建立函數模型解決實際問題

知識方法精講

1.一次函數的應用

1、分段函數問題

分段函數是在不同區間有不同對應方式的函數，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科

學合理，又要符合實際.

2、函數的多變量問題

解決含有多變量問題時，可以分析這些變量的關系，選取其中一個變量作為自變量，然后根

據問題的條件尋求可以反映實際問題的函數.

3、概括整合

（1）簡單的一次函數問題：①建立函數模型的方法；②分段函數思想的應用.

（2）理清題意是采用分段函數解決問題的關鍵.

2.二次函數的性質

二次函數歹="2+&+。（QWO）的頂點坐標是（-上二，4dC-b）,對稱軸直線％=-上_,

2a4a2a

二次函數歹="2+加什。（QWO）的圖象具有如下性質：

①當。＞0時，拋物線ynaf+bx+c（QWO）的開口向上，xV-M時，y隨x的增大而減小;

2a

2

x＞時，夕隨X的增大而增大；x=時，y取得最小值.4a.匚？一,即頂點是拋物線

2a2a4a

的最低點.

②當（2＜0時，拋物線yuqf+fcv+c（QWO）的開口向下，x＜-時，＞隨％的增大而增大;

2a

2

X＞-旦時，y隨X的增大而減小；X=--L時，3取得最大值..0一,即頂點是拋物線

2a2a4a

的最高點.

③拋物線ynaf+bx+cCaWO）的圖象可由拋物線＞=依2的圖象向右或向左平移|-上_|個單

'2a

位，再向上或向下平移隹號給個單位得到的.

3.二次函數圖象與幾何變換

由于拋物線平移后的形狀不變，故。不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方

法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數法求出解析式；二是只考慮

平移后的頂點坐標，即可求出解析式.

4.二次函數的最值

（1）當。>0時，拋物線在對稱軸左側，了隨x的增大而減少；在對稱軸右側，〉隨x的增

2

大而增大，因為圖象有最低點，所以函數有最小值，當苫=上時，尸在匕旦.

2a4a

（2）當a<0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側，y隨x的增

2

大而減少，因為圖象有最高點，所以函數有最大值，當X=」_時，尸細匕旦.

2a4a

（3）確定一個二次函數的最值，首先看自變量的取值范圍，當自變量取全體實數時，其最

值為拋物線頂點坐標的縱坐標；當自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數端點處的函

數值，比較這些函數值，從而獲得最值.

5.拋物線與x軸的交點

求二次函數y=a/+6x+c（a,b,c是常數，aWO）與x軸的交點坐標，令y=O,即af+bx+c

=0,解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標.

（1）二次函數y=ax2+6x+c（a,b,c是常數，aWO）的交點與一元二次方程ax2+6x+c=0

根之間的關系.

△=廬-4ac決定拋物線與x軸的交點個數.

△=廬-4℃>0時，拋物線與x軸有2個交點；

△=廬-4℃=0時，拋物線與x軸有1個交點；

△=啟-4℃<0時，拋物線與x軸沒有交點.

（2）二次函數的交點式：y=a（x-xi）（x-X2）（a,b,c是常數，aNO）,可直接得到拋

物線與x軸的交點坐標（XI,0）,（X2,0）.

6.根據實際問題列二次函數關系式

根據實際問題確定二次函數關系式關鍵是讀懂題意，建立二次函數的數學模型來解決問

題.需要注意的是實例中的函數圖象要根據自變量的取值范圍來確定.

①描點猜想問題需要動手操作，這類問題需要真正的去描點，觀察圖象后再判斷是二次函

數還是其他函數，再利用待定系數法求解相關的問題.

②函數與幾何知識的綜合問題，有些是以函數知識為背景考查幾何相關知識，關鍵是掌握

數與形的轉化；有些題目是以幾何知識為背景，從幾何圖形中建立函數關系，關鍵是運用幾

何知識建立量與量的等式.

7.二次函數的應用

（1）利用二次函數解決利潤問題

在商品經營活動中，經常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題.解此類題的關鍵是通過題意,

確定出二次函數的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量X的取值要使實際問題有

意義，因此在求二次函數的最值時，一定要注意自變量X的取值范圍.

（2）幾何圖形中的最值問題

幾何圖形中的二次函數問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態幾

何中的最值的討論.

（3）構建二次函數模型解決實際問題

利用二次函數解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當地把這些實際問題中

的數據落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決

一些測量問題或其他問題.

選擇題（共1小題）

1.（2021秋?梁溪區校級期中）如圖，在一張白紙上畫1條直線，最多能把白紙分成2部分

（如圖1）,畫2條直線，最多能把白紙分成4部分（如圖2）,畫3條直線，最多能把白紙

分成7部分（如圖3）,當在一張白紙上畫15條直線，最多能把白紙分成的部分是（）

A.120B.121C.122D.123

二.填空題（共2小題）

2.（2021秋?鹿城區校級期中）如圖，在RtAABC中，已知乙4=90。，48=6,3c=10,D

是線段上的一點，以C為圓心，C〃為半徑的半圓交NC邊于點￡,交8c的延長線于

點F，射線BE交前于點、G,貝IJ?EG的最大值為.

3.（2021秋?蜀山區校級月考）如圖，是一個迷宮游戲盤的局部平面簡化示意圖，該矩形的

長、寬分別為5cm,3cm,其中陰影部分為迷宮中的擋板，設擋板的寬度為xc加，小球滾

動的區域（空白區域）面積為yc/.則y關于X的函數關系式為：—（化簡為一般式）.

三.解答題（共17小題）

4.（2021秋?泗水縣期中）某商店以每件80元的價格購進一批商品，現以單價100元銷售,

每月可售出300件.經市場調查發現：每件商品銷售單價每上漲1元，該商品平均每月的銷

售量就減少10件，設每件商品銷售單價上漲了x元.

（1）若在顧客得實惠的前提下，當每件商品銷售單價上漲多少元時，該商店每月的銷售利

潤為6210元？

（2）寫出月銷售該商品的利潤/（元）與每件商品銷售單價上漲x（元）之間的函數關系式;

當銷售單價定為多少元時，每月銷售該商品的利潤最大？最大利潤為多少？

5.（2021秋?禪城區校級期中）在A43C中，它的邊BC=120,高NO=80.

（1）如圖1,正方形PNM0的一邊在8c上，其余兩個頂點分別在48,NC上.問正方形

的邊長是多少？

（2）如圖2,點尸、G分別在/B,/C上，且FG//BC,點、P為BC上一點、,連接尸尸、

GP,則當歹G=時，AFGP的面積最大值=.

6.（2021秋?哪城區期中）下面是小麗同學根據學習函數的經驗，對函數了=-/+3比|+2的

圖象與性質進行的探究過程.

（1）函數了=-/+3|刈+2的自變量x的取值范圍是.

（2）列表

X-4-3-2-1.5-1011.5234

y-2244.25424m42-2

表格中加的值為

（3）如圖，在平面直角坐標系xQy中，畫出了函數>=-/+3|刈+2的部分圖象，用描點

下列四個結論：①函數圖象關于y軸對稱；②函數既有最大值，也有最小值；③當x>l時,

y隨x的增大而減小；④函數圖象與x軸有2個公共點.所有正確結論的序號是：—.

（5）結合函數圖象，解決問題：

關于x的方程-f+31x|+2=3有一個不相等的實數根.

7.某移動通訊公司開設了兩種通訊業務：“全球通”使用者先繳50元月租費，然后每通話

1分鐘，再付話費0.4元；“神州行”不繳月租費，每通話bm力付費0.6元.若一個月內通話

xmin,兩種方式的費用分別為m元和％元.

（1）寫出乂、％與工之間的函數關系式；

（2）一個月內通話多少分鐘，兩種移動通訊費用相同；

（3）某人估計一個月內通話300加〃，應選擇哪種移動通訊合算些.

8.（2021秋?肅州區期末）喜迎元旦，某商店銷售一種進價為50元/件的商品，售價為60

元/件，每星期可賣出200件，若每件商品的售價每上漲1元，則每星期就會少賣出10件.

（1）假設設每件商品的售價上漲x元（x為正整數），每星期銷售該商品的利潤為y元，求y

與x之間的函數關系式.

（2）每件商品的售價上漲多少元時，該商店每星期銷售這種商品可獲得最大利潤？此時，

該商品的定價為多少元？獲得的最大利潤為多少？

9.（2021秋?黔西南州期末）某服裝批發市場銷售一種襯衫，每件襯衫的進貨價為50元，

規定每件的售價不低于進貨價.經市場調查，每月的銷售量y（件）與每件的售價x（元）滿

足一次函數關系，部分數據如表：

售價X（元/件）556065

銷售量y（件）700600500

（1）求出y與x之間的函數關系式；（不需要求自變量x的取值范圍）

（2）物價部門規定，該襯衫每件的利潤不允許高于進貨價的50%,設銷售這種襯衫每月的

總利潤為w（元），求w與x之間的函數關系式，當每件襯衫的售價定為多少時，可獲得最

大利潤？最大利潤是多少？

10.我國是世界上淡水資源匱乏國家之一，北方地區的缺水現象更為嚴重，有些地方甚至連

人畜飲水都得不到保障，為了節約用水，不少城市作出了對用水大戶限制用水的規定.北方

某市規定：每一個用水大戶，月用水量不超過規定標準。噸時，按每噸L6元的價格交費，

如果超過了標準，超標部分每噸還要加收2元的附加費用.據統計，某戶7、8兩月的用

100

水量和交費情況如下表:

月份用水量（噸）交費總數（元）

7140264

895152

（1）求出該市規定標準用水量a的值；

（2）寫出交費總數y（元）與用水量x（噸）的函數關系式.

11.（2021秋?前進區期末）小明一家利用元旦三天駕車到某景點旅游.小汽車出發前油箱

有油36￡,行駛若干小時后，途中在加油站加油若干升，油箱中余油量0（￡）與行駛時間;（〃）

之間的關系.如圖所示.根據圖象回答下列問題：

（1）小汽車行駛〃后加油，中途加油L；

（2）求加油前油箱余油量0與行駛時間，的函數關系式；

（3）如果小汽車在行駛過程中耗油量速度不變，加油站距景點300y?，車速為80y?/〃，

要到達目的地，油箱中的油是否夠用？請說明理由.

12.（2021秋?任城區期末）桿秤是我國傳統的計重工具，如圖，秤鉤上所掛的不同重量的

物體使得秤坨到秤紐的水平距離不同.稱重時，秤鉤所掛物重為x（斤）時，秤桿上秤坨到

秤紐的水平距離為y（厘米）.如表中為若干次稱重時所記錄的一些數據，且y是x的一次

函數.

X（斤）00.751.00—2.253.25

y（厘米）

-21247—

注：秤桿上秤坨在秤紐左側時，水平距離y（厘米）為正，在右側時為負.

（1）根據題意，完成上表；

（2）請求出y與x的關系式；

（3）當秤桿上秤泥到秤紐的水平距離為15厘米時，秤鉤所掛物重是多少斤?

秤紐

秤坨坪鉤

13.（2021秋?錦江區校級期末）元旦節期間，某天小王和小明都乘車從成都到重慶，成都、

重慶兩地相距約為300千米，小王先乘車從成都出發，小明坐動車先以80千米/小時速度

追趕小王.如圖，線段O/表示小王離成都的距離y（千米）與時間x（小時）之間的函數

關系；折線3CD表示小明離成都的距離y（千米）與x（小時）之間的函數關系.請根據

圖象解答下列問題：

（1）小明到達重慶后，小王距重慶還剩多少千米？

（2）求線段CD和。/對應的函數解析式；

（3）求小明從成都出發后多長時間與小王相遇.

14.（2021秋?武漢期末）個體戶小陳新進一種時令水果，成本為20元/彷，經過市場調研

發現，這種水果在未來40天內的日銷售量加（彷）與時間￡（天）的關系如表：

時間/（天）1351036

日銷售量9490867624

m（kg）

未來40天內，前20天每天的價格必（元/飯）與時間，（天）的函數關系式為

%=；，+25（1管？0且，為整數），后20天每天的價格為（元/彷）與時間，（天）的函數關系

式為%=-$+40（21^40且/為整數）?

（1）直接寫出皿修）與時間f（天）之間的關系式；

（2）請預測未來40天中哪一天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少？

（3）在實際銷售的前20天中，個體戶小陳決定每銷售1kg水果就捐贈a元利潤9<4且。為

整數）給貧困戶，通過銷售記錄發現，前20天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間/（天

）的增大而增大，求前20天中個體戶小陳共捐贈給貧困戶多少錢？

15.（2021?青島）科研人員為了研究彈射器的某項性能，利用無人機測量小鋼球豎直向上運

動的相關數據.無人機上升到離地面30米處開始保持勻速豎直上升，此時，在地面用彈射

器（高度不計）豎直向上彈射一個小鋼球（忽略空氣阻力），在1秒時，它們距離地面都是

35米，在6秒時，它們距離地面的高度也相同.其中無人機離地面高度弘（米）與小鋼球運

動時間x（秒）之間的函數關系如圖所示；小鋼球離地面高度％（米）與它的運動時間x（秒

）之間的函數關系如圖中拋物線所示.

（1）直接寫出必與x之間的函數關系式；

（2）求出%與x之間的函數關系式；

（3）小鋼球彈射1秒后直至落地時，小鋼球和無人機的高度差最大是多少米?

16.（2021?廣西模擬）新冠疫情期間，某網店銷售的消毒用紫外線燈很暢銷，該網店店主結

合店鋪數據發現，日銷量y（件）是售價x（元/件）的一次函數，其售價、日銷售量、日

銷售純利潤少（元）的四組對應值如表：

售價X（元/件）150160170180

日銷售量y（件）200180160140

日銷售純利潤少（元）8000880092009200

另外，該網店每日的固定成本折算下來為2000元.

注：日銷售純利潤=日銷售量x（售價-進價）-每日固定成本

（1）①求y關于x的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

②該商品進價是一元/件，當售價是一元/件時，日銷售純利潤最大，最大純利潤是

元.

（2）由于疫情期間，每件紫外線燈的進價提高了〃?元的＞0）,且每日固定成本增加了100

元，但該店主為響應政府號召，落實防疫用品限價規定，按售價不高于170元/件銷售，若

此時的日銷售純利潤最高為7500元，求m的值.

17.（2021秋?朝陽區期末）如圖，某矩形花園48CD一邊靠墻，墻長35〃?，另外三邊用長

為69加的籬笆圍成，其中一邊開有一扇寬為加的門（不包括籬笆）.設矩形花園N8C。垂

直于墻的一邊AB長為xm,面積為Sm2.

（1）8c的長為m（用含x的代數式表示）.

（2）求S與x之間的函數關系式，并寫出x的取值范圍.

（3）求花園面積S的最大值.

18.小明大學畢業后積極響應政府號召回鄉創業，準備經營水果生意，他在批發市場了解到

某種水果的批發單價與批發量有如下關系:

批發量m（kg）批發單價（元/楊）

40-^r^OO6

m>1005

（1）寫出批發該種水果的資金金額w（元）與批發量皿彷）之間的函數關系式：并在下圖

的坐標系網格中畫出該函數圖象：指出資金金額在什么范圍內，以同樣的資金可以批發到較

個金額w（元）