湖北省示范中學2025屆高三第三次模擬考試數學試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數在上單調遞減的充要條件是（）A． B． C． D．2．已知F是雙曲線（k為常數）的一個焦點，則點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為（）A．2k B．4k C．4 D．23．已知過點且與曲線相切的直線的條數有（）．A．0 B．1 C．2 D．34．圓錐底面半徑為，高為，是一條母線，點是底面圓周上一點，則點到所在直線的距離的最大值是（）A． B． C． D．5．設，命題“存在，使方程有實根”的否定是()A．任意，使方程無實根B．任意，使方程有實根C．存在，使方程無實根D．存在，使方程有實根6．的展開式中的系數為（）A．5 B．10 C．20 D．307．若復數滿足，則（其中為虛數單位）的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．48．下列說法正確的是（）A．“若，則”的否命題是“若，則”B．“若，則”的逆命題為真命題C．，使成立D．“若，則”是真命題9．在區間上隨機取一個數，使得成立的概率為等差數列的公差，且，若，則的最小值為（）A．8 B．9 C．10 D．1110．設a=log73，，c=30.7，則a，b，c的大小關系是（）A． B． C． D．11．設等差數列的前項和為，若，則（）A．23 B．25 C．28 D．2912．已知函數，若曲線在點處的切線方程為，則實數的取值為（）A．-2 B．-1 C．1 D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，i為虛數單位，則正實數的值為______.14．對任意正整數，函數，若，則的取值范圍是_________；若不等式恒成立，則的最大值為_________．15．若函數的圖像上存在點，滿足約束條件，則實數的最大值為__________．16．請列舉用0,1,2,3這4個數字所組成的無重復數字且比210大的所有三位奇數：___________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設數列是等差數列，其前項和為，且，.（1）求數列的通項公式；（2）證明：.18．（12分）橢圓的左、右焦點分別為，橢圓上兩動點使得四邊形為平行四邊形，且平行四邊形的周長和最大面積分別為8和.（1）求橢圓的標準方程；（2）設直線與橢圓的另一交點為，當點在以線段為直徑的圓上時，求直線的方程.19．（12分）已知橢圓的焦點為，，離心率為，點P為橢圓C上一動點，且的面積最大值為，O為坐標原點.(1)求橢圓C的方程；(2)設點，為橢圓C上的兩個動點，當為多少時，點O到直線MN的距離為定值.20．（12分）對于非負整數集合（非空），若對任意，或者，或者，則稱為一個好集合．以下記為的元素個數．（1）給出所有的元素均小于的好集合．（給出結論即可）（2）求出所有滿足的好集合．（同時說明理由）（3）若好集合滿足，求證：中存在元素，使得中所有元素均為的整數倍．21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，.（1）求證：平面；（2）若直線與平面所成的角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.22．（10分）如圖，四棱錐中，底面，，點在線段上，且.（1）求證：平面；（2）若，，，，求二面角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

先求導函數，函數在上單調遞減則恒成立，對導函數不等式換元成二次函數，結合二次函數的性質和圖象，列不等式組求解可得.【詳解】依題意，，令，則，故在上恒成立；結合圖象可知，，解得故.故選：C.【點睛】本題考查求三角函數單調區間.求三角函數單調區間的兩種方法:(1)代換法：就是將比較復雜的三角函數含自變量的代數式整體當作一個角(或)，利用基本三角函數的單調性列不等式求解；(2)圖象法：畫出三角函數的正、余弦曲線，結合圖象求它的單調區間.2、D【解析】

分析可得,再去絕對值化簡成標準形式,進而根據雙曲線的性質求解即可.【詳解】當時,等式不是雙曲線的方程；當時,,可化為,可得虛半軸長,所以點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為2.故選：D【點睛】本題考查雙曲線的方程與點到直線的距離.屬于基礎題.3、C【解析】

設切點為，則，由于直線經過點，可得切線的斜率，再根據導數的幾何意義求出曲線在點處的切線斜率，建立關于的方程，從而可求方程．【詳解】若直線與曲線切于點，則，又∵，∴，∴，解得，，∴過點與曲線相切的直線方程為或，故選C．【點睛】本題主要考查了利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，求解曲線的切線的方程，其中解答中熟記利用導數的幾何意義求解切線的方程是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．4、C【解析】分析：作出圖形，判斷軸截面的三角形的形狀，然后轉化求解的位置，推出結果即可.詳解：圓錐底面半徑為，高為2，是一條母線，點是底面圓周上一點，在底面的射影為；，，過的軸截面如圖：，過作于，則，在底面圓周，選擇，使得，則到的距離的最大值為3，故選：C點睛：本題考查空間點線面距離的求法，考查空間想象能力以及計算能力，解題的關鍵是作出軸截面圖形，屬中檔題．5、A【解析】

只需將“存在”改成“任意”，有實根改成無實根即可.【詳解】由特稱命題的否定是全稱命題，知“存在，使方程有實根”的否定是“任意，使方程無實根”.故選：A【點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定，此類問題要注意在兩個方面作出變化：1.量詞，2.結論，是一道基礎題.6、C【解析】

由知，展開式中項有兩項，一項是中的項，另一項是與中含x的項乘積構成.【詳解】由已知，，因為展開式的通項為，所以展開式中的系數為.故選：C.【點睛】本題考查求二項式定理展開式中的特定項，解決這類問題要注意通項公式應寫準確，本題是一道基礎題.7、B【解析】

根據復數的幾何意義可知復數對應的點在以原點為圓心，1為半徑的圓上，再根據復數的幾何意義即可確定，即可得的最大值.【詳解】由知，復數對應的點在以原點為圓心，1為半徑的圓上，表示復數對應的點與點間的距離，又復數對應的點所在圓的圓心到的距離為1，所以.故選：B【點睛】本題考查了復數模的定義及其幾何意義應用，屬于基礎題.8、D【解析】選項A，否命題為“若，則”，故A不正確．選項B，逆命題為“若，則”，為假命題，故B不正確．選項C，由題意知對，都有，故C不正確．選項D，命題的逆否命題“若，則”為真命題，故“若，則”是真命題，所以D正確．選D．9、D【解析】

由題意，本題符合幾何概型，只要求出區間的長度以及使不等式成立的的范圍區間長度，利用幾何概型公式可得概率，即等差數列的公差，利用條件，求得，從而求得，解不等式求得結果.【詳解】由題意，本題符合幾何概型，區間長度為6，使得成立的的范圍為，區間長度為2，故使得成立的概率為，又，，，令，則有，故的最小值為11，故選：D.【點睛】該題考查的是有關幾何概型與等差數列的綜合題，涉及到的知識點有長度型幾何概型概率公式，等差數列的通項公式，屬于基礎題目.10、D【解析】

，，得解．【詳解】，，，所以，故選D【點睛】比較不同數的大小，找中間量作比較是一種常見的方法．11、D【解析】

由可求，再求公差，再求解即可.【詳解】解：是等差數列，又，公差為，，故選：D【點睛】考查等差數列的有關性質、運算求解能力和推理論證能力，是基礎題.12、B【解析】

求出函數的導數，利用切線方程通過f′（0），求解即可；【詳解】f（x）的定義域為（﹣1，+∞），因為f′（x）a，曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y＝2x，可得1﹣a＝2，解得a＝﹣1，故選：B．【點睛】本題考查函數的導數的幾何意義，切線方程的求法，考查計算能力．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用復數模的運算性質，即可得答案．【詳解】由已知可得：，，解得．故答案為：．【點睛】本題考查復數模的運算性質，考查推理能力與計算能力，屬于基礎題．14、【解析】

將代入求解即可；當為奇數時,,則轉化為,設,由單調性求得的最小值；同理,當為偶數時,,則轉化為,設,利用導函數求得的最小值,進而比較得到的最大值.【詳解】由題,,解得.當為奇數時,,由,得,而函數為單調遞增函數,所以,所以；當為偶數時,,由,得,設,,單調遞增,,所以,綜上可知,若不等式恒成立,則的最大值為.故答案為:(1)；(2)【點睛】本題考查利用導函數求最值,考查分類討論思想和轉化思想.15、1【解析】由題知x>0，且滿足約束條件的圖象為由圖可知當與交于點B(2,1)，當直線過B點時，m取得最大值為1.點睛：線性規劃的實質是把代數問題幾何化，即數形結合的思想.需要注意的是：一、準確無誤地作出可行域；二、畫標準函數所對應的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯；三、一般情況下，目標函數的最大或最小會在可行域的端點或邊界上取得.16、231,321,301,1【解析】

分個位數字是1、3兩種情況討論，即得解【詳解】0,1,2,3這4個數字所組成的無重復數字比210大的所有三位奇數有：（1）當個位數字是1時，數字可以是231,321,301；（2）當個位數字是3時數字可以是1．故答案為：231,321,301，1【點睛】本題考查了分類計數法的應用，考查了學生分類討論，數學運算的能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析【解析】

（1）設數列的公差為，由，得到，再結合題干所給數據得到公差，即可求得數列的通項公式；（2）由（1）可得，再利用放縮法證明不等式即可；【詳解】解：（1）設數列的公差為，∵，∴，∴，∴.（2）∵，∴，∴.【點睛】本題考查等差數列的通項公式的計算，放縮法證明數列不等式，屬于中檔題.18、（1）（2）或【解析】

（1）根據題意計算得到，，得到橢圓方程.（2）設，聯立方程得到，根據，計算得到答案.【詳解】（1）由平行四邊形的周長為8，可知，即.由平行四邊形的最大面積為，可知，又，解得.所以橢圓方程為.（2）注意到直線的斜率不為0，且過定點.設，由消得，所以，因為，所以.因為點在以線段為直徑的圓上，所以，即，所以直線的方程或.【點睛】本題考查了橢圓方程，根據直線和橢圓的位置關系求直線，將題目轉化為是解題的關鍵.19、（1）；（2）當＝0時，點O到直線MN的距離為定值.【解析】

（1）的面積最大時，是短軸端點，由此可得，再由離心率及可得，從而得橢圓方程；（2）在直線斜率存在時，設其方程為，現橢圓方程聯立消元（）后應用韋達定理得，注意，一是計算，二是計算原點到直線的距離，兩者比較可得結論．【詳解】（1）因為在橢圓上，當是短軸端點時，到軸距離最大，此時面積最大，所以，由，解得，所以橢圓方程為．（2）在時，設直線方程為，原點到此直線的距離為，即，由，得，，，所以，，，所以當時，，，為常數．若，則，，，，，綜上所述，當＝0時，點O到直線MN的距離為定值.【點睛】本題考查求橢圓方程與橢圓的幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查運算求解能力．解題方法是“設而不求”法．在直線與圓錐曲線相交時常用此法通過韋達定理聯系已知式與待求式．20、（1），，，．（2）；證明見解析．（3）證明見解析．【解析】

（1）根據好集合的定義列舉即可得到結果；（2）設，其中，由知；由可知或，分別討論兩種情況可的結果；（3）記，則，設，由歸納推理可求得，從而得到，從而得到，可知存在元素滿足題意.【詳解】（1），，，．（2）設，其中，則由題意：，故，即，考慮，可知：，或，若，則考慮，，，則，，但此時，，不滿足題意；若，此時，滿足題意，，其中為相異正整數．（3）記，則，首先，，設，其中，分別考慮和其他任一元素，由題意可得：也在中，而，，，對于，考慮，，其和大于，故其差，特別的，，，由，且，，以此類推：，，此時，故中存在元素，使得中所有元素均為的整數倍．【點睛】本題考查集合中的新定義問題的求解，關鍵是明確已知中所給的新定義的具體要求，根據集合元素的要求進行推理說明，對于學生分析和解決問題能力、邏輯推理能力有較高的要求，屬于較難題.21、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）由底面為菱形，得，再由底面，可得，結合線面垂直的判定可得平面；（2）以點為坐標原點，以所在直線及過點且垂直于平面的直線分別為軸建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得平面與平面所成銳二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：底面為菱形，，底面，平面，又，平面，平面；（2）解：，，為等邊三角形，.底面，是直線與平面所成的角為，在中，由，解得.如圖，以點為坐標原點，以所在直線及過點且垂直于平面的直線分別為軸建立空間直角坐標系.則，，，，.，，，.設平面與平面的一個法向量分別為，.由，取，得；由，取，得..平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點睛】本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓練了利用空間向量求解空間角，屬于中檔題．22、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）要證明平面