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專題21導數(shù)新定義問題一、單選題1.定義方程的實數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點”,若函數(shù),的“新駐點”分別為,則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.2.已知函數(shù)的定義域為,若在上為增函數(shù),則稱為“階比增函數(shù)”.若函數(shù)為“階比增函數(shù)",則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.3.拉格朗日定理又稱拉氏定理:如果函數(shù)在上連續(xù),且在上可導,則必有一,使得.已知函數(shù),在區(qū)間內(nèi)任取兩個實數(shù),且,若不等式恒成立,則實數(shù)a的最小值為()A. B. C. D.4.給出定義:設是函數(shù)的導函數(shù),是函數(shù)的導函數(shù),若方程有實數(shù)解,則稱為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點”,且該“拐點”也是函數(shù)的圖像的對稱中心.若函數(shù),則().A. B. C. D.5.若,可以作為一個三角形的三條邊長,則稱函數(shù)是區(qū)間上的“穩(wěn)定函數(shù)”.已知函數(shù)是區(qū)間上的“穩(wěn)定函數(shù)”,則實數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.6.若的圖象上兩點關(guān)于原點對稱,則稱這兩點是一對對偶點,若的圖象上存在兩對對偶點,則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.7.定義:如果函數(shù)在上存在,滿足,,則稱函數(shù)是上的“雙中值函數(shù)”,已知函數(shù)是上“雙中值函數(shù)”,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.8.設函數(shù)在區(qū)間上的導函數(shù)為,記在區(qū)間上的導函數(shù)為.若函數(shù)在區(qū)間上為“凸函數(shù)”,則在區(qū)間上有恒成立.已知在上為“凸函數(shù)”,則實數(shù)k的取值范圍是()A. B. C. D.二、多選題9.已知函數(shù)及其導數(shù),若存在,使得,則稱是的一個“青山點”.下列函數(shù)中,有“青山點”的是()A. B. C. D.10.若函數(shù)在上單調(diào)遞減,則稱為函數(shù),下列函數(shù)中為函數(shù)的是()A. B. C. D.11.若函數(shù)的圖象上存在兩個不同的點、,使得曲線在這兩點處的切線重合,稱函數(shù)具有性質(zhì).下列函數(shù)中具有性質(zhì)的有()A. B. C. D.12.在數(shù)學中,布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理,它得名于荷蘭數(shù)學家魯伊茲布勞威爾(L.E.Brouwer)簡單的講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù),存在一個點,使得,那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù),而稱為該函數(shù)的一個不動點,依據(jù)不動點理論,下列說法正確的是()A.函數(shù)有3個不動點B.函數(shù)至多有兩個不動點C.若定義在R上的奇函數(shù),其圖像上存在有限個不動點,則不動點個數(shù)是奇數(shù)D.若函數(shù)在區(qū)間上存在不動點,則實數(shù)a滿足(e為自然對數(shù)的底數(shù))三、填空題13.拉格朗日中值定理是微分學中的基本定理之一,它反映了可導函數(shù)在閉區(qū)間上的整體的平均變化率與區(qū)間內(nèi)某點的局部變化率的關(guān)系.其定理表述如下:如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象不間斷,在開區(qū)間內(nèi)可導,那么在開區(qū)間內(nèi)至少有一個點使得等式成立,其中稱為函數(shù)在閉區(qū)間上的中值點,函數(shù)在閉區(qū)間上的中值點為________14.設函數(shù)與是定義在同一區(qū)間上的兩個函數(shù),若對任意的,都有,則稱與在上是“密切函數(shù)”,區(qū)間稱為“密切區(qū)間”.設函數(shù)與在上是“密切函數(shù)”,則實數(shù)m的取值范圍是_____.15.對于函數(shù)可以采用下列方法求導數(shù):由可得,兩邊求導可得,故.根據(jù)這一方法,可得函數(shù)的極小值為___________.16.設與是定義在同一區(qū)間上的兩個函數(shù),若函數(shù)在上有兩個不同的零點,則稱與在上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”.若與在上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”,則實數(shù)的取值范圍是____________.四、解答題17.記分別為函數(shù)的導函數(shù).若存在,滿足且,則稱為函數(shù)與的一個“點”.(1)證明:函數(shù)與不存在“點”;(2)若函數(shù)與存在“點”,求實數(shù)的值18.設是函數(shù)的導函數(shù),我們把使的實數(shù)x叫做函數(shù)的好點.已知函數(shù),(1)若0是函數(shù)的好點,求a;(2)若當時,函數(shù)無好點,求a的取值范圍.19.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的圖象在(為自然對數(shù)的底數(shù))處的切線方程;(2)若對任意的,均有,則稱為在區(qū)間上的下界函數(shù),為在區(qū)間上的上界函數(shù).①若,求證:為在上的上界函數(shù);②若,為在上的下界函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.20.記,為的導函數(shù).若對,,則稱函數(shù)為上的“凸函數(shù)”.已知函數(shù),.(1)若函數(shù)為上的凸函數(shù),求的取值范圍;(2)若函數(shù)在上有極值,求的取值范圍.21.如果是定義在區(qū)間D上的函數(shù),且同時滿足:①;②與的單調(diào)性相同,則稱函數(shù)在區(qū)間D上是“鏈式函數(shù)”.已知函數(shù),.(1)判斷函數(shù)與在上是否是“鏈式函數(shù)”,并說明理由;(2)求證:當時,.22.定義可導函數(shù)在x處的彈性函數(shù)為,其中為的導函數(shù).在區(qū)間D上,若函數(shù)的彈性函數(shù)值大于1,則稱在區(qū)間D上具
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