(2024高三?全國?專題練習)己知函數〃x)=依x-gf.

(1)當k=1時，求曲線y=/(x)在x=i處的切線方程;

（2）設g（x）=/'（x）,討論函數g（x）的單調性.

48.（2024高三?北京海淀?專題練習）設函數/（x）=［ax2-（4o+l）x+4a+3］e".

⑴若曲線y=在點（1,7（1））處的切線與x軸平行，求。；

⑵求〃x）的單調區間.

2〃2IQ4

49.（2024高三?全國?專題練習）已知"無）=lnx+方:-t-2（aw0）,討論〃x）的單調性.

50.（2024高三?全國?專題練習）已知函數/（x）=ln（l+x）-gox2（aw0）,討論〃尤）的單調性.

51.（2024高三?全國?專題練習）已知函數/（x）=lnx+一廠-2ax+“（aeR）,討論函數/（幻的單調性;

2x

1丫2

52.（2024高三?全國?專題練習）已知函數=q工，aeR,討論外”的單調性.

53.（2024高三?全國?專題練習）已知函數/（x）=gV+3"+21nx（“eR）,討論函數〃x）的單調性.

54.（2024高三?全國?專題練習）已知函數/（x）=xe；+lnx+3,xe（0,4w）,其中“eR,討論函數的

單調性.

55.（2024二,全國,專題練習）已知"X）=（x-a-l）e'-3ax~+“-x-1.（aeR）,討論了（尤）的單調性.

56.（2024高三?全國?專題練習）已知〃》）=（尤-1）晨*-1^3+0（;（%>0）（。€2，討論函數“X）的單調性.

57.（2024高三?全國?專題練習）已知函數”》）=［1112工-（4+1）111%+11羽4€11,討論函數f（無）的單調性.

58.（2024高三?全國?專題練習）已知函數/（"=4-前+f—2x+l+（x—l）lna（a>0,且awl）求函數〃x）

的單調區間;

59.（2024高三?全國?專題練習）設函數/⑴=三+加，其中aeR,討論〃x）的單調性.

60.（2024高三?全國?專題練習）設口>1,函數〃x）=e2m'-（2x+l）［x>-討論/⑺在，［,+，］的

單調性.

61.（2024?北京）已知函數/（x）=e1n（l+x）.

（1）求曲線y=/⑺在點（o,/（o））處的切線方程；

（2）設g（x）=/'（x）,討論函數g（x）在［0,+8）上的單調性；

（3）證明：對任意的s,任（0,+8）,有〃s+f）>/（$）+/?）.

62.（陜西省咸陽市高新一中2023-2024學年高二上學期第二次質量檢測文科數學試題）設函數

/(%)=%3_3〃%2+3所的圖象與直線12x+y—1=0相切于點(1,—11).

⑴求〃、人的值.

⑵討論函數/(光)的單調性.

63.(2024?甘肅天水?一模)設函數〃x)=lnx-/x+2〃(a￡R)

⑴若函數/⑴在(0,J上遞增，在上遞減，求實數。的值.

⑵討論/(無)在(1,內)上的單調性.

64.(2024?全