6/21許昌市魏都區(qū)2024年八年級上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案一．選擇題共10小題。1．（3分）在聯(lián)歡晚會上，有A、B、C三名同學(xué)站在一個三角形的三個頂點(diǎn)位置上，他們在玩搶凳子游戲，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平（）A．三邊中線的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn) C．三邊上高的交點(diǎn) D．三邊中垂線的交點(diǎn)【分析】為使游戲公平，要使凳子到三個人的距離相等，于是利用線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等可知，要放在三邊中垂線的交點(diǎn)上．【解答】解：利用線段垂直平分線的性質(zhì)得：要放在三邊中垂線的交點(diǎn)上．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用；利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題是一種能力，要注意培養(yǎng)．想到要使凳子到三個人的距離相等是正確解答本題的關(guān)鍵．2．（3分）點(diǎn)P（﹣2，3）關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（﹣2，3） B．（2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，即可解答本題．【解答】解：點(diǎn)P（m，n）關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)P′（﹣m，所以點(diǎn)P（﹣2，3）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（7．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)的對稱性質(zhì)：關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，比較簡單．3．（3分）等腰三角形的一個外角等于80°，則與它不相鄰的兩個內(nèi)角的度數(shù)分別為（）A．40°，40° B．80°，20° C．50°，50° D．40°，40°或80°，20°【分析】先根據(jù)平角等于180°求出與這個外角相鄰的內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求解．【解答】解：因為等腰三角形的一個外角等于80°，所以與這個外角相鄰的內(nèi)角是180°﹣80°＝100°，所以100°的內(nèi)角是頂角，（180°﹣100°）＝40°，所以另兩個內(nèi)角是40°，40°．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的兩底角相等的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，比較簡單．4．（3分）如圖，已知△ABC≌△DEF，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，若BE＝7，CE＝2（）?A．2 B．2.5 C．3 D．5【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及線段的和差求解即可．【解答】解：因為BE＝7，CE＝2，所以BC＝BE﹣CE＝6，因為△ABC≌△DEF，所以BC＝EF＝5，因為CF+CE＝EF，所以CF＝3，故選：C．【點(diǎn)評】此題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟記“全等三角形的對應(yīng)邊相等”是解題的關(guān)鍵．5．（3分）如圖，△ABC中，DE是AC的垂直平分線，△ABD的周長為13cm，則AE長為（）A．8cm B．6cm C．4cm D．10cm【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DC，AE＝EC，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．【解答】解：因為DE是AC的垂直平分線，所以DA＝DC，AE＝EC，因為△ABC的周長為21cm，所以AB+BC+AC＝21cm，因為△ABD的周長為13cm，所以AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，所以AC＝8cm，所以AE＝4cm，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形的周長計算，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．6．（3分）下列命題是假命題的是（）A．兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等 B．兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等 C．兩邊分別相等且其中一組等邊的對角相等的兩個三角形全等 D．兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等【分析】根據(jù)全等三角形的判定判斷即可．【解答】解：A、兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等；B、兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等；C、兩邊分別相等且其中一組等邊的對角相等的兩個三角形不一定全等；D、兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等；故選：C．7．（3分）如圖，將三角尺的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，∠1＝30°，則∠2的度數(shù)等于（）A．50° B．30° C．20 D．15°【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠4，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠2＝∠4，代入求出即可．【解答】解：∠4＝∠1+∠8＝30°+20°＝50°，因為AB∥CD，所以∠2＝∠4＝50°，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了平行線性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，注意：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．8．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，連接BD，BD⊥DC，則DP長的最小值為（）A．3 B．4 C．6 D．8【分析】根據(jù)垂線段最短得出當(dāng)DP⊥BC時，DP的長度最小，求出∠ABD＝∠CBD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出AD＝DP＝4即可得出結(jié)論．【解答】解：因為BD⊥CD，所以∠BDC＝90°，所以∠C+∠CBD＝90°，因為∠A＝90°所以∠ABD+∠ADB＝90°，因為∠ADB＝∠C，所以∠ABD＝∠CBD，當(dāng)DP⊥BC時，DP的長度最小，因為AD⊥AB，所以DP＝AD，因為AD＝4，所以DP的最小值是4．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理和垂線段最短等知識點(diǎn)，能知道當(dāng)DP⊥BC時，DP的長度最小是解此題的關(guān)鍵．9．（3分）如圖，AD是△ABC的中線，E，F(xiàn)分別是AD和AD延長線上的點(diǎn)，連接BF，CE（）①CE＝BF；②△ABD和△ADC的面積相等；③BF∥CE，BF均與AD垂直A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】根據(jù)題意，結(jié)合已知條件與全等的判定方法對選項一一進(jìn)行分析論證，排除錯誤答案．【解答】解：因為AD是△ABC的中線，所以BD＝CD，又∠CDE＝∠BDF，所以△BDF≌△CDE（SAS），所以∠CED＝∠BFD，但不一定是直角，BF均與AD不一定垂直；由△BDF≌△CDE，可知CE＝BF；因為AD是△ABC的中線，所以△ABD和△ACD等底等高，所以△ABD和△ACD面積相等，故②正確；由△BDF≌△CDE，可知∠FBD＝∠ECD所以BF∥CE，故③正確．故選：B．10．（3分）在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，則下列條件中不能判定△ABC和△DEF全等的是（）A．AB＝DE，AC＝DF B．AC＝EF，BC＝DF C．AB＝DE，BC＝EF D．∠C＝∠F，BC＝EF【分析】針對選項提供的已知條件，結(jié)合直角三角形全等的判定方法對選項逐一驗證，其中B雖是兩邊相等，但不是對應(yīng)邊對應(yīng)相等，也不能判定三角形全等．【解答】解：A、由SAS能判定△ABC和△DEF全等；B、當(dāng)∠A＝∠D＝90°時，不能判定△ABC和△DEF全等；C、由HL能判定△ABC和△DEF全等；D、由AAS能判定△ABC和△DEF全等．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形全等的判定方法：SSS，ASA，SAS，AAS，HL．做題時要認(rèn)真驗證各選項是否符合全等要求．二．填空題共5小題。11．（3分）一個三角形的兩邊長分別是3和5，則第三邊長可以是4（大于2小于8的數(shù)即可）．（只填一個即可）【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理可得5﹣3＜x＜5+3，再解即可．【解答】解：由題意得：5﹣3＜x＜8+3，即：2＜x＜7，所以x的值可以是：4（大于2小于5的數(shù)即可）．故答案為：4（大于2小于7的數(shù)即可）．【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．12．（3分）BD是△ABC的中線，AB＝5，BC＝32．【分析】根據(jù)三角形的中線的定義可得AD＝CD，再求出△ABD和△BCD的周長的差＝AB﹣BC．【解答】解：因為BD是△ABC的中線，所以AD＝CD，所以△ABD和△BCD的周長的差＝（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC，因為AB＝5，BC＝3，所以△ABD和△BCD的周長的差＝5﹣3＝2．故答案為：5．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的角平分線、中線和高線，熟記概念并求出兩個三角形的周長的差等于AB﹣BC是解題的關(guān)鍵．13．（3分）已知等腰三角形兩邊長分別為5和10，則這個等腰三角形的周長為25．【分析】根據(jù)腰為5或10，分類求解，注意根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判斷．【解答】解：當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?時，三邊為5，6，5+5＝10，當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?0時，三邊為7，10，周長為5+10+10＝25．故答案為：25．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系定理．關(guān)鍵是根據(jù)已知邊那個為腰，分類討論．14．（3分）已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（2，0），（2，4），以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABO全等，寫出一個符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)：（0，4）或（4，0）或（4，4）．【分析】畫出圖形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和坐標(biāo)軸與圖形的性質(zhì)可求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：如圖所示，以A、B，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4）或（6，4）．故答案為：（0，2）或（4，4）．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，作出圖形利用數(shù)形結(jié)合的思想求解更加簡單．15．（3分）過等腰三角形的一個底角頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€段，若垂線段與一腰的夾角是32°，則這個等腰三角形的頂角是58°或122°°．【分析】垂線段與一腰的夾角是32°，但沒有明確此等腰三角形是銳角三角形還是鈍角三角形，因此，有兩種情況，需分類討論．【解答】解：當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時，如圖1，由已知可知，∠ABD＝32°，又因為BD⊥AC，所以∠ADB＝90°，所以∠A＝58°，當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時，如圖2，由已知可知，∠ABD＝32°，又因為BD⊥AC，所以∠DAB＝58°，所以∠A＝122°，故答案為：58°或122°．三．解答題共8小題。16．（8分）已知，如圖，在△ABC中，BD＝AC，過點(diǎn)D作DE∥AC且∠DBE＝∠A【分析】證出∠C＝∠EDB，證明△EBD≌△BAC（ASA），由全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．【解答】證明：因為DE∥AC，所以∠C＝∠EDB，在△EBD和△BAC中，所以△EBD≌△BAC（ASA），所以DE＝BC．【點(diǎn)評】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明△EBD≌△BAC是解題的關(guān)鍵．17．（8分）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB于E．求證：直線AD是線段CE的垂直平分線．【分析】由于DE⊥AB，易得∠AED＝90°＝∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE＝∠DAC，又因為AD＝AD，利用AAS可證△AED≌△ACD，那么AE＝AC，而AD平分∠BAC，利用等腰三角形三線合一定理可知AD⊥CE，即得證．【解答】證明：因為DE⊥AB，所以∠AED＝90°＝∠ACB，又因為AD平分∠BAC，所以∠DAE＝∠DAC，因為AD＝AD，所以△AED≌△ACD，所以AE＝AC，因為AD平分∠BAC，所以AD⊥CE，即直線AD是線段CE的垂直平分線．【點(diǎn)評】本題考查了線段垂直平分的定義、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形三線合一定理，解題的關(guān)鍵是證明AE＝AC．18．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．（1）在圖中作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；（2）寫出點(diǎn)C1的坐標(biāo)（直接寫答案）：C1（1，﹣1）；（3）△A1B1C1的面積為；（4）在y軸上畫出點(diǎn)P，使PB+PC最小．【分析】（1）分別作出點(diǎn)A、B、C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A1、B1、C1即可．（2）根據(jù)點(diǎn)C1的位置即可解決問題．（3）利用分割法計算即可．（4）連接BC1與y軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C3即為所求；（2）由圖象可知：C1（1，﹣2）； 故答案為（1，﹣1）．（3）S＝5×5﹣×1×5﹣×2×3＝； 故答案為。（4）如圖，連接BC1與y軸的交點(diǎn)為P，點(diǎn)P即為所求【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣軸對稱變換，最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握對稱作圖，學(xué)會利用對稱的性質(zhì)，解決最短問題，屬于中考常考題型．19．（9分）如圖，∠B＝∠C，D在BC上，在AC上取AE＝AD，∠ADE＝∠AED【分析】設(shè)∠EDC＝x，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠ADE+x＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+x，然后整理即可得解．【解答】解：設(shè)∠EDC＝x，由三角形的外角性質(zhì)得，∠ADE+x＝∠B+∠BAD，因為∠ADE＝∠AED，所以∠C+x+x＝∠B+∠BAD，因為∠B＝∠C，所以x＝∠BAD＝，即∠EDC＝15°．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記三角形的外角性質(zhì)列出等式是解題的關(guān)鍵．20．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠CAD＝40°，EF為過點(diǎn)A的一條直線，求∠BAE的度數(shù)．【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AD⊥BC，且AD平分∠BAC，即可得出∠ADB＝90°，∠BAD＝∠CAD＝40°，從而求得∠B＝50°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得∠BAE＝∠B＝50°．【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，所以AD⊥BC，且AD平分∠BAC，所以∠ADB＝90°，∠BAD＝∠CAD＝40°，所以∠B＝50°，因為EF∥BC，所以∠BAE＝∠B＝50°．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，平行線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．21．（10分）如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，（1）求證：AD平分∠BAC；（2）已知AC＝28，BE＝5，求AB的長．【分析】（1）根據(jù)相“HL”定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DE＝DF，所以AD平分∠BAC；（2）由（1）中△BDE≌△CDE可知BE＝CF，AD平分∠BAC，故可得出△AED≌△AFD，所以AE＝AF，由此即可解決問題；【解答】（1）證明：因為DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，所以∠E＝∠DFC＝90°，所以△BDE與△CDE均為直角三角形，因為在Rt△BDE與Rt△CDF中，所以Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），所以DE＝DF，所以AD平分∠BAC；（2）解：因為BE＝CF，AD平分∠BAC，所以∠EAD＝∠CAD，因為∠E＝∠AFD＝90°，所以∠ADE＝∠ADF，在△AED與△AFD中，所以△AED≌△AFD（ASA），所以AE＝AF，因為AC＝28，CF＝BE＝5，所以AE＝AF＝23所以AB＝AE﹣BE＝23﹣5＝18．【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形全等解決問題，屬于中考常考題型．22．（10分）如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線EF分別交邊BC，F(xiàn)，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，且D為線段CE的中點(diǎn)．（1）求證：BE＝AC；（2）若∠B＝35°，求∠BAC的度數(shù)．【分析】（1）連接AE，由題意可判定AD垂直平分CE，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AC＝AE＝BE，即可證明結(jié)論；（2）由等腰三角形的性質(zhì)可求∠BAE＝35°，由直角三角形的性質(zhì)可得∠BAD的度數(shù)，即可求得∠EAD，∠CAD的度數(shù)，進(jìn)而可求解．【解答】（1）證明：連接AE，因為AD⊥BC于點(diǎn)D，且D為線段CE的中點(diǎn)，所以AD垂直平分CE，所以AC＝AE，因為EF垂直平分AB，所以AE＝BE，所以BE＝AC；（2）解：因為AE＝BE，∠B＝35°，所以∠BAE＝∠B＝35°，因為AD⊥BC，所以∠ADB＝90°，所以∠BAD＝90°﹣35°＝55°，所以∠EAD＝55°﹣35°＝20°，因為AC＝AE，所以∠AED＝∠C，因為∠AED+∠EAD＝∠C+∠CAD＝90°，所以∠CAD＝∠EAD＝20°，所以∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝55°+20°＝75°．【點(diǎn)評】本題主要考查線段的垂直平分線，等腰三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（12分）閱讀理解，自主探究：“一線三垂直”模型是“一線三等角”模型的特殊情況，即三個等角角度為90°，于是有三組邊相互垂直．所以稱為“一線三垂直模型”．當(dāng)模型中有一組對應(yīng)邊長相等時（1）問題解決：如圖1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，過點(diǎn)C作直線DE，AD⊥DE于D，求證：△ADC≌△CEB；（2）問題探究：如圖2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，過點(diǎn)C作直線CE，AD⊥CE于D，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm；（3）拓展延伸：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣1，0），C（1，3），